Banque de sujets de géométrie plane proposés par ÉduSCO. Selon les thèmes, ces exercices sont aussi publiés dans les diverses pages de l'application « faire des maths avec GéoPlan ».
SommaireBanque de sujets 20072. Recherche d'un lieu géométrique
Page no 108, réalisée le 1/4/2007, mise à jour le 14/12/2010 |
Sujets traités dans d'autres pagesSujets de géométrie dans l'espace 200715. Distance de deux droites dans l'espace 23. Plan et droite orthogonaux dans le cube Banque de sujets 20044. Arc de cercle Banque de sujets 200530. Aire maximum d'un rectangle Banque de sujets 200716. Modélisation d'une situation géométrique | ||||
Épreuve pratique Corrigé 2008 |
Épreuve pratique |
Épreuve pratique |
Épreuve pratique |
Expérimentation 2006-2007Le groupe de mathématiques de l'Inspection générale expérimente, pendant l'année scolaire 2006/2007, la mise en place d'une épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat S. Ci-dessous la liste des « descriptions » et « fiches élèves » retenues en 2007 en géométrie plane. Les sujets de géométrie dans l'espace se trouvent dans la page : l'épreuve pratique avec GéoSpace Technique GéoPlan : dans plusieurs sujets est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour la fonction. 2. Recherche d'un lieu géométriqueDans le plan (P), on donne quatre points O, A, B et C et un cercle (Γ) de centre O. On lui associe l'unique point M’ du plan (P) défini par l'égalité : = α + β + γ où α, β, γ sont des réels donnés. 1. Il s'agit de déterminer, dans un cas particulier, le lieu géométrique (L) du point M’ lorsque le point M décrit le cercle (Γ).
2. (a) Déterminer par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M’. Production demandée
Télécharger la figure GéoPlan lieu_barycentre.g2w |
Environnement informatique |
Objectifs et moyens possibles |
|
|
Prérequis informatiques |
Prérequis mathématiques |
|
|
Compétences TICE |
Compétences mathématiques |
|
|
On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur un mur aveugle, à l'arrière de la façade d'une maison. |
La figure ci-dessous est un schéma d'un système d’écoulement des eaux : |
On le schématise par la figure suivante, où les distances sont exprimées en mètres : |
Sur ce plan, la droite (MH) est la médiatrice de [DC]. On note Q la projection de M sur (BC) et on prend comme variable la mesure en radian de l'angle aigu BMQ = θ. Travail demandé1. À l'aide du logiciel GéoPlan, ouvrir la figure « optimisation.g2w ». Elle comprend le repère R de centre D, ainsi qu'un second repère de centre I. (Facultatif) : Représenter dans le repère d'origine I le point S d'abscisse e en choisissant des coordonnées adaptées. À l'aide de la figure ainsi conçue, déterminer une valeur approchée de la mesure de l'angle BMQ en radian qui donne une somme s minimale, ainsi que la valeur approchée de cette somme. 2. On définit la fonction g : θ ® g(θ) = 2MA + MH sur l'intervalle [0, ]. IndicationsMQ = MB cos θ, d'où MA = MB = = . g(θ) = 2MA + MH = + 6 - 5 tan θ = . La dérivée g’ est nulle si 2 sin θ -1 = 0 ; sin θ = ; θ = . g(θ) = 5 + 6 ≈ 14,66. Télécharger la figure GéoPlan evacuation_eaux.g2w 12. L'équerre contre un murUne équerre ABC, rectangle en C, est placée de telle façon que le point A est un point variable du demi-axe des abscisses [Ox) et le point B est sur le demi-axe des ordonnées [Oy). On déplace l'équerre en « faisant glisser » A et B sur les axes. Montrer que le point C se déplace sur une droite issue du point O. Indication BCA et BOA sont deux triangles rectangles inscrits dans le cercle de diamètre [BA]. Les angles inscrits AOC et ABC dans ce cercle sont égaux. Le point C se trouve sur la droite fixe passant par O faisant un angle égal à ABC avec l'axe (Ox). Le lieu L des points est un segment porté par cette droite. Télécharger la figure GéoPlan equerre.g2w ÉduSCOL - Terminale S On s'intéresse à l'étude du lieu de certains points de l'équerre lorsque l'on fait glisser les points A et B. Technique GéoPlan Le point A étant placé sur (Ox), le point B est l'intersection de l'axe (Oy) avec le cercle de centre A et de rayon égal à la longueur l de l'équerre. Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB]. Le point G de l'équerre dont on cherche le lieu est défini comme barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ) où les coefficients α, β ou γ sont positifs. Fiche élève Le point I est le milieu du segment [AB] On s'intéresse aux lieux des points I et C.
Donner les mesures des angles de l'équerre, puis celle de BÔC (B distinct de O).
Commandes GéoPlan |
Quel est le lieu du point G, situé sur l'équerre ?Un arc de conique ? Télécharger la figure GéoPlan equerre3.g2w |
A glisse sur la droite (Ox), B glisse sur (Oy)On fait varier A dans un intervalle de longueur 2l autour de O. Le point G se déplace sur une ellipse. Télécharger la figure GéoPlan equerre5.g2w |
Déplacement du milieu d'une échelle glissant contre un mur verticalClasse de quatrième Ce quart de cercle correspond au cas α = β > 0 et γ = 0 de la figure du haut. En modifiant α ou β, avec γ = 0, on trouve un quart d'ellipse comme lieu d'un point G situé sur le côté [AB]. Compétences mathématiques Télécharger la figure GéoPlan equerre2.g2w |
Points sur les côtés de l'équerreQuels sont les lieux des milieux J et K des côtés de l'équerre ? Les lieux sont des arcs d'ellipses. Télécharger la figure GéoPlan equerre4.g2w Problème de Pappus - échelle contre un mur Dans un repère Oxy, on considère un carré OIJK de côté a avec I sur [Ox) et J sur [Oy). Une échelle de longueur L, passant par J, est posée en A sur la demi-droite [Ox) et s'appuie en B sur la demi-droite [Oy). Déterminer la position de cette échelle : cela revient à calculer OA et OB en fonction de a et L. |
Compétences évaluées Compétences mathématiques 13. Lieu de l'orthocentreRecherche du lieu de l'orthocentre d'un triangle lorsque l'un des sommets se déplace sur une droite. Dans le plan, ABC est un triangle d'orthocentre H. Dans le plan, ABC est un triangle quelconque. 1. (a) Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique, faisant apparaître les points A et B, le point C sur une droite parallèle à la droite (AB), le triangle ABC, le point H et le point K. (e) : = + + . 2. À partir de cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, , ) ; les points A et B sont donnés par leurs coordonnées : A(-1 ; 1) et B(1 ; 1). Le point C est sur l'axe des abscisses, et a pour abscisse un réel x.
3. Vérifier la conjecture émise, en traçant le lieu des points H, grâce à son équation. 4. En admettant que K a pour coordonnées (0 ; ) et l'égalité (e) donnée à la première question en déduire les coordonnées de H puis l'équation de (L). Indications (avec d'autres données)Si (d) est une droite parallèle à (AB), distincte de (AB), le lieu de l'orthocentre H, quand le sommet C parcourt la droite (d), est une courbe passant par A et B. Cette courbe est symétrique par rapport à la médiatrice de [AB]. On va montrer que c'est une parabole. En géométrie analytique utilisons un repère (O, , ) centré en O milieu de [AB] tel que : Les coordonnées des points sont alors A(-1, 0) ; B(1, 0) ; C(x, γ) et H(x, y) car H étant l'orthocentre du triangle ABC, C et H ont même abscisse x. AH étant orthogonal à CB, le produit scalaire . = 0. Les coordonnées des vecteurs sont (1 + x, y) ; (1 - x, -γ). On obtient finalement avec la formule analytique du produit scalaire : XX’ + YY’ = (1 + x) (1 - x) - γ y = 0, soit y = γ ≠ 0. Cette équation prouve que H se déplace sur une parabole passant par A et B et, qui plus est, que le lieu de H est toute la parabole, étant donné que x décrit R. Réciproquement, comme l'orthocentre du triangle ABH est le point C, on peut montrer que si C se déplace sur une parabole passant par A et B, d'axe de symétrie la médiatrice de [AB], alors le lieu de l'orthocentre est une droite parallèle à (AB). Télécharger les figures GéoPlan dr_ortho.g2w ; pa_ortho.g2w 21. Équation différentielle et méthode d’EulerLe but de l'exercice est de mettre en œuvre la méthode d’Euler pour une équation différentielle de type y’ = ay (où a est un réel donné) et d'en déduire une valeur approchée. Compétences évaluées Compétences mathématiques En projet, voir méthode d'Euler 26. Lieu d'un barycentreSituation On considère A, B et C trois points non alignés du plan et k un réel de l'intervalle [-1; 1]. où αk, βk et γk sont des réels dépendants de k, de somme non nulle. Il s'agit de déterminer le lieu des points Gk lorsque k décrit l'intervalle [-1; 1]. Fiche élève On considère A, B et C trois points du plan et k un réel de l'intervalle [-1; 1]. 1. Visualisation à l'aide d'un logiciel de géométrie :
2. Justification mathématique :
Indications D'après la fonction vectorielle de Leibniz α + β + γ = (α + β + γ) , en plaçant M en A on a : La fonction f est continue et décroissante sur [-1; 1]. Télécharger la figure GéoPlan barycentre.g2w 27. Aire maximale d'un triangle isocèle de périmètre fixéOn considère un triangle ABC isocèle en A de périmètre fixé. 1. Expérimentation à l'aide d'un logiciel de géométrie :
2. Démonstration : On note x la longueur BC et A(x) l'aire du triangle ABC.
Si p = 15, x = BC = a, AB = AC = b, Aire(ABC) = y ; dans le cadre de droite est représenté le point S(x, y). Commandes GéoPlan : le déplacement de B se fait avec les flèches du clavier ou à la souris. Touche T : Tracé point par point du graphe, En déplaçant le point B, on peut conjecturer que l'aire est maximale pour un triangle équilatéral. Télécharger la figure GéoPlan max_aire_tr_peri_const.g2w Voir : maxi_mini Sommaire 30. Famille de cerclesDans le plan on considère un triangle BOA rectangle en O et une droite (d) passant par O. (a) Faire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie. On considère la similitude directe S de centre H qui transforme A en O.
Conjectures Les cercles (c) passent par le point H pied de la hauteur issue de O du triangle BOA. Dans le cercle de diamètre [OA], les angles inscrits OAH et OA’H sont égaux, de même dans le cercle de diamètre [OB], les angles inscrits OBH et OB’H sont égaux. Les triangles BOA et B’HA’ sont semblables, donc B’HA’ est un triangle rectangle en H inscrit dans le cercle de diamètre [A’B’] : (c) contient le point H. Si J, K et L sont les milieux des côtés [AB], [OB] et [OA] les centres I des cercles (c) appartiennent au cercle de diamètre la médiane [OJ] (cercle passant par K et L). En effet, dans le cercle (c) l'angle au centre A’IH est la moitié de l'angle inscrit A’B’H. De même, dans le cercle de diamètre [AB], l'angle au centre OJA est la moitié de l'angle inscrit OBA. Télécharger la figure GéoPlan famille_cercle.g2w Compétences évaluées Compétences mathématiques 31. Tangentes à une paraboleEn géométrie analytique du plan, on considère une parabole (C) et on étudie le point d'intersection des tangentes à (C) en deux points dont les abscisses sont liées par une relation simple. Situation Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère la parabole (C) d’équation : 1. (a) À l'aide d'un logiciel adapté, tracer la parabole (C).
Indication : Si le logiciel utilisé le nécessite, calculer d'abord le coefficient directeur de cette tangente. (b) Placer le point M’ d'abscisse t’ = − sur la courbe C. Tracer la droite (D’) tangente à (C) en M’.
2. Démonstration
Remarques 1. La droite MM’ passe par un point fixe, le foyer F de la parabole. Définition : la courbe orthoptique d'une parabole est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on « voit » la parabole sous un angle droit. Pour les droites (D) et (D’), le produit des coefficients directeurs t × (-) est égal à -1 ; les deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu géométrique est donc la courbe orthoptique, directrice de la parabole. 2. Démonstration La tangente au point de coordonnées (x0, y0) a pour équation y = f’(x0) (x-x0) + f(x0), avec f(x) = et f’(x) = x. Pour x0 = t, (D) a pour équation y = t(x - t) + t2/2, soit y = tx - t2/2. Pour x0 = -, (D’) a pour équation y = -(x + ) + 1/(2t2), soit y = -x/t - 1/(2t2). Les coordonnées du point P d'intersection se trouvent en résolvant le système de deux équations : Avec y = tx - t2/2, on obtient en éliminant y : tx - t2/2 = - x/t - 1/(2t2), Le lieu des points P est inclus dans la droite horizontale d'équation y = - . Télécharger la figure GéoPlan tan_edu31.g2w 47. Partage d'un triangleDans le plan on définit un triangle ABC non isocèle en A et dont les angles en B et en C sont aigus. On note a son aire. On se propose de démontrer qu'il existe une droite et une seule perpendiculaire au côté [BC], en un point M, qui partage le triangle ABC en deux polygones de même aire.
On note L la longueur du segment [CH]. On admet que la fonction f qui, à tout x de [0; L], associe l'aire du triangle CMN est continue. (a) Que traduit l'égalité f(x) = ?
Production demandée
Indications f(0) = 0, f(L) > lorsque M est en H, comme f est continue sur [0; L], d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une valeur x pour laquelle f(x) = . Pour l'aire du triangle CMN solution on a : x × MN = , d'où MN = . Les triangles rectangles NMC et AHC sont semblables, donc tan(C) = = , soit = , d'où x = . x = CM, y = f(x) = Aire(CMN), dans le cadre de droite est représenté le point S(x, y). Commandes GéoPlan : le déplacement de M se fait au clavier ou à la souris. Touche T : Tracé point par point du graphe, Télécharger la figure GéoPlan max_aire_tr_peri_const.g2w |
Épreuve pratique en 2° |
GéoPlan TS |
GéoSpace TS |
GéoSpace |
Faire de la |
|
Sommaire 20072. Recherche d'un lieu géométrique |
Épreuve pratique en TSGéométrie plane Géométrie dans l'espace La géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace. |
||||
Faire de la géométrie dynamiqueSuggestions, remarques, problèmes : me contacter. |