Constructions avec similitude : alignements, points de concours, quelques démonstrations avec les complexes
	Similitudes en TS - Figures interactives avec GéoPlan	…avec GéoPlan

1.a. Alignement avec un point et son transformé dans une similitude

Un point A fixe et un point M variable sont placés sur un cercle (c₁). Une similitude de centre A transforme le cercle (c₁) en un cercle (c₂) et le point M en un point M’.

Les cercles (c₁) et (c₂) ont comme deuxième point d'intersection B.

Montrer que les points M, B et M’ sont alignés.

Démonstration

Calculer l'angle (, ) = (, ) + (, ) [mod π].

Les angles inscrits sont égaux à la moitié de l'angle au centre :
(, ) = (, ) [mod π],
(, ) = (, ) [mod π].

Dans la similitude A est point fixe, O₁ a pour image O₂, M a pour image M’, par conservation des angles on a :
( , ) = (, ) [mod π].
D'où – (, ) = (, ) et (, ) = 0 [mod π] ce qui prouve l'alignement.

Télécharger la figure GéoPlan sim_cer.g2w
Télécharger la figure GeoGebra sim_cer.ggb (La similitude est la composée d'une rotation de centre A suivie d'une homothétie de centre A et de rapport r₂/r₁. M a pour image M₁ par la rotation, M₁a pour image M’ par l'homothétie.)

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : épreuve pratique

Démonstration avec les angles inscrits, voir : angles inscrits en troisième,
cas particulier de cercles de même rayon : voir rotation en seconde,
exercice proposé à l'épreuve pratique de terminale S en 2009.

2. Deux carrés autour d'un rectangle : homothétie, produit scalaire et similitude au Bac S

Polynésie - septembre 2000

2. On se propose ici de démontrer que la médiane, issue du sommet A du triangle AEH, est une hauteur du triangle ABD.
On note O le milieu du segment [OH].
a) Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .
b) Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .
c) Calculer le produit scalaire . et conclure.

3. Dans cette question on étudie la similitude directe s qui transforme A en B et D en A.
On pose AB = 1 et AD = k (k > 0).
a) Déterminer l'angle et le rapport de la similitude s.
b) Déterminer l'image de la droite (BD), puis l'image de la droite (AO) par cette similitude s.
c) En déduire que K, le point d'intersection des droites (BD) et (AO), est le centre de la similitude s.

Télécharger la figure GéoPlan homo_bac.g2w
Médiane de l'un, hauteur de l'autre : variante deux carrés autour de BOA
Retrouver cette configuration dans : carré au collège
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Deux carrés

On considère deux carrés ABCD et BEFG, extérieurs l'un à l'autre, avec GÎ[BC].
oit I le point d'intersection des deux segments [CE] et [DF].
Montrer que les points A, G et I sont alignés.

Solution

La similitude de centre B et de rapport et d'angle transforme E en F, C en D, [EC] en [FD], d'où :
(, ) = = (, ) (modulo 2π).

I est cocyclique avec E, F et G sur le cercle de diamètre [EG], d'où : (, ) = (2π).

On a de même, (, ) = = (, ) (2π).

I est cocyclique avec A, C et D sur le cercle de diamètre [AC], d'où : (, ) = (2π).

(IA) et (IG) sont perpendiculaires à (EC) en I ; les points I, G et A sont alignés.

Télécharger la figure GéoPlan deux_carres.g2w
Retrouver cette configuration dans : carré au collège

Problèmes sur les configurations

Dossier n^o 17 du CAPES Externe de Mathématiques 2005 - Épreuve sur dossier
Étude de configurations à l'aide de différents outils

L'exercice proposé au candidat :
Dans la figure ci-dessus, le point B est un point du segment [AE] distinct de A et E.
ABCD et BEFG sont des carrés.
On se propose de démontrer, par différentes méthodes, que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.

a. Outil « configurations »
On note U le point d'intersection de (AC) et (EG). Justifier que l'angle AUE est droit et conclure (on pourra considérer le triangle AGE).

b. Outil « produit scalaire »
Calculer . et conclure.

c. Outil « analytique »
Après avoir muni le plan d'un repère orthonormal, montrer que les droites (AG) et (EC) sont orthogonales.

Le travail demandé au candidat
Q.1. Mettre en évidence, à l'aide du logiciel de géométrie dynamique de la calculatrice, la propriété indiquée.
Q.2. Indiquer pour chacun des outils, le niveau où pourrait être donné l'exercice.
Q.3. Proposer une autre méthode de résolution.
Q.4. Proposer un ou plusieurs exercices qui permettent de mettre en jeu plusieurs méthodes pour résoudre un même problème de géométrie plane.

Indications

Pour le « produit scalaire », préférer le calcul vectoriel au calcul sur les coordonnées.

En « analytique » vérifier la relation mm’ = −1 pour les coefficients directeurs des deux droites.

Pour la question Q.3. on peut utiliser :
- les transformations : rotation de centre B ou similitude comme ci-dessus,
- les triangles semblables,
- les complexes.

4.Orthogonalité

ABC est un triangle isocèle en A.
Le milieu M de [BC] se projette orthogonalement en H sur (AC).
Le point P est le milieu de [MH].

Montrer que les droites (BH) et (AP) sont-elles perpendiculaires ?

Indication de solution avec produit scalaire

Calculer le produit scalaire . = ( + ) . ( + )

D'où . = ( + /2) . ( + )

Développer 2 ., et en factorisant , montrer que le produit scalaire est nul.

Cliquer dans la figure et taper S pour la solution

Télécharger la figure GéoPlan orthogonalite_inattendue.g2w

5. Lieux géométriques

Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (A, , ), on considère le carré ABCD de centre O, soit P un point de [BC].

On appelle N l'image de P par la rotation de centre A et d'angle et M le milieu de [NP].

Déterminer les lieux des points N et M lorsque P décrit [BC].

Indications

D’ étant le symétrique de C par rapport à D, D et D’ sont les images de B et C par la rotation. Le lieu du point N est le segment [DD'] porté par la droite (CD).

Le triangle ANP est rectangle isocèle. M est donc l'image de P par la similitude de centre A, d'angle et de rapport . O et D sont les images de B et C par la similitude. Le lieu du point M est le segment [OD].

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6. Centre de deux similitudes

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 17

PARTIE I

Soit ABC un triangle rectangle en B, direct : (, ) =

Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite (d) qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci-contre). On suppose que les points E, F, G sont distincts des points A, B, C.

Le cercle Γ circonscrit au triangle ABC et le cercle Γ’ circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K.

• Justifier l'existence d'une similitude plane directe s telle que s(A) = C et s(E) = G.
• Déterminer l'angle de s.

Soit Ω le centre de s.

• Montrer que Ω appartient aux cercles Γ et Γ’.
• Prouver que Ω est différent de B.
• Que peut-on en déduire pour Ω ?

Télécharger la figure GéoPlan centre_similitude.g2w

PARTIE II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ) d'unité graphique 2 cm. Les affixes respectives des points A, B, C, E, F et G sont données par :

z_A = 2 + 4i, z_B = −l - 2i, z_C = 3 - 4i, z_E = 0, z_F = 5, z_G = −5.

On admettra que le point F est le point d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées.

Placer ces points sur une figure et, à l'aide des résultats de la partie I, construire le point Ω, centre de la similitude s.

• Soit s’ la similitude plane directe telle que s’(A) = E et s’(C) = G. Déterminer l'écriture complexe de s’ et déterminer l'affixe du centre Ω’ de s’.
• Montrer que les points Ω et Ω’ sont confondus.

Indications

Le centre Ω de la similitude s d'angle est le point K.
Partie 2 : l'écriture complexe de s’ est z’ = az +b avec a = (-1 - 8i)/13 et b = (-30 + 20i)/13
z_Ω’ = −l + 2i, les points Ω et Ω’ sont confondus avec K.

Quadrilatère orthodiagonal

Bac S Antilles-Guyane – Septembre 2002 : exercice pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

Dans le plan on considère deux segments [AC] et [BD] tels que :
AC = BD et (, ) = − (ABCD est un pseudo-carré).
On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD].
On appelle (c₁), (c₂), (c₃) et (c₄) les cercles de diamètres [AB], [BC], [CD] et [DA].

1.a. Soit r la rotation qui transforme A en B, C en D. Quel est l'angle de r ?
Montrer que le centre I de r appartient aux cercles (c₁) et (c₃).

b. Soit r’ la rotation qui transforme A en D, C en B. Quel est l'angle de r’ ?
Montrer que le centre J de r’ appartient aux cercles (c₂) et (c₄).

c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM.

On désigne par P et R les points diamétralement opposés à I sur, respectivement, (c₁) et (c₃) et par Q et S les points diamétralement opposés à J sur, respectivement, (c₂) et (c₄).

2. Soit s la similitude directe de centre I, de rapport et d'angle .
a. Quelles sont les images, par s, des points D, N, B ?
b. En déduire que J est le milieu de [PR].

Commandes GéoPlan

Taper 1 pour le quadrilatère INJM.
Taper 2 pour la configuration de Von Aubel

Télécharger la figure GéoPlan quadri_ortho.g2w

1.a. Rotation qui transforme en :
l'angle de la rotation est l'angle des deux vecteurs soit -.
(, ) = − , le centre I est sur le cercle de diamètre [AB] : I est donc sur (c₁).
On montre, de même, que I est sur (c₃).
b. r’ transforme en . Son angle est et le centre J est l'intersection des cercles (c₂) et (c₄), autre que O.

c. Les rotations r et r’ transforment [AC] en [BD]. Le milieu M de [AC] est transformé en N milieu de [BD].
Pour r : IN = IM et l'angle MIN est droit, pour r’ : JN = JM et l'angle MJN est droit. Les points I et J sont les intersections de la médiatrice de [MN] avec le cercle diamètre [MN].
INJM est un carré.

Comme l'angle MON est droit, le point O est situé sur le cercle de [MN] circonscrit au carré. Dans ce cercle les angles inscrits ION et IMN sont égaux, donc égaux à .

carré INJM, IJ = IN avec un angle de . La similitude s transforme N en J.
Dans le cercle (c₁) de diamètre [AB], l'angle ION est l'angle inscrit IOB, comme on vient de le voir au paragraphe précédent, il est égal à . Le point I est le milieu du demi-cercle (AIB). Le point P symétrique de I est aussi le milieu le l'autre demi-cercle (APB).
L'angle inscrit PIB vaut et le triangle rectangle IBP est isocèle.
La similitude s transforme B en P.
On montre de même que le triangle IDR est rectangle isocèle : s transforme D en R.

b. La similitude s transforme B, N, D en P, J, R. Comme N est le milieu de [BD], J est alors le milieu de [PR].

Remarque : on peut aussi montrer que la similitude directe s’ de centre J, de rapport et d'angle transforme A, M, C en S, I, Q.
I est le milieu de [SQ].

On a donc PR = SQ = BD = AC. (PR) et (SQ) sont perpendiculaires et sont les bissectrices de (AC, BD).
On retrouve la configuration de Von Aubel