La parabole est la courbe d'équation cartésienne : y = f(x) associée au trinôme du second degré f(x) = ax2 + bx + c. La forme canonique du trinôme f(x) = a[{x + }2 - ]
où Δ = b2 - 4ac, 1. Méthode de TorricelliEvangelista Torricelli : physicien et géomètre italien (1608-1647) : a connu à l'âge de 20 ans Galilée et sous son influence a étudié le mouvement parabolique des projectiles. Il découvrit la quadrature de la cycloïde en 1638 puis son aire en 1644. Il inventa le baromètre en 1643. Soit (P) la parabole d'équation y = f(x) = k x2, dans un repère orthogonal (O, , ).
Télécharger la figure GéoPlan nor_para.g2w 3. Foyer et directrice
Télécharger les figures GéoPlan pa_foyer.g2w, GéoPlan pa_cercl.g2w 4. Cordes et tangentes
Télécharger la figure GéoPlan tan_para.g2w 5. Tourniquette sur une paraboleCordes parallèlesSoit A, B, D et E quatre points distincts, d'abscisses respectives a, b, d et e, points situés sur la parabole P d'équation y = k x2 On peut déduire, de la question précédente, que la corde [AB] est parallèle à la corde [DE] si et seulement si : (Ces deux cordes sont parallèles à la tangente au point d'abscisse ). TourniquetteTourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique.
Télécharger la figure GéoPlan tourniq.g2w 6. Tangente et lieu géométrique - Corde focaleDans un repère orthonormé (O, , ) on note P la parabole représentative de la fonction : Une droite (Δ) de coefficient directeur m passe par F et coupe P en A et B d'abscisse x1 et x2. Les tangentes à la parabole P en A et B se coupent en I. Objectif : trouver le lieu géométrique E du point I lorsque la droite (Δ) pivote autour de F. Transmath 1S - Nathan 2001 - exercice 70 - page 81 Définition : la courbe orthoptique d'une parabole est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on « voit » la parabole sous un angle droit. C'est la directrice de la parabole. Les deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu est donc la courbe orthoptique de la parabole. Démonstration « analytique »
Cliquer sur la figure. Déplacer la droite (d) avec les flèches du clavier. Soit J le milieu du segment [AB] : la droite (IJ) est parallèle à l'axe de la parabole (Oy). Démonstration en « géométrie pure » P est une parabole de foyer F et de directrice (d). Soit (Δ) une droite, passant par le point F, distincte de l'axe (Oy). Analyse : si A est un point de la parabole situé sur la droite (Δ), ce point équidistant de F et de (d) est le centre d'un cercle passant par F et tangent à (d). La normale à (Δ) passant par F est tangente à ce cercle. Cette normale coupe la directrice en I. Les demi-droites [IH) et [IF) sont les deux tangentes au cercle issues de I Elles déterminent des segments de même longueur : IF = IH. Le point H est sur le cercle de centre I passant par F. Synthèse : la normale à (Δ) passant par F coupe la directrice en I. Le cercle de centre I passant par F
coupe la directrice en deux points H et H’. Les normales à (d) passant par H et H’ coupent (Δ) en deux points A et B.
AH = AF donc A est sur la parabole P et (AI), médiatrice de [FH], est tangente à la parabole. [AB] est une corde focale de la parabole P. Les tangentes en A et B se coupent en I sur la directrice (d). Ces deux tangentes (IA) et (IB) sont les bissectrices en I des droites (d) et (IF) ; elles sont donc orthogonales. Télécharger les figures GéoPlan tan_cord.g2w et tan_cor2.g2w 7. Parabole et composition de fonctionsf est la fonction définie sur [0, +∞] par f(x) = et g la fonction définie sur R par g(x) = 2 - x2. M est un point d'abscisse x de (P), représentation graphique de g ; H est le point de la droite (d) d'équation y = x ayant la même ordonnée que M. Lorsque la construction est possible, on note K le point de la courbe (c), représentation graphique de f, ayant la même abscisse que H. P est le quatrième sommet du rectangle MHKP. Transmath 1S - Nathan 2001 - exercice 74 - page 38 Cliquer sur la figure. Déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier. En déplaçant le point M vérifier que le point K existe que lorsque x est dans l'intervalle I =[- ; ]. Ce point K appartient à l'arc des points de la courbe (C) dont les abscisses sont inférieures à 2. Les coordonnées des sommets du rectangle sont : OP2 = 2. L'ensemble des points P, d'ordonnées positives, est le demi-cercle de centre O est de rayon . La fonction k définie sur I, qui à x associe l'ordonnée de P, est la fonction composée k = f o g. Télécharger la figure GéoPlan comp_fnt.g2w 8. Enveloppe
Soit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes, L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des médiatrices (m) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d). Commandes : Déplacer le point M avec les flèches du clavier ou avec la souris (mais seulement entre les deux marques de d). Touches : T : garder la Trace de la médiatrice (m) lorsque M varie, (D'après la figure GéoPlan envelop.g2w, origine : mode d'emploi du CREEM) Tableau de fils
Télécharger la figure GéoPlan tab_fil.g2w 9. DéveloppéeSoit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes, foyer et directrice d'une parabole, un point M variable sur (d) et (t) la médiatrice de [FM] tangente en N à la parabole. Au point N, traçons la normale (n) à la parabole, perpendiculaire à (t). L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des normales (n) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d). La courbe obtenue est la développée de la parabole. Commandes GéoPlan : Déplacer le point M avec les flèches du clavier ou avec la souris (mais seulement entre les deux marques de d). Touches : Télécharger la figure GéoPlan develope.g2w 10. Construction pratiqueD'après une copie d'élève de l'école d'ingénieur du Creusot en 1940 - cité par Patrick Guyot - Bulletin APMEP no 438
Télécharger la figure GéoPlan pa_crezo.g2w 11. Lieu de l'orthocentreRecherche du lieu de l'orthocentre d'un triangle lorsque l'un des sommets se déplace sur une droite. Dans le plan, ABC est un triangle d'orthocentre H. Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 013 a. La droite est parallèle au côté opposé à ce sommet.
On obtient finalement avec la formule analytique du produit scalaire : XX’ + YY’ = (1 + x) (1 - x) - γ y = 0. Soit y = γ ≠ 0. Cette équation prouve que H se déplace sur une parabole passant par A et B et, qui plus est, que le lieu de H est toute la parabole, étant donné que x décrit R. Réciproquement, comme l'orthocentre du triangle ABH est le point C, on peut montrer que si C se déplace sur une parabole passant par A et B, d'axe de symétrie la médiatrice de [AB], alors le lieu de l'orthocentre est une droite parallèle à (AB). Cliquer sur la figure ci-contre et déplacer le point C sur la parabole. Le sommet S(0, a) de la parabole est un point libre sur (Oy), le déplacer pour modifier a et obtenir d'autres paraboles. b. C décrit une droite qui coupe (AB) en D distinct de A et B.Dans le repère du paragraphe a précédent, le point C se déplace sur une droite (d) d'équation : y = α x + β avec α ≠ 0 et β ≠ 0. Il a donc pour coordonnées C(x, α x + β). Les coordonnées des autres points sont toujours A(-1, 0) ; B(1, 0) et H(x, y). Les coordonnées des vecteurs sont : (1 + x, y) ; (1 - x, -(α x + β)). On obtient finalement avec la formule analytique du produit scalaire . nul : (1 + x) (1 - x) - y (α x + β ) = 0, soit y = . On obtient une hyperbole. c. C décrit une courbe d'équation y = f(x)Jean Fages fait remarquer que les calculs réalisés au-dessus permettent d'affirmer que le lieu de H est la courbe d'équation : y = . Exemple : C sur un cercle. Cliquer sur la figure et déplacer le point C. Touches : Cas particulier où le cercle passe par A et B : voir lieux géoémtriques du triangle Télécharger les figures GéoPlan dr_ortho.g2w ; pa_ortho.g2w ; ce_ortho.g2w 12. Lieu de pointsSoit un cercle (c) fixe de centre O, deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [BB’] et M un point qui décrit le cercle sauf les points A et A’. On projette orthogonalement le point M sur le segment [BB’] en K et on appelle P le point d'intersection des droites (OM) et (AK). Montrer que le lieu du point P est la parabole de foyer O et directrice (d), tangente au cercle en A, privée de son sommet. Cliquer dans la figure et déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier. Télécharger la figure GéoPlan pa_lieu.g2w 13. Théorèmes de Poncelet
M et M’ sont deux points de la parabole. Si I est le milieu de [MM’], la droite (PI) est parallèle à l'axe de la parabole. Premier théorème de Poncelet : (FP) est la bissectrice de l'angle MFM’. Deuxième théorème de Poncelet : les angles FPM et IPM’ sont égaux. Les droites (PF) et (PI) sont isogonales par rapport aux droites (PM) et (PM’).
Télécharger la figure GéoPlan pa_ponce.g2w 14. Théorème de PascalThéorème de Pascal dit de l'hexagramme mystique : Pour un hexagone inscrit dans une conique, le théorème de Pascal affirme que les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés. La droite que forme cet alignement est appelée droite de Pascal. La figure est appelée hexagramme mystique. La réciproque de ce théorème est vraie également : si les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone sont alignés alors l'hexagone est inscrit dans une conique. En géométrie projective, un des trois points où les trois points peuvent être des points à l'infini. Application à la paraboleOn choisit, sur une parabole, six points A1, A2, A3 et B1, B2, B3, d'abscisses respectives a1, a2, a3 et b1, b2, b3. Dans l'hexagramme A1B2A3B1A2B3, les côtés opposés (A2B3) et (A3B2) se coupent en I, (A1B3) et (A3B1) se coupent en J, (A1B2) et (A2B1) se coupent en K. Les points I, J, K sont alignés sur la droite de Pascal (IJ). Déplacer les points avec les flèches du clavier : Télécharger la figure GéoPlan pascal.g2w Cas du cercle : hexagramme
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