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Normales, foyer et directrice, enveloppe, développée, lieu de points, tableau de fils, tourniquette, théorèmes de Poncelet, de Pascal. | ||
 |  Paraboles et tangentes | |
Sommaire1. Méthode de Torricelli La parabole en LÉpreuve pratique en TS2007 : Tangente à une parabole |
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La parabole est la courbe d'équation cartésienne : y = f(x) associée au trinôme du second degré f(x) = ax2 + bx + c.
La forme canonique du trinôme f(x) = a[{x + 
}2 - 
]
où Δ = b2 - 4ac,
permet avec le changement de variable X = x + et Y = y + 
d'obtenir la forme réduite Y = aX2 dans le repère d'origine le sommet S(- , -) de la parabole.
1. Méthode de Torricelli
Evangelista Torricelli : physicien et géomètre italien (1608-1647) : a connu à l'âge de 20 ans Galilée et sous son influence a étudié le mouvement parabolique des projectiles. Il découvrit la quadrature de la cycloïde en 1638 puis son aire en 1644. Il inventa le baromètre en 1643.
Soit (P) la parabole d'équation y = f(x) = k x2, dans un repère orthogonal (O, 
, 
).
|
Cliquer dans la figure et la modifier avec les flèches du clavier. |
Pour tout point A d'abscisse a non nulle Torricelli propose la méthode suivante : • construire le projeté orthogonal L de A sur l'axe des ordonnées, La tangente a donc pour équation : On dit que [LT] est la sous-tangente ; la sous-tangente à la parabole a un milieu fixe : le point O. 2. Sous-normaleLa perpendiculaire, au point de contact A, à la tangente coupe l'axe des ordonnées en N. |
de la parabole d'équation :
x2 (si k > 0).
Télécharger la figure GéoPlan nor_para.g2w
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Faire de la géométrie dynamique
3. Foyer et directrice
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Cliquer dans la figure : taper A pour modifier a et déplacer le point M, m est le coefficient directeur de la tangente. |
Étant donné une droite (d) et un point F non situé sur (d). La distance de F à (d) est le paramètre p = FK (où K est la projection orthogonale de F sur d). Une parabole est l'ensemble des points équidistants du foyer F et de la directrice (d). C'est donc l'ensemble des points M tels que MF = MH avec H la projection orthogonale de M sur (d). Le segment de tangente [MJ] déterminé par le point de contact et la directrice est « vue » du foyer sous un angle droit (MFJ = 90°). La parabole est aussi l'ensemble des centres M des cercles passant par le foyer F et tangents à la directrice (d). La tangente en M à la parabole est la médiatrice de [FH]. La normale en M coupe l'axe (FK) de la parabole en N. Réseaux de cercles : Cliquer dans la figure ci-contre et déplacer le point M avec les flèches du clavier. Taper T pour garder la Trace des cercles, |
), la directrice a pour équation y = − Télécharger les figures GéoPlan pa_foyer.g2w, GéoPlan pa_cercl.g2w
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4. Cordes et tangentes
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La tangente à la parabole parallèle à la corde [AB] a pour point de contact le point C dont l'abscisse est la moyenne des abscisses de A et B.
Le coefficient directeur u de (AB) est : u = {parabole d'équation y = k x2} Soit I le milieu du segment [AB] : la droite (CI) est parallèle à l'axe de la parabole (oy). Cette droite est appelée diamètre de la parabole relativement à la corde [AB]. Le point C est le sommet de la parabole relativement à ce diamètre. Remarque : pour l'axe focal, si K est le point de l'axe (oy) d'ordonnée le paramètre p = Si le coefficient k est positif, le point C est en dessous du segment [AB]. La parabole (P) est une courbe convexe.. |
= f’(c) = k (a + b) Télécharger la figure GéoPlan tan_para.g2w
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5. Tourniquette sur une parabole
Cordes parallèles
Soit A, B, D et E quatre points distincts, d'abscisses respectives a, b, d et e, points situés sur la parabole P d'équation y = k x2
On peut déduire, de la question précédente, que la corde [AB] est parallèle à la corde [DE] si et seulement si :
a + b = d + e.
(Ces deux cordes sont parallèles à la tangente au point d'abscisse 
).
Tourniquette
Tourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique.
|
Déplacer les points avec les flèches du clavier : | On choisit sur la parabole P quatre points A, B, C et D d'abscisses respectives a, b, c et d. On construit deux points E et F sur la parabole tels que : On montre que le tourniquet se referme avec (FA) // (CD). En effet, si e et f sont les abscisses de E et F on a : En ajoutant membre à membre les deux égalités et en simplifiant par b + e, on trouve : a + f = c + d ce qui prouve que (FA) est parallèle à (CD). |
Télécharger la figure GéoPlan tourniq.g2w
Tourniquette sur un polygone, voir : exercices de-ci, de-là en seconde
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6. Tangente et lieu géométrique - Corde focale
Dans un repère orthonormé (O, , ) on note P la parabole représentative de la fonction :
f(x) = 
, de paramètre p = 2 et F le foyer de coordonnées F(0, 1).
Une droite (Δ) de coefficient directeur m passe par F et coupe P en A et B d'abscisse x1 et x2.
Les tangentes à la parabole P en A et B se coupent en I.
Objectif : trouver le lieu géométrique E du point I lorsque la droite (Δ) pivote autour de F.
Transmath 1S - Nathan 2001 - exercice 70 - page 81
Définition : la courbe orthoptique d'une parabole est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la parabole perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on « voit » la parabole sous un angle droit. C'est la directrice de la parabole.
Les deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu est donc la courbe orthoptique de la parabole.
Démonstration « analytique »
- Montrer que la droite (Δ) a pour équation y = mx + 1.
- Vérifier que x1 et x2 sont les deux solutions distinctes de l'équation du second degré :
x2 - 4 m x - 4 = 0. - Écrire en fonction de x1 l'équation de la tangente en A à la parabole P et en fonction de x2 l'équation de la tangente en B.
- Montrer que ces deux tangentes sont sécantes au point I de coordonnées : (
, 
). - Trouver les coordonnées de I en fonction de m et vérifier que I est un point de la directrice (d) d'équation y = −1.
Cliquer sur la figure. Déplacer la droite (d) avec les flèches du clavier.
Taper sur la touche T pour obtenir la Trace du point I,
taper S pour Sortir du mode trace.
Soit J le milieu du segment [AB] : la droite (IJ) est parallèle à l'axe de la parabole (Oy).
Démonstration en « géométrie pure »
P est une parabole de foyer F et de directrice (d).
Soit (Δ) une droite, passant par le point F, distincte de l'axe (Oy).
Analyse : si A est un point de la parabole situé sur la droite (Δ), ce point équidistant de F et de (d) est le centre d'un cercle passant par F et tangent à (d). La normale à (Δ) passant par F est tangente à ce cercle. Cette normale coupe la directrice en I. Les demi-droites [IH) et [IF) sont les deux tangentes au cercle issues de I Elles déterminent des segments de même longueur : IF = IH. Le point H est sur le cercle de centre I passant par F.
Synthèse : la normale à (Δ) passant par F coupe la directrice en I. Le cercle de centre I passant par F
coupe la directrice en deux points H et H'. Les normales à (d) passant par H et H’ coupent (Δ) en deux points A et B.
AH = AF donc A est sur la parabole P et (AI), médiatrice de [FH], est tangente à la parabole.
De même, la médiatrice (BI) de [FH’] est l'autre tangente à la parabole.
[AB] est une corde focale de la parabole P. Les tangentes en A et B se coupent en I sur la directrice (d). Ces deux tangentes (IA) et (IB) sont les bissectrices en I des droites (d) et (IF) ; elles sont donc orthogonales.
Télécharger les figures GéoPlan tan_cord.g2w et tan_cor2.g2w
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Lieux géométriques
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7. Parabole et composition de fonctions
f est la fonction définie sur [0, +∞] par f(x) = 
et g la fonction définie sur R par g(x) = 2 - x2.
M est un point d'abscisse x de (P), représentation graphique de g ; H est le point de la droite (d) d'équation y = x ayant la même ordonnée que M.
Lorsque la construction est possible, on note K le point de la courbe (c), représentation graphique de f, ayant la même abscisse que H.
P est le quatrième sommet du rectangle MHKP.
Transmath 1S - Nathan 2001 - exercice 74 - page 38
Cliquer sur la figure. Déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier.
Taper sur la touche T pour obtenir les traces des points M et K,
taper sur la touche P pour trace de P,
taper S pour Sortir du mode trace.
En déplaçant le point M vérifier que le point K existe que lorsque x est dans l'intervalle I =[- 
;
]. Ce point K appartient à l'arc des points de la courbe (C) dont les abscisses sont inférieures à 2.
Les coordonnées des sommets du rectangle sont :
M(x, 2-x2)
; H(2-x2, 2-x2) ; K(2-x2, 
) et P(x, ).
OP2 = 2. L'ensemble des points P, d'ordonnées positives, est le demi-cercle de centre O est de rayon .
La fonction k définie sur I, qui à x associe l'ordonnée de P, est la fonction composée k = f o g.
Télécharger la figure GéoPlan comp_fnt.g2w
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8. Enveloppe
Soit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes,
un point M variable sur (d) et (m) la médiatrice de [FM].
L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des médiatrices (m) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d).
Commandes :
Déplacer le point M avec les flèches du clavier ou avec la souris (mais seulement entre les deux marques de d).
Touches :
T : garder la Trace de la médiatrice (m) lorsque M varie,
S : sortie du mode trace et effacement de la trace,
E : dessin ou effacement de l'enveloppe E.
M : dessin ou effacement de la médiatrice (m) de [AM],
(D'après la figure GéoPlan envelop.g2w, origine : mode d'emploi du CREEM)
Tableau de fils
|
Commandes : Déplacer le segment avec les flèches du clavier. T : garder la Trace des segments [AB], |
La réalisation de tableaux de fils et clous est maintenant un classique des travaux manuels. Nous allons à l'aide de GéoPlan la simuler pour obtenir une parabole en réalisant un réseau de tangentes où les segments représentent des fils tendus entre deux clous. Dans un repère orthonormé (O, Comme nous l'avons vu au paragraphe 1., la méthode de Torricelli montre que la tangente au point d'abscisse n a pour équation : Cette tangente coupe l'axe (Ox) au point A d'abscisse La tangente coupe, si n > 0, la droite verticale d'équation x = 10 au point B d'ordonnée : Le mode trace permet de dessiner 41 segments à partir de « points A » régulièrement répartis sur le bord horizontal et, sur chaque bord vertical, de 10 autres « points B » dont les ordonnées calculées ci-dessus sont :
|
.
, Télécharger la figure GéoPlan tab_fil.g2w
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9. Développée
Soit un point F et une droite (d) étant considérés comme fixes, foyer et directrice d'une parabole, un point M variable sur (d) et (t) la médiatrice de [FM] tangente en N à la parabole.
Au point N, traçons la normale (n) à la parabole, perpendiculaire à (t).
L'objectif est de déterminer l'enveloppe de la famille des normales (n) obtenues lorsque le point M varie sur la droite (d).
La courbe obtenue est la développée de la parabole.
Commandes :
Déplacer le point M avec les flèches du clavier ou avec la souris (mais seulement entre les deux marques de d).
Touches :
T : garder la Trace de la normale (n) lorsque M varie,
S : sortie du mode trace et effacement de la trace.
Télécharger la figure GéoPlan develope.g2w
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10. Construction pratique
D'après une copie
d'élève de l'école d'ingénieur du Creusot en 1940 - cité par Patrick Guyot - bulletin APMEP no 438
Construire point par point une parabole dont on connaît le sommet, l'axe de symétrie et un point. À partir d'un point M de la courbe, ayant pour projection P sur la tangente au sommet, on partage les segments [OP] et [PM] en quatre parties égales. Les points M1, M2, M3 construits ci-contre sont situés sur la parabole et on complète avec les symétriques. Si la parabole a pour équation y = k x2, La construction peut aussi se faire à partir d'un des points M1, M2 ou M3 pour trouver des points de la parabole au-delà du point connu. Cette méthode est valable pour d'autres partages des segments [OP] et [PM] en parties égales. |
OP,
k OP2 = k
= k OP32 = k x2 vérifie l'équation. Télécharger la figure GéoPlan pa_crezo.g2w
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11. Lieu de l'orthocentre
Recherche du lieu de l'orthocentre d'un triangle lorsque l'un des sommets se déplace sur une droite.
Dans le plan, ABC est un triangle d'orthocentre H.
Il s'agit de déterminer le lieu L des points H quand C se déplace sur une certaine droite.
Épreuve pratique 2007 - Terminale S - Sujet 013
a. La droite est parallèle au côté opposé à ce sommet.
|
|
Si (d) est une droite parallèle à (AB), distincte de (AB), le lieu de l'orthocentre H, quand le sommet
C parcourt la droite (d), est une courbe passant par A et B. Cette courbe est symétrique par rapport à la médiatrice de [AB]. Conjecture avec GéoPlan Limiter les déplacements de C à un segment de la droite (d) pour tracer le lieu géométrique : C point libre sur un segment Démonstration en géométrie analytique Utilisons un repère (O, Les coordonnées des points sont alors A(-1, 0) ; B(1, 0) ; C(x, γ) et H(x, y) car H étant l'orthocentre de ABC, C et H ont même abscisse x. (AH) étant orthogonal à (CB), Les coordonnées des vecteurs sont : |
et que On obtient finalement avec la formule analytique du produit scalaire :
XX’ + YY’ = (1 + x) (1 - x) - γ y = 0.
Soit y = 
γ ≠ 0.
Cette équation prouve que H se déplace sur une parabole passant par A et B et, qui plus est, que le lieu de H est toute la parabole, étant donné que x décrit R.
Réciproquement, comme l'orthocentre du triangle ABH est le point C, on peut montrer que si C se déplace sur une parabole passant par A et B, d'axe de symétrie la médiatrice de [AB], alors le lieu de l'orthocentre est une droite parallèle à (AB).
Cliquer sur la figure ci-contre et déplacer le point C sur la parabole.
T : garder la Trace du point H lorsque C varie,
S : sortie du mode trace et effacement de la trace.
Le sommet S(0, a) de la parabole est un point libre sur (Oy), le déplacer pour modifier a et obtenir d'autres paraboles.
b. C décrit une droite qui coupe (AB) en D distinct de A et B.
Dans le repère du paragraphe a précédent, le point C se déplace sur une droite (d) d'équation :
y = α x + β avec α ≠ 0 et β ≠ 0.
Il a donc pour coordonnées C(x, α x + β). Les coordonnées des autres points sont toujours A(-1, 0) ; B(1, 0) et H(x, y).
Les coordonnées des vecteurs sont : 
(1 + x,
y) ; 
(1 - x, -(α x + β)).
On obtient finalement avec la formule analytique du produit scalaire .
nul : (1 + x) (1 - x) - y (α x + β
) = 0,
soit y = 
.
On obtient une hyperbole.
c. C décrit une courbe d'équation y = f(x)
Jean Fages fait remarquer que les calculs réalisés au-dessus permettent d'affirmer que le lieu de H est la courbe d'équation :
y = 
.
Exemple : C sur un cercle.
Cliquer sur la figure et déplacer le point C.
Déplacer le cercle en déplaçant O ou le point du cercle - étiquette (c).
Touches :
T : garder la Trace du point H lorsque C varie,
S : Sortir du mode trace et effacer la trace,
L : dessiner ou effacer la parabole.
Cas particulier où le cercle passe par A et B : voir lieux géoémtriques du triangle
Télécharger les figures GéoPlan dr_ortho.g2w ; pa_ortho.g2w ; ce_ortho.g2w
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12. Lieu de points
Soit un cercle (c) fixe de centre O, deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [BB’] et M un point qui décrit le cercle sauf les points A et A’.
On projette orthogonalement le point M sur le segment [BB’] en K et on appelle P le point d'intersection des droites (OM) et (AK).
Montrer que le lieu du point P est la parabole de foyer O et directrice (d), tangente au cercle en A, privée de son sommet.
Cliquer dans la figure et déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier
Touche T : garder la trace de P
Touche S : Sortie du mode trace et effacement de la parabole.
Télécharger la figure GéoPlan pa_lieu.g2w
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Lieux géométriques
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13. Théorèmes de Poncelet
M et M’ sont deux points de la parabole.
Les tangentes en M et M’à la parabole se rencontrent en P.
Si I est le milieu de [MM’], la droite (PI) est parallèle à l'axe de la parabole.
Premier théorème de Poncelet : (FP) est la bissectrice de l'angle MFM’.
Deuxième théorème de Poncelet : les angles FPM et IPM’ sont égaux. Les droites (PF) et (PI) sont isogonales par rapport aux droites (PM) et (PM’).
Télécharger la figure GéoPlan pa_ponce.g2w
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14. Théorème de Pascal
Théorème de Pascal dit de l'hexagramme mystique :
Pour un hexagone inscrit dans une conique, le théorème de Pascal affirme que les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone, s'ils existent, sont alignés.
La droite que forme cet alignement est appelée droite de Pascal. La figure est appelée hexagramme mystique.
La réciproque de ce théorème est vraie également : si les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone sont alignés alors l'hexagone est inscrit dans une conique.
En géométrie projective, un des trois points où les trois points peuvent être des points à l'infini.
Application à la parabole
On choisit, sur une parabole, six points A1, A2, A3 et B1, B2, B3, d'abscisses respectives a1, a2, a3 et b1, b2, b3.
Dans l'hexagramme A1B2A3B1A2B3, les côtés opposés (A2B3) et (A3B2) se coupent en I, (A1B3) et (A3B1) se coupent en J, (A1B2) et (A2B1) se coupent en K.
Les points I, J, K sont alignés sur la droite de Pascal (IJ).
Déplacer les points avec les flèches du clavier :
taper A pour modifier A1, B pour modifier A2,
C pour A3, D pour B1, E pour B2, F pour B3.
Télécharger la figure GéoPlan pascal.g2w
Cas du cercle : hexagramme
Théorème de Pappus-Pascal : plan projectif
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