Point inaccessible Constructions de géométrie interactive avec GéoPlan, sans utiliser un point situé hors de la figure.	Faire de la géométrie dynamique

Deux droites concourantes se coupent en un point situé hors de la feuille (hors de l'écran). On demande de faire les constructions suivantes sans utiliser ce point.

La grande supériorité de GéoPlan sur beaucoup de logiciels de géométrie est qu'il permet de concevoir des objets sans les visualiser.

Par contre avec Cabri, on devra faire des zooms arrières jusqu'à trouver le point et revenir à la situation d'origine par des zooms avants.

1. Angle de deux droites

Application de la symétrie centrale en classe de cinquième

Calculer l'angle des deux droites (d) et (d’) :

Placer des points A et B sur (d), C et D sur (d’).
Soit O le milieu de [AC] et D’ le symétrique de D par rapport à O.
La droite (AD’) est parallèle à (d’) et l'angle BÂD’ représente l'angle des droites (d) et (d’).
En effet, les angles alternes-internes BÂD’ et AÎD, par rapport à la sécante (AI), sont égaux.

Avec GéoPlan, cliquer dans la figure et taper S pour afficher la solution.

Il est possible de créer le point I d'intersection :

I point d'intersection des droites d et d'
Af1 affichage d'une mesure (en degré) de l'angle AIC

Taper A pour afficher l'angle des droites.

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2. Tracer le symétrique d'un triangle

Symétrie centrale en classe de cinquième

ABC est un triangle, mais le point C est en dehors de la feuille.

Construire malgré tout le symétrique du triangle ABC par rapport à O.

Placer deux points M sur (d) et P sur (d’).
Les symétriques M’ et P’ de M et P par rapport à O permettent de tracer les droites (A’M’) et (B’P’) symétriques de (d) et (d’).
Elles se coupent en C’ symétrique de C par rapport à O.

Commande GéoPlan

Cliquer dans la figure et taper S pour afficher la solution.

Avec GéoPlan, il est possible de créer le point C troisième sommet du triangle et son symétrique C’.

Télécharger la figure GéoPlan sym_triangle.g2w
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3. Droite menée à partir du point de concours

Construction d'une droite passant par un point et l'intersection de deux droites sans utiliser cette intersection

Deux droites (d) et (d’) concourantes se coupent en un point I situé hors de la feuille, M étant un point du plan, tracer la droite (IM).

a. Figure de Desargues

Ce problème de géométrie projective doit se traiter de préférence en utilisant la règle seule.

Cliquer dans la figure et taper S pour afficher la solution.

Effectuer les constructions suivantes en veillant à ce que les droites se coupent à l'intérieur de la feuille :

Placer deux points A et B sur (d), deux points A’ et B’ sur (d’) ; et un point Q sur la droite (AM).
Les droites (AA’) et (BB’) se coupent en P, la droite (MA’) coupe (PQ) en R.
Les droites (QB) et (RB’) se coupent en M₁. La droite (MM₁) passe par I.

Avec GéoPlan, il est possible de créer le point I, hord de l'écran, et de tracer la droite (IM).

Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_desargues.g2w

b. Deuxième figure de Desargues

Cas où les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles.

Dans le plan projectif, la droite (PQ) est alors la droite de l'infini.

Cliquer dans la figure et taper S pour afficher la solution.

Placer deux points A et B sur (d) et un point A’ sur (d’).
La parallèle à (AA’) passant par B coupe (d’) en B’.
Les parallèles à (AM) et (A’M) passant par B et B’ se coupent en M₁. La droite (MM₁) passe par I.

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c. Construction à la règle seule, par polaires réciproques.

Construire un point P de la polaire de M par rapport à (d) et (d’) :

Placer deux points A et B sur (d). La droite (MA) coupe (d’) en A’ et la droite (MB) coupe (d’) en B’.

Le point P intersection de (AB’) et (A’B) est un point de la polaire de M.

Construire la polaire de P par rapport à (d) et (d’) :

Placer un point C, distinct de A et B, sur (d). La droite (MC) coupe (d’) en C’.

Le point M₁ intersection de (A’C) et (BC’) est un point de la polaire de P.
La droite (MM₁), polaire de P, passe par I.

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d. Construction à la règle seule d'Ocagne

Placer deux points A et B sur (d), deux points A’ et B’ sur (d’).

Les droites (MA) et (BB’) se coupent en C, les droites (MB’) et (AA’) se coupent en C’.

Les droites (BC’) et (A’C) se coupent en M₁. La droite (MM₁) passe par I.

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e. Quadrangle orthocentrique

Classe de première L

Trouver un triangle passant par le point de concours I tel que (MI) soit une hauteur du triangle :

Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M la coupant en A et coupant (d’) en H.

Tracer la perpendiculaire à (d’) passant par M qui coupe (d) en B.

Le point H est l'orthocentre du triangle MBI.

La droite cherchée est le côté (MI) du triangle perpendiculaire en M à la hauteur (BH).

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f. Avec un cercle auxiliaire

Un cercle (c) coupe la droite (d) aux points A et B, la droite (d’) aux points A’ et B’.
La droite (MA) recoupe le cercle en C, la droite (MB’) recoupe le cercle en C’.
Les droites (BC’) et (A’C) se coupent en M₁. La droite (MM₁) passe par I.

Remarque : ce résultat est une conséquence du théorème de Pascal ; les points M, M₁ et I sont alignés sur la droite (MM₁), droite de Pascal de l'hexagramme ABC’B’A’C.

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4. Bissectrice

Deux droites (d) et (d’) concourantes se coupent en un point situé hors de la feuille, construire une bissectrice de (d, d’).

Placer deux points A sur (d) et A’ sur (d’).

Les bissectrices du triangle AA’I, issues de A et A’ se coupent en P, centre du cercle inscrit.

Les bissectrices extérieures du triangle AA’I, issues de A et A’ se coupent en Q, centre d'un cercle exinscrit.

La droite (PQ), troisième bissectrice intérieure du triangle AA’I est la bissectrice de (d) et (d’) cherchée.

Pliage

(d) et (d’) étant inscrites sur une feuille, amener (d) en coïncidence avec (d’), la trace du pli donne la bissectrice.

Remarque : cette méthode permet de résoudre le problème précédent, dans le cas où M est entre (d) et (d’ ) :
Le pliage donne une droite (d₃). Si M est entre (d) et (d₃) on recommence en amenant (d) sur (d₃) pour obtenir un pli (d₄), et ainsi de suite en rabattant l'une sur l'autre les deux droites entre lesquelles le point M est situé… Au bout de 5 ou 6 pliages maxima, la position de droite (IM) sera connue au millimètre près.

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