Polaire d'un point par rapport à une paire de droites, par rapport à un cercle.
Sommaire1. Polaire d'un point par rapport à deux droites Page no 150, extraite de l'article plan projectif le 3/8/2009 |
Transformation par polaires réciproques5. Transformation des médianes d'un triangle Hors programme du lycée : | ||||
Division harmonique |
Intersection inaccessible : |
Épreuve pratique de terminale S |
Angles |
La notion projective de « polaire d'un point par rapport à une paire de droites » est complétée par la « polaire d'un point par rapport à un cercle ». Elle peut se généraliser à celle de « polaire d'un point par rapport à une conique ». Dualité : si un point M a pour polaire une droite (d), alors tout point de (d) a une polaire qui passe par M. Toute droite qui passe par M à son pôle sur (d). Réciprocité polaire : un point M est sur une droite (d) si et seulement si la polaire de M contient le pôle de (d). Transformation par polaires réciproques : c'est la correspondance entre point et droite définie par l'association pôle et polaire. 1. Polaire par rapport à deux droitesDéfinition : étant donné deux droites (d) et (d’) et deux points M et M’ distincts, non situés sur ces droites, la droite (MM’) rencontre respectivement (d) et (d’) en P et P’ distincts. On dit que M et M’ sont conjugués harmoniques par rapport à (d) et (d’) si [M, M’, P, P’] forme une division harmonique. Définition : étant donné deux droites (d) et (d’) distinctes et concourantes en un point I du plan affine et un point M non situé sur ces droites, l'ensemble des conjugués harmoniques du point M par rapport à (d) et (d’) est une droite, passant par I. On appelle cette droite la polaire de M par rapport à (d) et (d’). Construction de la polaire (à la règle seule) : étant donné deux droites (d) et (d’), concourantes en I, et un point M non situé sur ces droites, placer deux points P et Q, distincts et différents de I, Démonstration : si M1 est le conjugué de M par rapport à P et P’ et M2 le conjugué de M par rapport à Q et Q’, la polaire de M par rapport à (d) et (d’) est la droite (M1M2) ; les points I, M1 et M2 sont alignés. De même, la polaire de M par rapport à Δ et Δ’ est la droite (M1M2) ; les points J, M1 et M2 sont alignés et la polaire de M par rapport à (d) et (d’) est la droite (IJ). Réciprocité polaire : si la polaire de M passe par J, alors la polaire de J passe par M. Constructions à la règle seule : – Conjugué harmonique en utilisant la figure ci-dessus. | |
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Sommaire |
[A, B, C, D] étant une division harmonique située sur une droite (d) et O un point à l'extérieur de (d), les droites (OA), (OB), (OC) et (OD) forment un faisceau harmonique. Un faisceau harmonique découpe sur toute droite, non parallèle à un des rayons, une division harmonique. Une parallèle à un des rayons du faisceau est divisée par les trois autres en deux segments égaux (condition nécessaire et suffisante). Soit la droite (A’B’) parallèle au rayon (OD) passant par C. Télécharger la figure GéoPlan faisceau_harmonique.g2w |
b. Application : construire le quatrième point d'une division harmoniqueLes trois points alignés A, B, C étant donnés, construire le quatrième point D tel que [A, B, C, D] = −1. Soit O un point non aligné avec les points précédents ; la parallèle à (OA) passant par B coupe (OC) en un point C’. Soit D’ le symétrique de C’ par rapport à B, alors (OD’) coupe (AB) en D qui est le point cherché.
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c. BissectricesDans un triangle ABC, les bissectrices intérieure (AI) et extérieure (AJ) coupent le côté (BC) en I et J. On dit que les points I et J divisent harmoniquement le segment [BC]. [B, C, I, J] est une division harmonique est équivalent au fait que les droites (AB, AC, AI, AJ) forment un faisceau harmonique. Démonstration En construisant une parallèle au côté (AC) passant par B, qui coupe les deux bissectrices en deux points I’ et J’, on montre, en étudiant les angles, que les triangles ABI’ et ABJ’ sont isocèles en B. Le point B est le milieu de [I’J’]. Une parallèle à un des rayons du faisceau est divisée par les trois autres en deux segments égaux, donc (AB, AC, AI, AJ) est un faisceau harmonique et [B, C, I, J] est une division harmonique. |
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d. Quadrilatère completDéfinition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points. Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes : A, B, C et D sont quatre points du plan formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F. Les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet ayant les six sommets A, B, C, D, E et F. Les trois droites (AC), (BD) et (EF) sont les diagonales du quadrilatère complet, leurs points d'intersection I, J, K sont les points diagonaux. e. Divisions harmoniques du quadrilatère completDeux côtés, la diagonale passant par leur point d'intersection et la droite joignant ce sommet au point d'intersection des deux autres diagonales forment un faisceau harmonique. Par exemple, la droite (FI) est la polaire de E par rapport aux droites (FD), (FC). (EI) est la polaire de F par rapport à (EB), (EC). Les points K, R, P sont alignés ; de même, les points K, Q, S sont aussi alignés. Télécharger la figure GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu), quadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales) 3. Points conjugués par rapport à un cercleOn dit que deux points M et M’ sont conjugués harmoniques par rapport à un cercle (c) si la droite (MM’) rencontre le cercle (c) en deux points C et D tels que la division Une droite passant par M coupe le cercle (c) de centre O en C et D. D'après la formule de Mac-Laurin le conjugué M’ de M par rapport à C et D vérifie MM’ × MJ = MC × MD. Le cercle (c’) de diamètre [MM’] est orthogonal au cercle (c). Par extension, on dit que deux points M et M’ sont conjugués harmoniques par rapport à un cercle (c) si le cercle de diamètre [MM’] est orthogonal au cercle (c). Télécharger la figure GéoPlan conjugue_cercle.g2w 4. Polaire d'un point par rapport à un cerclePolaire d'un point M par rapport à un cercle : droite définie comme l'ensemble des points M’ conjugués harmoniques de M par rapport au cercle. Construction à la règle seuleOn applique la méthode de construction de la polaire par rapport à deux droites. D'un point M, tracer deux sécantes au cercle (MP) et (MQ) qui recoupent le cercle respectivement en P’ et Q’. On obtient le quadrilatère complet MPP’Q’QI. Ses diagonales (PQ’) et (P’Q) se coupent en J. La droite (IJ) est la polaire de M par rapport à (d) et (d’). La droite (IJ) coupe (MP) en M1 et (MQ) en M2. Comme M1 est le conjugué de M par rapport à P et P’; les points M et M1 sont conjugués par rapport au cercle (c). De même, M2 est le conjugué de M par rapport à Q et Q’ ; les points M et M2 sont conjugués par rapport au cercle (c). La droite (IJ) est la polaire de M par rapport au cercle (c). Télécharger la figure GéoPlan polaire_cercle_d.g2w |
Point M à l'extérieur du cercleSoit M un point à l'extérieur d'un cercle (c) de centre O. Les tangentes issues de M coupent le cercle en A et B. La droite (AB) est la polaire de M par rapport à (c). Construction d'Euclide : les points A et B sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO]. Démonstration : soit M’ un point du segment [AB]. La droite (MM’) coupe le cercle (c) en C et D. Soit H le milieu de [AB], point d'intersection des droites (AB) et (MO), Dans le triangle rectangle MHM’, on a MM’ = MH/cos α. De ces deux dernières égalités on déduit MM’ × MJ = MH × MO. Dans le triangle rectangle MAO; le côté MA de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse MO et sa projection sur l'hypoténuse MH : D'où MM’ × MJ = MC × MD d'après la relation de Mac-Laurin M et M’ partagent harmoniquement [CD]. M’ est un point la polaire de M. Télécharger la figure GéoPlan polaire_cercle.g2w |
Point M à l'intérieur du cercleLa perpendiculaire en M à (OM) rencontre le cercle en A et B. Les tangentes au cercle en A et B et la droite (OM) sont concourantes en H. La polaire de M est la droite (d) perpendiculaire en H à (OM). Rappel : une condition nécessaire et suffisante pour que deux cercles soient orthogonaux, est qu'il existe un diamètre de l'un d'entre eux qui soit divisé harmoniquement par l'autre cercle. Démonstration : Une droite quelconque passant par M rencontre le cercle (c) en C et D. Soit M’ le point conjugué harmonique de M par rapport à C et D. Le cercle (c’) de diamètre [MM’] est orthogonal à (c). Le cercle (c’) divise harmoniquement le diamètre [EF] du cercle (c). Mais comme M est sur la polaire de H par rapport à (c), M et H sont conjugués harmoniques par rapport à E et F. Le deuxième d'intersection du cercle (c’) avec (OM), conjugué harmonique de M est donc le point H. Le triangle M’HM, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. Le point M’ est sur la perpendiculaire en H à (OM). Télécharger la figure GéoPlan polaire_cercle_2.g2w |
Conclusion : soit un point M distinct de O, l'ensemble des points M’ conjugués harmoniques de M par rapport à un cercle c(O, R) est une droite (d) appelée polaire de M par rapport à (c). Le point M est le pôle de (d) par rapport à (c). La polaire de M est la droite perpendiculaire à (OM) au point H de [OM) tel que OH × OM = R2. Réciprocité polaire : si la polaire (d) de M passe par M’, alors la polaire (d’) de M’ passe par M. Polaires de l'orthocentre au cercle circonscrit et au cercle d'Euler Transformation par polaires réciproquesPar l'association pôle/polaire, à une figure F formée de points et de droites, on fait correspondre une figure F’ formée de droites et de points. Les propriétés d'angles ou de distances ne se conservent pas ; |
Soit un triangle ABC. Prenons pour cercle directeur le cercle (c) circonscrit à ABC de centre O. La médiane AA’ se transforme en un point P. P est situé sur la tangente (B1C1), transformée de A, et P est situé sur la polaire (d1) de A’ qui est la droite parallèle à (BC) passant par A1, droite qui est perpendiculaire à (OA1). Le concours des médianes se transforme en l'alignement des points P, Q et R. Bissectrices extérieures du triangle tangentielLe point O, centre du cercle (c) inscrit dans le triangle tangentiel A1B1C1, est le point de concours des bissectrices intérieures (A1O), (B1O), Ce triangle A1B1C1 est quelconque. On peut donc énoncer : Télécharger la figure GéoPlan polaire_mediane.g2w |
Soit un triangle ABC. Prenons pour cercle directeur le cercle (c) circonscrit à ABC de centre O. La hauteur (AH) se transforme en un point P situé sur la tangente (B1C1), transformée de A, et sur la perpendiculaire en O à (AH), c'est-à-dire la parallèle en O à (BC), perpendiculaire à la bissectrice intérieure (OA1) de A1B1C1. Le concours des hauteurs se transforme en l'alignement des points P, Q et R. Parallèles aux bissectrices extérieures du triangle tangentielLe triangle A1B1C1 est quelconque. On peut donc énoncer : Dans tout triangle (non équilatéral), les parallèles aux bissectrices extérieures, menées par le centre du cercle inscrit, coupent les côtés opposés en trois points alignés (pour un triangle isocèle, un des points peut être rejeté à l'infini). Télécharger la figure GéoPlan polaire_hauteur.g2w |
GéoPlan |
GéoPlan |
Angles |
Construire un pentagone régulier |
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Faire de la géométrie dynamique
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