Construction d'une droite passant par un point et l'intersection de deux autres droites sans utiliser cette intersection impossible.
SommaireDroite menée à partir du point de concours 1. Figure de Desargues |
Point inaccessible :
Page no 102, créée le 18/1/2007, modifiée le 12/4/2009 | ||||
Faire de la |
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Deux droites concourantes se coupent en un point situé hors de la feuille (hors de l'écran). Par un point du plan, situé sur la feuille hors des droites, on demande de tracer la droite, concourante avec ces deux droites, sans utiliser ce point inaccessible. Vouloir réaliser ces constructions à la règle seule n'est pas un caprice de mathématicien. Le contexte militaire de la géométrie du XIXe siècle impose ces contraintes, lorsqu'il est trop dangereux de s'approcher de l'ennemi. EXPRIME : EXpérimenter des PRoblèmes Innovants en Mathématiques à l'École |
Peut-on tracer la droite passant par M Télécharger la figure GéoPlan droites_concourantes.g2w |
Dans les conventions du problème, nous refusons Télécharger la figure GéoPlan droites_concourantes2.g2w |
Une situation à mettre en œuvre de la quatrième à la terminale, en deux à trois heures, suivant les niveaux et les objectifs. Ce problème est classique et remonte sans doute à plusieurs siècles : ce qui est innovant est d'accepter plusieurs solutions sans aucun dogmatisme. La grande supériorité de GéoPlan sur beaucoup de logiciels de géométrie est qu'il permet de concevoir des objets sans les visualiser. Par contre avec Cabri, on devra faire des zooms arrière jusqu'à trouver le point et revenir à la situation d'origine par des zooms avant. |
Deux droites (d) et (d’) concourantes se coupent en un point I situé hors de la feuille, M étant un point du plan, tracer la droite (IM). Avec GéoPlan, il est possible de créer le point I, hors de l'écran, et de tracer la droite (IM). Télécharger la figure GéoPlan deux_droite.g2w 1. Figure de DesarguesCe problème de géométrie projective doit se traiter de préférence en utilisant la règle seule : |
Effectuer les constructions suivantes en veillant à ce que les droites se coupent à l'intérieur de la feuille : Placer deux points A et B sur (d), deux points A’ et B’ sur (d’) ; et un point Q sur la droite (AM). Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_desargues.g2w Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème planLa démonstration « par le relief » est facile en imaginant les deux triangles QAB et RA’B’ comme la représentation de deux triangles de l'espace non situés dans le même plan. Le point P est alors le centre d'une perspective transformant QAB en RA’B’. Remarque : dans cette démonstration on utilise le fait que deux droites de l'espace projectif se coupent que si elles sont coplanaires, le point d'intersection étant un point à l'infini lorsque les deux droites sont parallèles. Le point M existe, car les droites (QA) et (RA’) sont situés dans le plan (PAQ). Les points M1 et I existent également. Figure reprise dans : joindre deux points d'une droite avec une règle trop courte Sommaire 2. Deuxième figure de DesarguesCas où les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles. Dans le plan projectif, la droite (PQ) est alors la droite de l'infini. Placer deux points A et B sur (d) et un point A’ sur (d’). La droite (MM1), qui passe par I, est solution. Remarques : cette solution utilise la forme affine du théorème de Desargues. Elle correspond au cas la première figure de Desargues où la droite (PQ) est rejetée à l'infini. La construction est toujours possible et peut être réalisée avec une équerre ou avec la règle à bords parallèles. Télécharger la figure GéoPlan droite_m_pt_concours.g2w 3. Construction à la règle seule, par polaires réciproquesD'après Jean-Henri Lambert (1728-1777) Solution historique, maintenant hors programme, avec des faisceaux harmoniques de droites pour ma génération de retraités nostalgiques. Les origines de cette construction se trouvent dans la préoccupation des peintres de tracer des parallèles en perspective sans sortir du tableau. |
M entre (d) et (d’ ) Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_polaire.g2w |
M à l'extérieur de (d) et (d’) Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_polaire2.g2w |
Construire un point P de la polaire de M par rapport à (d) et (d’) : Placer deux points A et B sur (d). La droite (MA) coupe (d’) en A’ et la droite (MB) coupe (d’) en B’. Construire la polaire de P par rapport à (d) et (d’) : Placer un point C, distinct de A et B, sur (d). La droite (MC) coupe (d’) en C’. 4. Construction à la règle seule d'OcagnePlacer deux points A et B sur (d), deux points A’ et B’ sur (d’). Les droites (MA) et (BB’) se coupent en C, les droites (MB’) et (AA’) se coupent en C’. Les droites (BC’) et (A’C) se coupent en M1. La droite (MM1) passe par I.
Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_ocagne.g2w 5. Avec un cercle auxiliaire - Droite de PascalLa 16e solution - Claude Tisseron
Un cercle (c) coupe la droite (d) aux points A et B, la droite (d’) aux points A’ et B’. La droite (MA) recoupe le cercle en C, la droite (MB’) recoupe le cercle en C’. Les droites (BC’) et (A’C) se coupent en M1. La droite (MM1) passe par I. Remarque : ce résultat est une conséquence du théorème de Pascal ; le point I est aligné avec les points M et M1 sur la droite de Pascal (MM1) de l'hexagramme ABC’B’A’C. Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_cercle.g2w Sommaire Géométrie affine : parallélogrammes ou homothétieDes propositions d’élèves extraites de l'ouvrage ”problème ouvert et situation-problème” de l'IREM de Lyon. 6. Parallélogramme de sommet MTracer la droite (MI) cherchée comme diagonale d'un parallélogramme IJMK dont les côtés sont portés par (d) et (d’). Construction Tracer les parallèles à (d) et (d’) qui passent par M. La parallèle à (d) coupe (d’) en K ; la parallèle à (d’) coupe (d) en J. IJMK est un parallélogramme. Rechercher le milieu M1 de la diagonale [JK]. La solution est la droite (MM1) passant par M et par le milieu M1 de [JK], deuxième diagonale du parallélogramme.
La construction est possible si les points J et K sont situés dans la feuille. Télécharger la figure GéoPlan para_sommet_M.g2w Voir : diagonale d'un parallélogramme sur une feuille trop petite 7. Parallélogramme de centre MUne variante peut être de tracer la droite (MI) cherchée comme diagonale d'un parallélogramme IJM1K de centre M dont les côtés sont portés par (d) et (d’). Construction Pour cela, il suffit de construire les droites symétriques de (d) et (d’) par rapport à M. L'intersection M1 de ces deux nouvelles droites (si elle existe sur la page) fournit un troisième point de la droite cherchée. On obtient un parallélogramme IJM1K dont la diagonale (M1M) est la droite cherchée. La construction est possible si les points J, K et M1 sont situés dans la feuille. Télécharger la figure GéoPlan para_centre_M.g2w Sommaire 8. Homothétie de rapport 1/2a. Utiliser une homothétie de centre M transformant (d) et (d’) pour obtenir un troisième point M1 de la droite cherchée. Construction Tracer la perpendiculaire à (d) qui passe par M, elle coupe (d) en J. Tracer la parallèle à (d) qui passe par le milieu de [MJ]. Ces deux parallèles se coupent en M1, image de l'intersection I par l'homothétie. Télécharger la figure GéoPlan homothetie.g2w b. Utiliser une homothétie de centre O, situé sur (d’), transformant (d) pour obtenir une droite parallèle à la droite cherchée. Construction Tracer la perpendiculaire à (d) qui passe par M, elle coupe (d) en H et (d’) en O. Soit M’ le milieu de [OM] et H’ le milieu de [OH]. M’ et H’ sont les images de M et H par l'homothétie de centre O et de rapport . L'image de (d) est la parallèle à (d) passant par H’. Elle coupe (d’) en I’, image de I par l'homothétie. Télécharger la figure GéoPlan homothetie2.g2w Et si l'homothétie de rapport ne suffit pas, on peut utiliser une homothétie de rapport 1/3, 1/4, 1/5… pour placer le point M1 ou le point I’ dans la feuille. 9. Translation et parallélogrammeTracer la droite (MI) cherchée comme quatrième côté d'un parallélogramme I’M’MI. Construction Du côté de I, notons (D) le bord de la feuille (ou si M est avant le deuxième tiers de la feuille, une parallèle au bord plus près de M), Indications : symétries et translation Soit I1 le symétrique de I par rapport à (D). On peut tracer I1 en remarquant que les droites (d1) et (d2), symétriques de (d) et (d’) par rapport à D, se coupent en I1. Soit I’ le symétrique de I1 par rapport à (D’). Parallélogramme L'image M par cette translation de vecteur 2 est M’: II’M’M est alors un parallélogramme tel que = = 2 . Télécharger la figure GéoPlan para_translation.g2w Utilisation de droites remarquables du triangle10. Quadrangle orthocentrique : M orthocentre d'un triangleTracer la droite (MI) cherchée comme troisième hauteur (C’M) d'un triangle MAB ayant pour orthocentre I. Construction Tracer la perpendiculaire à (d’) passant par M la coupant en A et coupant (d’) en A’. Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M la coupant en B et coupant (d) en B’. (MA) et (MB) sont deux hauteurs du triangle ABI et M est l'orthocentre de ce triangle. La droite (MI), troisième hauteur de ce triangle, est perpendiculaire au côté (AB). Tracer la perpendiculaire issue de M à (AB) qui est la solution du problème. MABI est un quadrangle orthocentrique : I est l'orthocentre de MAB. Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_ortho2.g2w Sommaire 11. Quadrangle orthocentrique : M sommet d'un triangle d'orthocentre IClasse de première L Trouver un triangle MBH, de sommet le point de concours I, tel que (MI) soit une hauteur du triangle Construction Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M la coupant en A et coupant (d’) en H. La droite cherchée est perpendiculaire issue de M à la hauteur (BH) : le côté (MI) du triangle. MBIH est un quadrangle orthocentrique : I est l'orthocentre de MBH Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_ortho.g2w
12. Bissectrices : M et I centres des cercles inscrit ou exinscrits d'un triangleOn peut aussi considérer un triangle ABC avec A sur (d), B sur (d’) et tel que (d) et (d’) soient deux bissectrices intérieures ou extérieures du triangle ABC. Alors la droite cherchée sera une bissectrice de l'angle ACB. M et I sont alors les centres des cercles inscrit ou exinscrits du triangle ABC. Construction Soit A et B les projections orthogonales de M sur (d) et (d’). Pour cela, soit C’ la projection orthogonale de M sur (AB) et (c) le cercle de centre M passant par C’. Si M est entre les droites (d) et (d’), (c) est inscrit dans le triangle ABC. Soit B’ et A’ les symétriques de C’ par rapport à (AM) et (BM). Les droites (AB’) et (BA’), tangentes au cercle (c), sont les côtés du triangle. Leur point d'intersection est le sommet C. La droite (CM) est bissectrice de ACB. Dans le cas de la figure ci-dessus,à gauche, M et I sont situés sur une bissectrice intérieure. I est le centre du cercle exinscrit dans l'angle ACB. Télécharger les figures GéoPlan droite_mi_bissect.g2w, droite_mi_bissect2.g2w Voir une douzième solution : tracé par pliage (technique de la bissectrice) |
Domaine B2i |
Compétence |
Item lycée validable |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
Être autonome dans l'usage des services et des outils. |
1.1 – Je sais choisir les services, matériels et logiciels adaptés à mes besoins. |
3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données. |
Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté. Exploiter des données ou des documents numériques. |
3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat. |
Sommaire1. Figure de Desargues |
Voir : point inaccessible
Faire de la géométrie dynamique
Suggestions, remarques, problèmes : me contacter. |