Points remarquables d'un triangle : de Bevan, de Brocard, de Gergonne, de Nagel et de Terquem.
Sommaire1. Points de Terquem |
Géométrie du triangleIII. Cercles - Euler - Feuerbach Exercices Construction de triangles en cinquième, au lycée Recherche de triangles connaissant des droites remarquables, des pieds de droites remarquables Droites de Simson et de Steiner Page no 88, réalisée le 25/6/2005, mise à jour le 10/12/2009 | ||||
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Point |
Droites |
Cercle |
Triangle |
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Point de Lemoine |
(a2, b2, c2) |
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(x; y; z) ; (a2/x; b2/y; c2/z) |
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Point de Gergonne |
Gergonne |
(tan, tan, tan) |
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Point de Nagel |
Nagel |
(-a+b+c, a-b+c, a+b-c) |
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Point de Bevan |
Bevan |
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Point de Brocard |
(, , ) ; (, , ) |
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Point de Torricelli ou de Fermat |
Torricelli |
Napoléon |
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Point de Vecten |
Point de concours |
Droites |
Cercle |
Triangle |
Coordonnées barycentriques |
Médianes |
(1, 1, 1) |
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Bissectrices |
Cercle inscrit |
(a, b, c) |
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Hauteurs |
[tan(Â), tan(B), tan(C)] |
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Médiatrices |
Cercle circonscrit |
[sin(2Â), sin(2B), sin(2C)] |
Point |
Droites |
Cercle |
Triangle |
Points de Feuerbach |
tangent aux |
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CévienneDans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet et sécante avec le côté opposé (les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes). Théorème de CévaGiovanni Céva : mathématicien italien 1648-1734 Dans un triangle ABC, soit trois céviennes distinctes des côtés. Les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si : Triangle pédalen : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévien Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent - en général - les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’. Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal de I par rapport au triangle ABC. Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian. Le cercle des neuf points d'Euler est le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité. Théorème de TerquemSoit ABC un triangle et trois céviennes du triangle concourantes en un point I. Cas particuliers Lorsque les céviennes sont confondues deux à deux, le cercle est inscrit dans le triangle qu'il touche aux trois points doubles; ces céviennes sont concourantes au point de Gergonne. Démonstration D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes on a : . d'où : |
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Céviennes isotomiques - Points réciproquesAvec les notations de l'article précédent, deux céviennes issues d'un même sommet (A par exemple) sont dites isotomiques lorsque leurs pieds A’ et A1 sont symétriques par rapport au milieu du côté [BC]. Lorsque trois céviennes sont concourantes, les trois céviennes isotomiques sont aussi concourantes. Soit I le point de concours de trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’), I non situé sur les côtés du triangle, les trois céviennes isotomiques (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes en J. Les points I et J sont dits réciproques l'un de l'autre. Les points de Gergonne et de Nagel sont deux points réciproques. |
Droites antiparallèlesDeux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles s'ils ont les mêmes directions de bissectrices. |
Points cocycliquesQuatre points A, B, C et D tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés sont cocycliques si et seulement si les droites (AB) et (DC) sont antiparallèles par rapport aux droites (AD) et (BC). |
Droites isogonalesSi deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles et concourants on dit qu'ils sont isogonaux. |
Avec GéoPlan, il est facile de construire un prototype qui, à partir deux droites (AB) et (AC) sécantes en A, d'un point M et d'une droite (d), trace la droite
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QuadrangleUn quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle. Le quadrangle est à distinguer du quadrilatère complet qui a six sommets, quatre côtés, trois diagonales et trois points diagonaux. Dans un espace projectif, le dual d'un quadrangle est un quadrilatère complet et réciproquement. Quadrangle inscriptibleUn quadrangle est inscriptible si ses quatre sommets sont sur un même cercle. Pour qu'un quadrangle soit inscriptible, il faut et il suffit que deux couples de côtés opposés soient antiparallèles. Le troisième couple est alors antiparallèle à chacun des deux autres. Soit ABCD un quadrangle dont les côtés opposés (AB) et (CD) se coupent en I. ABCD est inscriptible si et seulement si IA × IB = IC × ID. Les angles IÂD et ICB sont égaux. Les triangles IAD et ICB sont (inversement) semblables (les angles inscrits DCB et DAB sont supplémentaires dans la figure ci-contre ou égaux dans la figure ci-dessus). |
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Droites antiparallèles aux côtés d'un triangleLorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC la droite (d) est antiparallèle à (AB) » à la place de « la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ». Trois droites (d1), (d2) et (d3) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC si : Théorème de NagelSoit ABC un triangle, non rectangle, d'orthocentre H et le centre O de son cercle circonscrit. D'où le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre. Preuve : Dans le triangle rectangle ACA’, rectangle en A’ : L'angle (CB, CA) inscrit dans le cercle circonscrit (c1) est égal à l'angle (AB, At) de la corde AB et de la tangente AT. Par soustraction des deux premières égalités, on trouve : (AB, AC) est antiparallèle à (AH, AO). Les droites (BC, At) sont perpendiculaires à (AH, AO), Triangle orthique : les côtés du triangle orthique sont antiparallèles aux côtés du triangle : (B’C’) est antiparallèle à (BC) par rapport à (AB, AC) car les points B, C, B’, C’ sont cocycliques. Conséquences La tangente (At) et (B’C’) sont antiparallèles à (BC), donc (At) // (B’C’) et le rayon (OA) est perpendiculaire à (B’C’). On peut dire aussi : « les tangentes au cercle circonscrit, passant par les sommets du triangle, forment le triangle tangentie ; ses côtés sont parallèles aux côtés du triangle orthique ». Télécharger la figure GéoPlan t_orthi3.g2w Points sur deux droites isogonalesSoit (Δ) et (Δ’) deux droites concourantes en A, M1 et N1 sont les projections orthogonales de M et N sur (Δ), M2 et N2 sur (Δ’). Théorème Les deux couples de droites (Δ, Δ’) et (d, d’) sont isogonaux si et seulement si les points M1N1M2N2 sont cocycliques. Indications Le centre O du cercle est le milieu de [MN]. (M1M2) est orthogonale à (d’), (N1N2) est orthogonale à (d). Télécharger la figure GéoPlan points_sur_isogonales.g2w Sommaire 3. Symédianesen : symmedian Définition La symédiane issue du sommet A d'un triangle ABC est la droite (d) telle que l'angle, formé par cette droite (d) et la médiane issue de A, ait pour bissectrice la bissectrice de BÂC. |
Point de LemoineLes trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle. Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel formé par les tangentes à son cercle circonscrit. Télécharger la figure GéoPlan symediane.g2w |
Milieu d'une antiparallèleLa symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu. En effet, soit (DE) une antiparallèle à (BC) qui la symédiane de sommet A en M. Par la symétrie d'axe la bissectrice (AI) de BÂC, les points D, M, E ont pour images D’, M’, E’. (D’E’) est parallèle à (BC). M’ est le milieu de [D’E’]. Par symétrie M est le milieu de [DE]. Autre démonstration Dans le triangle ABC, soit M le milieu de (DE) une antiparallèle à (BC). Montrons que (AM) est la symédiane passant par A : En effet, la droite (AM) est conjuguée harmonique de la tangente en A à (Γ) par rapport à (AB, AC). La droite (AM) est donc la polaire, par rapport à (Γ) du point T, intersection de (BC) avec la tangente en A à (Γ). Télécharger la figure GéoPlan symediane_milieu.g2w |
Point de LemoineLemoine Émile, mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle, 1840- 1912 Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ses côtés. La droite de Lemoine d'un triangle est la polaire du point de Lemoine par rapport au cercle circonscrit à ce triangle. L'axe de Brocard du triangle est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine. |
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Voir : cercles de Tücker, cercles de Lemoine, figure de Vecten |
Sommaire |
4. Points isogonauxTriangle podaireen : pedal triangle ; à ne pas confondre avec le triangle pédal. Soit P un point distinct des sommets du triangle ABC et n'appartenant pas au cercle circonscrit, P1, P2, P3 sont les projections orthogonales de P sur les côtés du triangle. P1P2P3 est le triangle podaire du point P relativement au triangle ABC. Le cercle circonscrit au triangle P1P2P3 est le cercle podaire du point P par rapport au triangle ABC. Point conjugué isogonalde : Isogonal konjugierte Punkte Dans un triangle, deux points sont conjugués isogonaux s'ils sont situés aux intersections de deux couples de droites isogonales, issues de deux sommets. Si un point P a pour coordonnées barycentriques (x; y; z), alors Q, le conjugué isogonal de P a pour coordonnées barycentriques Les triangles podaires de deux points isogonaux P et Q sont inscrits dans un même cercle de centre le milieu de [PQ]. Télécharger la figure GéoPlan points_isogonaux.g2w Exemples : les centres des cercles inscrit et exinscrits coïncident avec leurs conjugués isogonaux. 5. Point de GergonneGergonne Joseph (mathématicien français 1771-1859) Le point de Gergonne est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit. Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle. Les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en un même point G, point de Gergonne du triangle ABC. Le triangle PQR s'appelle le triangle de Gergonne du triangle ABC. Longueurs des segments déterminés par les points de contact : Soit BC = a, AC = b et AB = c et p = (a + b + c) le demi-périmètre du triangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan gergonne.g2w 6. Point de NagelDeux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes. Leur point d'intersection est à égale distance des trois côtés du triangle. Il permet de tracer un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle. Soit (c1), (c2) et (c3) les trois cercles exinscrits au triangle ABC. Notons I1, I2 et I3 leurs centres. Notons A’ le point de contact de (c1) avec [BC], B’ le point de contact de (c2) avec [AC] et C’ le point de contact de (c3) avec [AB]. Alors les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes : leur point d'intersection s'appelle le point de Nagel du triangle. Le point de Nagel est le barycentre de (A, -a+b+c) ; (B, a-b+c) ; (C, a+b-c). Le triangle A’B’C’ est le triangle de Nagel du triangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan nagel.g2w Sommaire 7. Point de BevanComme au paragraphe précédent, notons I1, I2 et I3 les centres des trois cercles exinscrits au triangle ABC et A’, B’ et C’ les points de contact des cercles exinscrits avec les côtés du triangle. Les droites (I1A’), (I2B’) et (I3C’) sont concourantes : leur point d'intersection J s'appelle le point de Bevan du triangle ABC. Les milieux des côtés du triangle I1I2I3 de Bevan sont situés sur le cercle circonscrit à ABC : voir problèmes d'antan. |
Point de BevanLe point de Bevan J est le symétrique du centre I du cercle inscrit par rapport au centre O du cercle circonscrit. Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan. Télécharger la figure GéoPlan bevan.g2w |
Hauteurs du triangle de BevanLe centre I du cercle inscrit est l'orthocentre du triangle de Bevan. Le triangle ABC est le triangle orthique du triangle de Bevan. Télécharger la figure GéoPlan bevan4.g2w |
Le point de Bevan est le centre du cercle inscrit dans le triangle J1J2J3 construit avec les tangentes communes aux cercles exinscrits. Télécharger la figure GéoPlan bevan2.g2w |
Le triangle de Bevan et le triangle de Gergonne sont homothétiques. Télécharger la figure GéoPlan bevan3.g2w Sommaire |
Le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point Ω, tel que les angles ΩAB, ΩBC et ΩCA orientés positivement soient égaux. Le second point de Brocard du triangle est le point Ω’, tel que les angles Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC orientés positivement soient égaux. Les segments joignant les points Ω et Ω’ aux sommets du triangle constituent des isogonales du triangle ABC. Cet angle ω peut être calculé au moyen de sa cotangente par la formule : Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard. Le premier point de Brocard est le barycentre de (A, ) ; (B, ) ; (B, ) Télécharger la figure GéoPlan brocard.g2w |
Étant donné un triangle ABC, Ces trois cercles sont sécants en Ω, premier point de Brocard du triangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan brocard1.g2w |
De même, tracer le cercle passant par A et B et tangent à (AC), Ces trois cercles sont sécants en Ω’, second point de Brocard du triangle. Télécharger la figure GéoPlan brocard2.g2w |
L'axe de Brocard du triangle est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine. Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle, cercle de Brocard du triangle. [OL] est un diamètre de ce cercle. Télécharger la figure GéoPlan brocard_cercle.g2w Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre. La médiane, issue d'un sommet du triangle ; la symédiane, issue d'un second sommet ; et une des droites de Brocard, issue d'un troisième sommet, sont concourantes. Remarque : ne pas confondre les droites de Brocard et l'axe de Brocard. Télécharger la figure GéoPlan brocard_concours.g2w |
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