Points remarquables d'un triangle : de Bevan, de Brocard, de Gergonne, de Nagel et de Terquem.
Sommaire1. Points de Terquem |
Géométrie du triangleIII. Cercles - Euler - Feuerbach Exercices Construction de triangles en cinquième, au lycée Recherche de triangles connaissant des droites remarquables, des pieds de droites remarquables Droites de Simson et de Steiner Page no 88, réalisée le 25/6/2005, mise à jour le 10/12/2009 | ||||
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Point |
Droites |
Cercle |
Triangle |
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Point de Lemoine |
(a2, b2, c2) |
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(x; y; z) ; (a2/x; b2/y; c2/z) |
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Point de Gergonne |
Gergonne |
(tan |
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Point de Nagel |
Nagel |
(-a+b+c, a-b+c, a+b-c) |
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Point de Bevan |
Bevan |
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Point de Brocard |
( |
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Point de Torricelli ou de Fermat |
Torricelli |
Napoléon |
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Point de Vecten |
Point de concours |
Droites |
Cercle |
Triangle |
Coordonnées barycentriques |
Médianes |
(1, 1, 1) |
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Bissectrices |
Cercle inscrit |
(a, b, c) |
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Hauteurs |
[tan(Â), tan(B), tan(C)] |
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Médiatrices |
Cercle circonscrit |
[sin(2Â), sin(2B), sin(2C)] |
Point |
Droites |
Cercle |
Triangle |
Points de Feuerbach |
tangent aux |
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Céviennes isotomiques - Points réciproquesAvec les notations de l'article précédent, deux céviennes issues d'un même sommet (A par exemple) sont dites isotomiques lorsque leurs pieds A’ et A1 sont symétriques par rapport au milieu du côté [BC]. Lorsque trois céviennes sont concourantes, les trois céviennes isotomiques sont aussi concourantes. Soit I le point de concours de trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’), I non situé sur les côtés du triangle, les trois céviennes isotomiques (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes en J. Les points I et J sont dits réciproques l'un de l'autre. Les points de Gergonne et de Nagel sont deux points réciproques. |
Droites antiparallèlesDeux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles s'ils ont les mêmes directions de bissectrices. |
Points cocycliquesQuatre points A, B, C et D tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés sont cocycliques si et seulement si les droites (AB) et (DC) sont antiparallèles par rapport aux droites (AD) et (BC). |
Droites isogonalesSi deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles et concourants on dit qu'ils sont isogonaux. |
Avec GéoPlan, il est facile de construire un prototype qui, à partir deux droites (AB) et (AC) sécantes en A, d'un point M et d'une droite (d), trace la droite
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Quadrangle
Le quadrangle est à distinguer du quadrilatère complet qui a six sommets, quatre côtés, trois diagonales et trois points diagonaux. Dans un espace projectif, le dual d'un quadrangle est un quadrilatère complet et réciproquement. Quadrangle inscriptibleUn quadrangle est inscriptible si ses quatre sommets sont sur un même cercle. Pour qu'un quadrangle soit inscriptible, il faut et il suffit que deux couples de côtés opposés soient antiparallèles. Le troisième couple est alors antiparallèle à chacun des deux autres. Soit ABCD un quadrangle dont les côtés opposés (AB) et (CD) se coupent en I. ABCD est inscriptible si et seulement si IA × IB = IC × ID. Les angles IÂD et ICB sont égaux. Les triangles IAD et ICB sont (inversement) semblables (les angles inscrits DCB et DAB sont supplémentaires dans la figure ci-contre ou égaux dans la figure ci-dessus). |
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Droites antiparallèles aux côtés d'un triangleLorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC la droite (d) est antiparallèle à (AB) » à la place de « la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ». Trois droites (d1), (d2) et (d3) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC si : Théorème de Nagel
D'où le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre. Preuve : Dans le triangle rectangle ACA’, rectangle en A’ : L'angle (CB, CA) inscrit dans le cercle circonscrit (c1) est égal à l'angle (AB, At) de la corde AB et de la tangente AT. Par soustraction des deux premières égalités, on trouve : (AB, AC) est antiparallèle à (AH, AO). Les droites (BC, At) sont perpendiculaires à (AH, AO), Triangle orthique : les côtés du triangle orthique sont antiparallèles aux côtés du triangle : (B’C’) est antiparallèle à (BC) par rapport à (AB, AC) car les points B, C, B’, C’ sont cocycliques. Conséquences La tangente (At) et (B’C’) sont antiparallèles à (BC), donc (At) // (B’C’) et le rayon (OA) est perpendiculaire à (B’C’). On peut dire aussi : « les tangentes au cercle circonscrit, passant par les sommets du triangle, forment le triangle tangentie ; ses côtés sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».
Points sur deux droites isogonales
M1 et N1 sont les projections orthogonales de M et N sur (Δ), M2 et N2 sur (Δ’). Théorème Les deux couples de droites (Δ, Δ’) et (d, d’) sont isogonaux si et seulement si les points M1N1M2N2 sont cocycliques. Indications Le centre O du cercle est le milieu de [MN]. (M1M2) est orthogonale à (d’), (N1N2) est orthogonale à (d).
Sommaire 3. Symédianesen : symmedian Définition La symédiane issue du sommet A d'un triangle ABC est la droite (d) telle que l'angle, formé par cette droite (d) et la médiane issue de A, ait pour bissectrice la bissectrice de BÂC. |
Point de LemoineLes trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle. Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel formé par les tangentes à son cercle circonscrit.
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Milieu d'une antiparallèleLa symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu. En effet, soit (DE) une antiparallèle à (BC) qui la symédiane de sommet A en M. Par la symétrie d'axe la bissectrice (AI) de BÂC, les points D, M, E ont pour images D’, M’, E’. (D’E’) est parallèle à (BC). M’ est le milieu de [D’E’]. Par symétrie M est le milieu de [DE]. Autre démonstration Dans le triangle ABC, soit M le milieu de (DE) une antiparallèle à (BC). Montrons que (AM) est la symédiane passant par A : En effet, la droite (AM) est conjuguée harmonique de la tangente en A à (Γ) par rapport à (AB, AC). La droite (AM) est donc la polaire, par rapport à (Γ) du point T, intersection de (BC) avec la tangente en A à (Γ).
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Point de LemoineLemoine Émile, mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle, 1840- 1912 Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ses côtés. La droite de Lemoine d'un triangle est la polaire du point de Lemoine par rapport au cercle circonscrit à ce triangle. L'axe de Brocard du triangle est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine. |
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Voir : cercles de Tücker, cercles de Lemoine, figure de Vecten |
Sommaire |
4. Points isogonaux
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Point de BevanLe point de Bevan J est le symétrique du centre I du cercle inscrit par rapport au centre O du cercle circonscrit. Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan.
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Hauteurs du triangle de BevanLe centre I du cercle inscrit est l'orthocentre du triangle de Bevan. Le triangle ABC est le triangle orthique du triangle de Bevan.
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Le point de Bevan est le centre du cercle inscrit dans le triangle J1J2J3 construit avec les tangentes communes aux cercles exinscrits.
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Le triangle de Bevan et le triangle de Gergonne sont homothétiques.
Sommaire |
Le second point de Brocard du triangle est le point Ω’, tel que les angles Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC orientés positivement soient égaux. Les segments joignant les points Ω et Ω’ aux sommets du triangle constituent des isogonales du triangle ABC. Cet angle ω peut être calculé au moyen de sa cotangente par la formule : ![]() Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard. Le premier point de Brocard est le barycentre de (A,
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Étant donné un triangle ABC, Ces trois cercles sont sécants en Ω, premier point de Brocard du triangle ABC.
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De même, tracer le cercle passant par A et B et tangent à (AC), Ces trois cercles sont sécants en Ω’, second point de Brocard du triangle.
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Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle, cercle de Brocard du triangle. [OL] est un diamètre de ce cercle.
Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre. La médiane, issue d'un sommet du triangle ; la symédiane, issue d'un second sommet ; et une des droites de Brocard, issue d'un troisième sommet, sont concourantes. Remarque : ne pas confondre les droites de Brocard et l'axe de Brocard.
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