Sommaire

1. Théorème de Thalès
2. Réciproque du théorème de Thalès
3. Polygones réguliers - pentagones

Voir aussi : pavages avec des pentagones avec Cabri

Page n^o 4, réalisée le 2/12/2000 - mise à jour le 15/1/2006

GéoPlan en troisième

Propriété de Thalès
Démonstrations géométriques de Pythagore

Carré

Construction de tangentes : cercle
Angles inscrits : cercle

Cabri-Géomètre
TP en sixième

Cabri-Géomètre II
Initiation
Mode d'emploi

GéoPlan en 3^ème
Accompagnement des programmes

Index
collège

Dans le menu construction de droites parallèles ou perpendiculaires, l'option report de mesure permet de placer un point à distance fixée d'un autre point.

Il faut désigner un nombre et un objet. Le nombre est placé sur l'écran grâce à l'option du menu Label. Il est recommandé avec l'option texte de commenter ce nombre, par exemple en tapant AB=, puis de montrer avec la souris le nombre 3 et l'ordinateur proposera d'insérer le nombre dans le texte et de terminer AB=3 cm.

Point libre : après avoir choisi report de mesure si l'on montre le nombre 3 et le point A, le point B se place à 3 cm de A. Avec la souris on peut déplacer B autour de A.

Demi-droite : montrer le nombre 4 et la demi-droite d'origine I. Le point H est placé à 4 cm de I. Si le nombre est le négatif - 4 le point H sera à 4 cm de I sur le prolongement à l'extérieur de la demi-droite (Attention ne pas écrire IH = − 4, une longueur n'est pas négative).

Vecteur : montrer le nombre 5 et le vecteur . Le point M est placé à 5 cm de U. Les vecteurs et sont de même sens si le nombre est positif, de sens contraire si nombre est négatif.

Cercle : montrer le nombre 5, le cercle et le point C. Le point D est à 5 cm de C. 5 cm est la longueur de l'arc CD. La corde CD ici mesure 5,4 cm.

Tracer une demi-droite d'origine A.

Sur cette demi-droite placer les deux points B et C tels que AB = 1 cm et AC = 3,6 cm. Avec l'icône nombre du menu label placer les nombres 1 et 3.6 sur l'écran. Taper les textes AB= et AC= et y insérer les nombres. Avec l'icône report de longueur du menu constructions, montrer les nombres et la demi-droite. Nommer les points B et C.

Par B tracer une demi-droite et placer D sur cette demi-droite tel que BD = 1,5 cm (nombre 1.5, texte BD=, et report de longueur sur la demi-droite).

Tracer la demi-droite [AD) et la parallèle à (BD) passant par C. Soit E leur intersection. 

Mesurer AE.

Appliquer le théorème de Thalès et calculer CE et AD. Vérifier sur la figure.

ABCD est un rectangle et E le milieu du segment [CD]. Les droites (AC) et (EB) se coupent en F.

On donne AB = 3 cm et AD = 4 cm.

Pour dessiner ce rectangle avec Cabri, tracer une demi-droite d'origine A et sa perpendiculaire. À partir du point A, sur la perpendiculaire, tracer une demi-droite confondue avec cette droite. Placer les nombres 3 et 4 sur l'écran et avec l'option report de longueur placer les points D et B sur les deux demi-droites. Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B et la parallèle à (AB) passant par D, en sélectionnant l'icône point, montrer le point d'intersection C.
Nommer les points, gommer les droites, tracer les segments [AB], [BC], [CD] et [AD] et marquer un angle droit (menu Label).
Placer E milieu de [CD] et terminer la figure.

1. Calculer AC.
2. Calculer , en déduire , puis AF et FC.
3. Calculer EB.
4. Donner la valeur du rapport , et en déduire FE et FB.

Pour GéoPlan voir le prototype : marquer un angle droit
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Faire de la géométrie dynamique

2. Figure de base : exemples

a) Refaire une figure avec AB = 3 cm, AC = 5 cm,

AM = 2,1 cm et AN = 3,5 cm.

Conclure et justifier.

b) Refaire la figure en utilisant les nombres -2.1 et -3.5 pour reporter les longueurs de AM et AN. Conclure.

c) Refaire la figure en utilisant les nombres -2.1 et 3.5. Justifier.

3. Cordes parallèles

Deux cercles (c₁) et (c₂) de rayons r et r’ ont même centre O.

Deux droites (d₁) et (d₂), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D.
Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer.

Faire une figure où ce n'est pas le cas.

. D'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (CD) sont parallèles.

Oui mais, le contre-exemple de la figure de droite montre que c'est faux. Il faut préciser que les points O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d₁) et (d₂), ce qui n'est le cas que sur la figure de gauche.

Télécharger la figure Cabri cordes.fig
Télécharger la figure GéoPlan cordes.g2w
Télécharger la figure GeoLabo cordes.glb

Pour se convaincre du parallélisme, avec la flèche de sélection, déplacer les points libres A, B, C ou D sur les demi-droites.

Utiliser le menu des propriétés des figures, puis faire la démonstration du théorème en utilisant deux fois le théorème de Thalès puis sa réciproque :

Théorème de Desargues (forme faible dans le plan affine)

Soient (d₁), (d₂) et (d₃) trois droites concourantes en O (ou parallèles) et soient ABC et DEF deux triangles tels que A et D soient sur (d₁) ; B et E sur (d₂) ; C et F sur (d₃).
Si (AB)//(DE) et (BC)//(EF) alors (AC)//(DF).

(Desargues Girard mathématicien Lyonnais, 1591-1661)

Réciproque

Soient ABC et DEF deux triangles, tels (AB)//(DE), (BC)//(EF) et (AC)//(DF), alors les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes ou parallèles.

Au lycée, formulation générale du théorème avec des droites non parallèles : voir le plan projectif

Télécharger la figure Cabri desargues.fig
Télécharger la figure GéoPlan desargue.g2w
Télécharger la figure GeoLabo desargues.glb

Pappus d'Alexandrie (vers l'an 300)

Placer un point O,
tracer deux demi-droites, issues de O.

Placer les points A et B sur la première demi-droite, D et E sur la deuxième demi-droite et tracer les segments [AE] et [BD],
tracer la droite, passant par B, parallèle à la droite (AE). Cette droite coupe la demi-droite [OD) en F.
Tracer la droite, passant par E, parallèle à la droite (BD). Cette droite coupe la demi-droite [OA) en C.

Déplacer les points libres A, B, D ou E sur les demi-droites. Que peut dire des droites (AD) et (CF) ?

Utiliser le menu des propriétés des figures, puis faire la démonstration.

Il est possible réaliser ces figures avec Cabri sur la TI-92.

Télécharger la figure Cabri pappus.fig
Télécharger la figure GéoPlan pappus.g2w
Télécharger la figure GeoLabo pappus.glb

Formulation générale au lycée : voir le plan projectif
Parallélogramme de Pappus : homothétie
Démonstration de Pappus : Pythagore

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Faire de la géométrie dynamique

TP 3 - Pentagone régulier

0. Le plus simple

 Utiliser l'option polygone régulier à 5 sommets.

 1. Méthode des cercles tangents

 Points libres : le centre O et un sommet A.

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer le symétrique I de A par rapport à O.
Tracer le diamètre [AI] et la droite perpendiculaire.
Placer les intersections de cette perpendiculaire avec le cercle et trouver le milieu J du rayon.
Tracer le cercle de centre J passant par O,
ce cercle coupe la droite (IJ) en deux points P et Q.
Tracer les cercles tangents de centre I, passant par P et Q.
Placer les points B, C, D et E intersections des cercles.
Tracer le pentagone ABCDE et effacer les constructions.

Télécharger la figure Cabri penta_f1.fig
Télécharger la figure GéoPlan penta_f3.g2w
Télécharger la figure GeoLabo penta_f1.glb

Démonstration (Lycée 1S)

2. Construction du R.P. Durand

 Points libres : le centre O et un sommet A.

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer le symétrique I de A par rapport à O.
Tracer le diamètre [AI] et la droite perpendiculaire.
Placer les intersections de cette perpendiculaire avec le cercle et trouver le milieu J du rayon.
Tracer le cercle de centre J, passant par A,
ce cercle coupe la droite (OJ) en P et Q.

Tracer les cercles de centre A, passant par P et Q.
Placer les points B, C, D et E intersections des cercles.
Tracer le pentagone régulier ABCDE et effacer les constructions.

Télécharger la figure Cabri pentagone_durand.fig
Télécharger la figure GéoPlan penta_f2.g2w

Traité d'architecture civile et militaire
R.P. Durand - 1700
publié in bulletin APMEP n^o 439

Placer les deux premiers points A et B du polygone,
placer le point B₁ symétrique de B par rapport à A,
tracer le cercle (C₁) de centre A passant par B (diamètre [B₁B]),
la perpendiculaire en A à (AB) coupe le cercle (C₁) en A₁.

Soit (C₂) le cercle de diamètre [AA₁] : son centre J est le milieu de [AA₁],
tracer la droite (JB₁), cette droite coupe le cercle (C₂) au point K,
tracer le cercle (C₃) de centre B₁ passant par le point K,
les cercles (C₁) et (C₃) se coupent en D₁, tracer le segment [BD1].

La médiatrice de [AB] coupe le segment [BD₁] en O : O est le centre du cercle (C4) circonscrit au pentagone et on peut vérifier que l'angle AÔB mesure 72°.

Pour tracer le pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), le point E intersection du demi-cercle (C₁) et du cercle (C₄), D est un des points d'intersection du cercle circonscrit et de la médiatrice de [AB] qui passe par O.

Télécharger la figure GéoPlan penta_f7.g2w

Placer les points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A,
placer un point B sur ce cercle (Menu construction Point sur objet).

Tracer le cercle de centre B, passant par A,
construire l'intersection C des cercles.

Continuer en traçant le cercle de centre C, passant par B,
continuer et tracer les cercles de centre D et E.

Déplacer le point B sur le cercle pour faire coïncider les points A et F.

Tracer le pentagone régulier et effacer les cercles.

Polygones réguliers

Généraliser cette construction pour tracer des polygones réguliers de 7, 9, 10… côtés.

Pentagone convexe

Pentagone étoilé

Pentagones convexe et étoilé

Pour construire un pentagone régulier, il suffit de connaître les points O et A que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer les cinq segments [AB], [BC], [CD], [DE] et [EA] qu'il nomme objets finaux.

Dans le menu : divers>macro-construction, choisir nouvelle, montrer les points O et A, cliquer sur fin des objets initiaux. Montrer les cinq segments puis cliquer sur fin des objets initiaux et nommer la macro pentagone.

Construire un pentagone régulier (lycée)

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Géométrie plane en 3^ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Triangle rectangle

GéoPlan en 3^e
Constructions géométriques

GéoPlan en 3^e
Le triangle équilatéral

Cabri et GéoPlan
en troisième

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2. Réciproque du théorème de Thalès
3. Polygones réguliers - pentagones

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