1. Configuration du rectangle
Angle
Faire de la géométrie dynamique 2. Angle
a. Calculatrice TI-92La calculatrice formelle donne les valeurs exactes des lignes trigonométriques de cos On peut vérifier ces formules en décomposant Par exemple : cos Pour retrouver la tangente utiliser : 1+ tan2 x = Faire de la géométrie dynamique b. Triangle équilatéral dans un carréACDE est un carré de côté a = 2 et ABC est un triangle équilatéral.
Solution
Les deux angles sont égaux à
Dans le triangle rectangle EBH tan cos2 On trouve donc deux nouvelles formules : cos Cercle circonscrit La médiatrice de [BE] coupe la médiatrice de [DE] en O. Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle BDE, le rayon de ce cercle est égal à la longueur du côté du carré.
c. Triangle d'angles
|
x |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
cos x |
![]() |
![]() |
![]() |
- ![]() |
L'inverse du nombre d'or est donc = Φ
- 1 =
= 2 sin
.
I, B, D et les symétriques de D et B par rapport à (Ox) sont les sommets d'un pentagone régulier.
I, A, B, C, D, J et les symétriques de D, C, B et A par rapport à (Ox) sont les sommets d'un décagone régulier.
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Le nombre d'or
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
Soit D le symétrique du point A; par rapport à la droite d'équation y = x.
Le complémentaire de l'angle (,
)
est : (
,
)
=
.
OD2 = OA1 d'où sin
= cos
=
.
Le supplémentaire de l'angle (,
)
est : (
,
)
=
.
sin = sin
=
.
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Faire de la géométrie dynamique
Sommaire
Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or :
= Φ.
Depuis l'antiquité grecque, on sait construire un rectangle d'or d'une largeur donnée de la façon suivante :
- tracer un carré ABCD ayant comme côté la largeur souhaitée,
- prendre le milieu K de [AD],
- rabattre le point C sur (AD) en traçant le cercle de centre K, passant par C. Ce cercle coupe [AD) en E,
- terminer la construction du rectangle d'or ABFE.
En effet, en choisissant AB = AD comme unité, on a KE = KC = d'après la propriété de Pythagore dans le triangle DKC rectangle en D,
et AE = +
= Φ.
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En architecture, comme en dessin, le tracé régulateur permet de schématiser les lignes de force d'une figure.
Dans un rectangle d'or, les diagonales du rectangle rencontrent les diagonales des carrés selon des sections d'or.
Les diagonales des carrés ABCD et EFHG coupent en L, M, N, P les diagonales du rectangle d'or ABFE.
Section d'or sur une diagonale : AF/AP = AP/AM = Φ.
Section d'or sur un côté des carrés : CD/CN = CN/CP = Φ.
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Il est possible de paver le plan à partir de rectangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de rectangles de plus en plus grands.
Une bonne occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :
Tracer un rectangle d'or initial A0B0F0E0 à partir du carré A0B0C0D0. Tracer A0E0A1B1. B0F0A1B1 est un rectangle d'or. Remplacer A0, B0, F0, E0 respectivement par C1, F1, E1, D1 pour obtenir le rectangle d'or A1B1F1E1 contenant le carré A1B1C1D1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S) tracer les carrés suivants.
En traçant, dans chaque nouveau carré, le quart de cercle de centre Dn, reliant AnAn+1, on obtient la spirale dorée C0A0A1A2…
|
Cliquer sur la figure de gauche et à chaque frappe de la touche S un nouveau triangle est créé. Faire apparaître un plus grand nombre de triangles avec un zoom par appui sur la touche.
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Spirale logarithmique
La spirale dorée est approchée par une spirale logarithmique d'équation en coordonnées polaires
ρ = aΦ(2q/p) dans un repère d'origine I, point d'intersection de diagonales des rectangles d'or (voir figure).
Une autre spirale logarithmique passe par les sommets des rectangles d'or.
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voir : Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET : spirale d'or
Le nombre d'or
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
Le triangle d'or ACD est un triangle isocèle en C d'angle ,
les deux autres angles à la base en A et D étant égaux à
.
Le rapport entre le grand côté et la base est égal au nombre d'or :
=
= Φ.
Soit B le point qui partage [AC] en une section d'or :
=
= Φ,
on a DA = DB = BC, (DB) est la bissectrice de l'angle . Le triangle
isocèle ABD est semblable au triangle ADC avec un rapport de similitude égal à Φ. Ce triangle ABD est aussi un triangle d'or.
Cliquer sur la figure et déplacer, avec la souris, les points libres A ou C.
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Le triangle BCD est un triangle d'argent, est isocèle en B d'angle ,
les deux autres angles, en C et D, étant égaux à
.
Le rapport des côtés est aussi égal au nombre d'or :
= Φ.
Un pentagone régulier est formé
par un triangle d'or et deux triangles d'argent.
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Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.
La droite (DB), bissectrice de l'angle D du triangle ACD, partage le triangle en deux triangles isocèles. Le triangle ACD est bisocèle.
Il n'y a que deux types de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.
Voir : triangle au collège
À partir du segment [AC], sur la perpendiculaire en A, placer un point M tel que AM =
AC.
Le cercle c1 de centre M, passant par A, coupe le segment [CM] en P.
Le cercle c2 de centre C, passant par P, coupe le segment [AC] en B qui est la section d'or cherchée.
Indications
En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle AMC, on a :
MC2 = AC2 + AM2 = (2AM)2 + AM2 = 5 AM2 d'où MC = AM.
=
=
=
=
=
= Φ.
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Si A et C sont deux sommets du triangle, soit B le point qui partage [AC] en une section d'or. Le troisième sommet D est un des points d'intersection du cercle c3 de centre C, passant par A et du cercle c4 de centre B, passant par C.
Soit α = l'angle au sommet du triangle d'or. α est aussi égal à l'angle
du triangle d'or isométrique.
= 2α
car (DB) en est la bissectrice. La somme des trois angles du triangle d'or est
+
+
= α + 2α + 2α = 5α = π.
α = . Le triangle d'or a donc un angle au sommet de
,
les deux autres angles étant égaux à
.
À partir du segment [AB] trouver un point C et tracer un triangle d'or ayant une base [DC] égale à AB.
On adapte ici le procédé de construction du rectangle d'or.
Soit K le milieu de [AB] et B’ le point de la perpendiculaire en B situé sur le cercle c1 de centre B, passant par A (tel que le triangle ABB’ soit rectangle isocèle direct - cf. figure).
Le cercle c2 de centre K passant par B’ coupe la demi-droite [AB) en C.
B est la section dorée de [AC].
En effet, si la longueur AB représente l'unité, la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle KBB’ permet de vérifier que :
AC = AK + KC = AK + KB’ = +
= Φ.
Une des intersections du cercle c3 de centre A passant par C avec le premier cercle c1 de centre B est D.
ACD est un triangle d'or.
Cliquer sur la figure et déplacer, avec la souris, les points libres A ou B.
Il est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.
À partir du triangle AnAn+1An+2 créer le point An+3 tel que An+1AnAn+3 soit une section d'or et recommencer.
Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :
tracer un triangle d'or initial A0B0C0. Trouver le point A1 tel que B0C0A1 forme une section d'or. Remplacer A0 et B0 respectivement par B1, C1 pour obtenir le triangle d'or A1B1C1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S), tracer les triangles suivants.
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Cliquer sur la figure de gauche et à chaque frappe de la touche S un nouveau triangle est créé. Faire apparaître un plus grand nombre de triangles avec un zoom par appui sur la touche.
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Une spirale logarithmique d'équation, en coordonnées polaires,
ρ = aΦ(5q/3p)
dans un repère d'origine I, intersection des droites A0A5 et A1A6 (voir figure), passe par les sommets des triangles d'or.
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Le nombre d'or
Construire un pentagone régulier
Le barycentre |
Angles |
GéoPlan |
GéoPlan |
GéoPlan 1S |
Démonstrations géométriques de Pythagore |
SommaireAngle 2. Angle
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