Exercices liés aux angles remarquables : 15°; 22,5°; 54°; 72°.

Angles - Trigonométrie

Sommaire

Angle

a. Calculatrice TI-92
b. Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré
c. Triangle d'angles et
d. Exercice : calcul de coordonnées

3. Angles ,

a. cos
b. sin

Figures interactives : visualisation sur PC avec Explorer et les ActiveX de GéoPlan.

Les paragraphes sur le nombre d'or,
le rectangle d'or,
tracé régulateur,
le triangle d'or,
ont été déplacés dans la page : le nombre d'or

Les carrés du BOA : triangle et rotation

Affaire de logique n^o 199 : les trois carrés

Téléchargement

Télécharger angle_trigo.doc : ce document au format « .doc » (1007 Ko)

Télécharger angle_trigo.pdf : ce document au format « .pdf » d'Adobe Acrobat (349 Ko)

Page n^o 35, réalisée le 17/3/2003, mise à jour le 11/4/2008

Faire de la géométrie dynamique

Angles
Rotations

GéoPlan 1S
Le plan projectif

GéoPlan
Paraboles en 1S
Paraboles en 1L

Analyse
Méthode d'Euler

GéoPlan 1S
Produit scalaire

1. Configuration du rectangle

Avec GéoPlan, placer un point M libre sur l'arc AB du cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

Utiliser les symétries {menu > point > point image par > symétrie axiale} par rapport à (Ox) puis (Oy) ou {menu > point > point image par > symétrie centrale} par rapport à O pour créer les points M₁, M₂, M₃.

Puis trouver les points H, K, H', K'.

Si (, ) = x, en fonction de x, calculer les angles :
(, vect(oM1) ), (, vect(oM2) ), (,).

On a : = + = cos x + sin x

En déduire, cos(-x), sin(-x) ; cos(π - x), sin(π - x) ; cos(π + x), sin(π + x).

Avec GéoPlan, déplacer M pour obtenir les valeurs approchées des lignes trigonométriques des angles remarquables , , ; de leurs opposés ; de leurs suppléments.

Télécharger la figure GéoPlan trig_rec.g2w

Angle : les formules de linéarisation cos²a = (1+cos2a)/2 et sin²a = (1-cos2a)/2 permettent de calculer les valeurs trigonométriques de l'angle moitié :

(1+cos(pi/4))/2 = (2+rac(2))/4 d'où cos = (le cosinus est positif)
et, de même, on trouve sin = .

Voir : construction de-ci, de-là
Faire de la géométrie dynamique
Sommaire

2. Angle

a. Calculatrice TI-92

La calculatrice formelle donne les valeurs exactes des lignes trigonométriques de :

cos = ( + 1), sin = ( - 1) et tan = 2 - .

On peut vérifier ces formules en décomposant = - :

Par exemple :

cos = cos( - ) = cos cos + sin sin = + = ( + 1).

Pour retrouver la tangente utiliser : 1+ tan²x = (cos²x + sin²x)/2 = 1/cos² (x) .

b. Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

ACDE est un carré de côté a = 2 et ABC est un triangle équilatéral.

Montrer que AEB est un triangle isocèle et calculer ses angles.
En déduire que (, ) = .
Calculer BH et en déduire le calcul exact de cos .

Télécharger la figure GéoPlan carre_tr.g2w

Solution

AB est égal au côté du carré, donc ABE est un triangle isocèle en A, ayant pour angle en A :
- = .

Les deux angles sont égaux à (pi-(pi/6))/2 , soit , donc : (, ) = - = .

La hauteur du triangle équilatéral est égale à a = , donc BH = 2 - .

Dans le triangle rectangle EBH tan = = (2-rac(3))/1 = 2 - ,
et la propriété de Pythagore donne EB² = (2 - )² + 1 = 8 - 4.

cos² = (EH/EB)² = = 1/(8-4rac(3)) = (2+rac(3)/4

On trouve donc deux nouvelles formules : cos = rac(2+rac(3))/2 et sin = rac(2-rac(3))/2 .

Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré - Cercle circonscrit Cercle circonscrit

La médiatrice de [BE] coupe la médiatrice de [DE] en O.

Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle BDE,
le rayon de ce cercle est égal à la longueur du côté du carré. EHO est un demi-triangle équilatéral.

Retrouver cette figure dans angles - rotations : prouver un alignement

voir aussi : triangle équilatéral inscrit dans un carré ; aire maximale.

Télécharger la figure GéoPlan carre_t2.g2w
Faire de la géométrie dynamique
Sommaire

c. Triangle d'angles et

Triangle d'angles 60° et 45° Construire un segment AB de 5 cm. À partir du point A tracer une demi-droite formant un angle de avec (AB) et une autre à partir de B formant un angle de . Les deux demi-droites se coupent en C.

Soit AI, BJ et GH les trois hauteurs du triangle.

Calculer AI, puis exprimer AC en fonction de cos .

Solution

AIB est un triangle rectangle en I. L'angle en B est par hypothèse ,
le complémentaire (, ) = .

On a AI = AB cos = 5 .

Étudions le triangle ACI rectangle en I :

(, ) = (, ) + (, ) = − + = .

AI = AC cos , donc AC = (5rac(3)/2)/cos(pi/12) .

Calculer BJ, puis exprimer BC en fonction de cos .

Dans le triangle ABJ rectangle en J, on a BJ = AB cos = 5 .

De même, dans le triangle rectangle BCJ l'angle aigu B est égal à - = .

BJ = BC cos , donc BC = (5rac(2)/2)/cos(pi/12) .

Calcul de AC cos + BC cos.

Dans le triangle ACH rectangle en H, d'angle A = , on a : AH = AC cos .

Dans le triangle BCH rectangle en H, d'angle B = , on a : HB = BC cos.

AC cos + BC cos= AH + HB = AB = 5.

Calcul de cos

AC cos + BC cos= (5rac(3)/2)/cos(pi/12) + (5rac(2)/2)/cos(pi/12) = rac(2)/2)(rac(3)/2+1/2)/cos(pi/12) = 5.

On retrouve la formule cos = ( + 1).

Télécharger la figure GéoPlan t_pi_3_4.g2w

d. Exercice : calcul de coordonnées

Calculs trigonométriques en géométrie analytique : angles , et . pi:12 : calculs de coordonnées

1) Le point A a pour coordonnées polaires (2, ). Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?
2) On place C image de A par la rotation r(O, - ).
Quelles sont les coordonnées polaires de C ?
Ses coordonnées cartésiennes ?
3) On place le point B tel que OABC soit carré : ( = + ). Quelle est la nature du triangle OAB ? Quel est l'angle (, ) ? Calculer OB. Quel est l'angle (, ) ? Quelles sont les coordonnées polaires de B ?
4) Calculer les coordonnées cartésiennes de B. En déduire les valeurs exactes de cos et sin .

Télécharger la figure GéoPlan carre_pi_12.g2w
Faire de la géométrie dynamique
Sommaire

e. Complexes

Bac S Amérique du Nord 1999 - Exercice 2 - Candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

angle pi/12 Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O, , ), l’unité graphique étant 4 cm. On considère les points A₀, A₁, d'affixes respectives : a₀ = l ; a₁ = .
Le point A₂ est l’image du point A₁ par la rotation r de centre O et d’angle .

1. a) Calculer l’affixe a₂ du point A₂ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
b) Soit I le milieu du segment [A₀A₂]. Calculer l’affixe du point I.
c) Faire une figure.

2. a) Prouver que les droites (OI) et (OA₁) sont confondues.
b) Écrire sous forme trigonométrique l’affixe de I.
c) Déterminer cos et sin (les valeurs exactes sont exigées), sachant que :

Télécharger la figure GéoPlan angle_pi_12.g2w

3. Angles ,

a. cos : Pour ce calcul nous plaçons le point A sur le cercle trigonométrique tel que (, ) = . La rotation de centre O et d'angle transforme A en B ; B en C et C en D. Les points B et C correspondent aux angles supplémentaires et , B et C sont symétriques par rapport à l'axe vertical (Oy). Le point D correspond à l'angle supplémentaire , A et D sont symétriques par rapport à (Oy).

Cercle trigonométrique Les coordonnées de A sont :

cos = x, sin = y

Les formules de duplication pour l'arc double donnent :

sin 2a = 2 sin a cos a = 2 x y

cos 2a = 2 cos²a - 1 = 1 - sin²a = x² - 1 = 1 - y²

La TI-92 calcule les fonctions trigonométriques associées au triple de l'arc (fonction dévTrig)

sin 3a = 4 sin a cos²a - sin a = 4 x² y - y

cos 3a = cos a - 4 sin²a cos a = x - 4 x y²

B et C ont mêmes abscisses : sin et sin sont égaux donc 4 x² y - y = 2 x y.

En simplifiant par y on obtient 4 x² - 2 x - 1 = 0.

x = cos est la solution positive de cette équation, donc cos = , calcul que la TI-92 fait directement.

Remarque : cos est égal à la moitié du nombre d'or Φ = 2 cos = .

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos²a - 1, on trouve :

cos = − cos = sin = 2 cos² - 1 = = (phi-1)/2 = .

x
cos x				–

L'inverse du nombre d'or est donc = Φ - 1 = = 2 sin .

I, B, D et les symétriques de D et B par rapport à (Ox) sont les sommets d'un pentagone régulier.

I, A, B, C, D, J et les symétriques de D, C, B et A par rapport à (Ox) sont les sommets d'un décagone régulier.

Télécharger la figure GéoPlan tri_pi_5.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

b. sin

3pi/12 et cercle trigo Soit D le symétrique du point A, par rapport à la droite d'équation y = x.

Le complémentaire de l'angle (, ) est : (, ) = .

OD₂ = OA₁ d'où sin = cos = .

Le supplémentaire de l'angle (, ) est : (, ) = .

sin = sin = .

Télécharger la figure GéoPlan t_pi3_10.g2w
Faire de la géométrie dynamique
Sommaire

Courbe des chiens Suites et géométrie	Angles Rotations	GéoPlan Équations	GéoPlan Lieux géométriques	GéoPlan 1S Le barycentre	Construire un pentagone régulier
Sommaire 1. Configuration du rectangle Angle 2. Angle a. Calculatrice TI-92 b. Triangle équilatéral dans un carré c. Triangle d'angles et d. Exercice : calcul de coordonnées 3. Angles , a. cos b. sin			GéoPlan en 1S Minimum-maximum Fonctions distance Homothéties Les problèmes du BOA : rotation et produit scalaire GéoPlan en seconde Configurations fondamentales : triangles, triangles rectangles, cercles, parallélogrammes
Faire de la géométrie dynamique Accueil : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.
Rétrolien - Moteur de recherche
L'ile des mathématiques : cercle trigonométrique

Angles - Trigonométrie

Sommaire

Téléchargement

1. Configuration du rectangle

2. Angle

a. Calculatrice TI-92

b. Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

Solution

c. Triangle d'angles et

Solution

d. Exercice : calcul de coordonnées

e. Complexes

3. Angles ,

b. sin

Sommaire

GéoPlan en 1S

GéoPlan en seconde

Faire de la géométrie dynamique

Rétrolien - Moteur de recherche