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Exercices liés aux angles remarquables : 15° ; 22,5° ; 54° ; 72°.

Angles - Trigonométrie

Sommaire

1. Configuration du rectangle

Angle pi/8

2. Angle pi/12

a. Calculatrice TI-92
b. Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré
c. Triangle d'angles pi/3 et pi/4
d. Exercice : calcul de coordonnées

3. Angles pi/5, 2pi/5

a. cos pi/5
b. sin 3pi/10

Nombre d'or :
    rectangle d'or,
    tracé régulateur,
    triangle d'or.

Les carrés du BOA : triangle et rotation

 

Page no 35, réalisée le 17/3/2003, mise à jour le 11/4/2008

Faire de la géométrie dynamique

Angles
Rotations

GeoGebra
Le plan projectif

GéoPlan
Paraboles en 1S

Analyse
Méthode d'Euler

GéoPlan 1S
Produit scalaire

 1. Configuration du rectangle

cercle trigonométriqueAvec GéoPlan, placer un point M libre sur l'arc AB du cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

Utiliser les symétries {menu > point > point image par > symétrie axiale} par rapport à (Ox) puis (Oy) ou {menu > point > point image par > symétrie centrale} par rapport à O pour créer les points M1, M2, M3.

Puis trouver les points H, K, H’, K’.

Si (vect(i), vect(OM)) = x, en fonction de x, calculer les angles :
(vect(i),vect(oM1)), (vect(i),vect(oM2)), (vect(i),vect(oM2)).

On a : vect(OM) = vect(OH) + vect(OH) = cos x vect(i) + sin x vect(j)

En déduire, cos(-x), sin(-x) ; cos(π - x), sin(π - x) ; cos(π + x), sin(π + x).

Avec GéoPlan, déplacer M pour obtenir les valeurs approchées des lignes trigonométriques des angles remarquables pi/6, PI/4, pi/3 ; de leurs opposés ; de leurs suppléments.

g2w Télécharger la figure GéoPlan trig_rec.g2w

Angle pi/8 : les formules de linéarisation cos2a = (1+cos2a)/2 et sin2a = (1-cos2a)/2 permettent de calculer les valeurs trigonométriques de l'angle moitié :

(1+cos(pi/4))/2 = (2+rac(2))/4 d'où cos pi/8 = rac(2+rac(2))/2 (le cosinus est positif)
et, de même, on trouve sin pi/8 = rac(2-rac(2))/2.

Voir : construction de-ci, de-là
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2. Angle pi/12

a. Calculatrice TI-92

La calculatrice formelle donne les valeurs exactes des lignes trigonométriques de pi/12 :

cos pi/12 = rac(2)/4 (rac(3) + 1), sin pi/12 = rac(2)/4 (rac(3) - 1) et tan pi/12 = 2 - rac(3).

On peut vérifier ces formules en décomposant pi/12 = pi/3 - PI/4 :

Par exemple :

cos pi/12= cos(pi/3 - pi/4) = cos pi/3 cos PI/4 + sin pi/3 sin PI/4 = 1/2 rac(2)/2 + rac(3)/2 rac(2)/2 = rac(2)/4 (rac(3) + 1).

Pour retrouver la tangente utiliser : 1+ tan2x = (cos²x + sin²x)/2 = 1/cos² (x).

 b. Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré

  ACDE est un carré de côté a = 2 et ABC est un triangle équilatéral.

Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré
  • Montrer que AEB est un triangle isocèle et calculer ses angles.
    En déduire que (vect(EB), vect(ED)) = pi/12.
  • Calculer BH et en déduire le calcul exact de cos pi/12.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_tr.g2w

Solution
  • AB est égal au côté du carré, donc ABE est un triangle isocèle en A, ayant pour angle en A :
    pi/2 - pi/3 = pi/6.

Les deux angles sont égaux à (pi-(pi/6))/2, soit 5pi/12, donc : (vect(EB), vect(ED)) = pi/2 - 5pi/12 = pi/12.

  • La hauteur du triangle équilatéral est égale à arac(3)/2 = rac(3), donc BH = 2 - rac(3).

Dans le triangle rectangle EBH tan pi/12 = BH/HC = (2-rac(3))/1= 2 - rac(3),
et la propriété de Pythagore donne EB2 = (2 - rac(3))2 + 1 = 8 - 4rac(3).

cos2 pi/12 = (EH/EB)²= 1/EB²= 1/(8-4rac(3))= (2+rac(3)/4

On trouve donc deux nouvelles formules : cos pi/12 = rac(2+rac(3))/2 et sin pi/12 = rac(2-rac(3))/2.

Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré - Cercle circonscritCercle circonscrit

La médiatrice de [BE] coupe la médiatrice de [DE] en O.

Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle BDE,
le rayon de ce cercle est égal à la longueur du côté du carré. EHO est un demi-triangle équilatéral.

Retrouver cette figure dans angles - rotations : prouver un alignement

voir aussi : triangle équilatéral inscrit dans un carré ; aire maximale.

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c. Triangle d'angles pi/3 et pi/4

Triangle d'angles 60° et 45°Construire un segment AB de 5 cm. À partir du point A tracer une demi-droite formant un angle de pi/4 avec (AB) et une autre à partir de B formant un angle de pi/3. Les deux demi-droites se coupent en C.

Soit AI, BJ et GH les trois hauteurs du triangle.

  • Calculer AI, puis exprimer AC en fonction de cos pi/12.

Solution
  • AIB est un triangle rectangle en I. L'angle en B est par hypothèse pi/3,
    le complémentaire (vect(AB), vect(AI)) = pi/6.

On a AI = AB cos pi/6 = 5 rac(3)/2.

Étudions le triangle ACI rectangle en I :

(vect(AI), vect(AC)) = (vect(AI), vect(AB)) + (vect(AB), vect(AC)) = − pi/6 + pi/4 = pi/12.

AI = AC cos pi/12, donc AC = (5rac(3)/2)/cos(pi/12).

  • Calculer BJ, puis exprimer BC en fonction de cos pi/12.

Dans le triangle ABJ rectangle en J, on a BJ = AB cospi/4 = 5 rac(2)/2.

De même, dans le triangle rectangle BCJ l'angle aigu B est égal à pi/3 - pi/4 = pi/12.

BJ = BC cos pi/12, donc BC = (5rac(2)/2)/cos(pi/12).

  • Calcul de AC cos pi/4 + BC cospi/3.

Dans le triangle ACH rectangle en H, d'angle A = pi/4, on a : AH = AC cos pi/4.

Dans le triangle BCH rectangle en H, d'angle B = pi/3, on a : HB = BC cospi/3.

AC cos pi/4 + BC cospi/3= AH + HB = AB = 5.

  • Calcul de cos pi/12

AC cos pi/4 + BC cospi/3= (5rac(3)/2)/cos(pi/12)rac(2)/2 + (5rac(2)/2)/cos(pi/12)1/2 = rac(2)/2)(rac(3)/2+1/2)/cos(pi/12) = 5.

On retrouve la formule cos pi/12 = rac(2)/4 (rac(3) + 1).

g2w Télécharger la figure GéoPlan t_pi_3_4.g2w

d. Exercice : calcul de coordonnées

Calculs trigonométriques en géométrie analytique : angles pi/3, pi/6 et pi/12.pi:12 : calculs de coordonnées

1) Le point A a pour coordonnées polaires (2, pi/3). Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?
2) On place C image de A par la rotation r(O, - pi/2).
Quelles sont les coordonnées polaires de C ?
Ses coordonnées cartésiennes ?
3) On place le point B tel que OABC soit carré : (vect(OB) = vect(OA) + vect(OC)). Quelle est la nature du triangle OAB ? Quel est l'angle (vect(OA), vect(OB)) ? Calculer OB. Quel est l'angle (vect(i), vect(OB)) ? Quelles sont les coordonnées polaires de B ?
4) Calculer les coordonnées cartésiennes de B. En déduire les valeurs exactes de cos pi/12 et sin pi/12.

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e. Complexes

Bac S Amérique du Nord 1999 - Exercice 2 - Candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

angle pi/12Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O, vect(u), vect(u)), l'unité graphique étant 4 cm. On considère les points A0, A1, d'affixes respectives : a0 = l ; a1 =  e^i pi/12.
Le point A2 est l'image du point A1 par la rotation r de centre O et d'angle pi/12.

1. a) Calculer l'affixe a2 du point A2 sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
b) Soit I le milieu du segment [A0A2]. Calculer l'affixe du point I.
c) Faire une figure.

2. a) Prouver que les droites (OI) et (OA1) sont confondues.
b) Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I.
c) Déterminer cos pi/12 et sin pi/12 (les valeurs exactes sont exigées), sachant que : rac(2)+rac(6)

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3. Angles pi/5, 2pi/5

a. cos pi/5 : Pour ce calcul nous plaçons le point A sur le cercle trigonométrique tel que (vect(i), vect(OA)) = pi/5. La rotation de centre O et d'angle pi/5 transforme A en B ; B en C et C en D. Les points B et C correspondent aux angles supplémentaires 2pi/5 et 3pi/5, B et C sont symétriques par rapport à l'axe vertical (Oy). Le point D correspond à l'angle supplémentaire 4pi/5, A et D sont symétriques par rapport à (Oy).

Cercle trigonométriqueLes coordonnées de A sont :

cos pi/5 = x, sin pi/5 = y

Les formules de duplication pour l'arc double donnent :

sin 2a = 2 sin a cos a = 2 x y

cos 2a = 2 cos2a - 1 = 1 - sin2a = x2 - 1 = 1 - y2

La TI-92 calcule les fonctions trigonométriques associées au triple de l'arc (fonction dévTrig)

sin 3a = 4 sin a cos2a - sin a = 4 x2 y - y

cos 3a = cos a - 4 sin2a cos a = x - 4 x y2

B et C ont même ordonnée  : sin 2 pi/5 et sin 3pi/5 sont égaux, donc 4 x2 y - y = 2 x y.

En simplifiant par y on obtient 4 x2 - 2 x - 1 = 0.

x = cos pi/5 est la solution positive de cette équation, donc cos pi/5 = (rac(5)+1)/4, calcul que la TI-92 fait directement.

Remarque : cos pi/5 est égal à la moitié du nombre d'or Φ = 2 cos pi/5 = nombre d'or.

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos2a - 1, on trouve :

cos 2 pi/5 = − cos 3pi/5 = sin pi/10 = 2 cos2 pi/5 - 1 = (rac(5)-1)/4 = (phi-1)/2 = 1/(2phi).

x
pi/5
2 pi/5
3pi/5
4pi/5

cos x

 (rac(5)+1)/4
(rac(5)-1)/4
(1 - rac(5)/4
   –   - (rac(5)+1)/4

L'inverse du nombre d'or est donc 1/Φ = Φ - 1 = (rac(5)-1)/2 inverse nombre d'or = 2 sin pi/10.

I, B, D et les symétriques de D et B par rapport à (Ox) sont les sommets d'un pentagone régulier.

I, A, B, C, D, J et les symétriques de D, C, B et A par rapport à (Ox) sont les sommets d'un décagone régulier.

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b. sin 3pi/10

3pi/12 et cercle trigoSoit D le symétrique du point A, par rapport à la droite d'équation y = x.

Le complémentaire de l'angle (vect(i), vect(OA)) est : (vect(i), vect(OD)) = 3pi/10.

OD2 = OA1 d'où sin 3pi/10 = cos pi/5 = (rac(5)+1)/4.

Le supplémentaire de l'angle (vect(i), vect(OD)) est : (vect(i), vect(OE)) = 7π/10.

sin 7π/10 = sin 3pi/10 = (rac(5)+1)/4.

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Courbe des chiens Suites et géométrie

Angles
Rotations

GéoPlan
Équations

Lieux géométriques

GéoPlan
Le barycentre

Construire un pentagone régulier
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1. Configuration du rectangle

Angle pi/8

2. Angle pi/12

a. Calculatrice TI-92
b. Triangle équilatéral dans un carré
c. Triangle d'angles pi/3 et pi/4
d. Exercice : calcul de coordonnées

3. Angles pi/5, 2 pi/5

a. cos pi/5
b. sin 3pi/10

creem Figures interactives : visualisation sur PC avec Explorer et les ActiveX de GéoPlan.

 

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