Le nombre d'or avec GéoPlan

Sommaire

1. Le nombre d'or
2. Constructions classiques
        Construction de Φ
        Section d'or
        Construction d'Euclide
3. Nombre d'or et trigonométrie
4. Rectangle d'or
        Tracé régulateur
        Pavage
        Spirale logarithmique
5. Triangle d'or
        Pavage
        Spirale d'or
6. Suites et nombre d'or
7. Suites de Fibonacci - puissances de Φ
        Suites de pentagones

Voir aussi :

Polygones réguliers : pentagone ; décagone

Pentagone régulier :
    constructions exactes
    constructions approchées
    avec GeoGebra

Inscrire un carré dans un demi-cercle

Page n^o 127, créée le 24/11/2008, mise à jour le 3/11/2010

Faire de la géométrie dynamique

GéoPlan en 3^e
Théorème de Thalès

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan en 5^e
Construction de triangles

Histoire des mathématiques

1. Le Nombre d'or

Partage d'un segment en « moyenne raison »

Trois points A, B et M alignés forment une section dorée si le point M du segment [AB] est tel que : = ,
ce qui signifie que le grand et le moyen segment sont dans le même rapport que le moyen et le petit segment (AB > AM > MB).

Le rapport est, comme le montre les calculs ci-dessous, égal au nombre d'or Φ = : on a la proportion divine du moine franciscain Luca Pacioli.

La découverte du nombre d'or remonte à l'antiquité grecque.
On a cru un temps que des figures de l'Égypte antique se rattachaient au nombre d'or, mais c'était pur hasard et superstition.

Pour les « anciens Grecs », le nombre d'or apparaît comme un nombre irrationnel, lié aux problèmes du partage d'un segment en « extrême et moyenne raison » et aux propriétés des pentagones et décagones.

L'essentiel des propriétés se trouve dans les Éléments d'Euclide, qui ne lui donne pas de nom particulier et qui était détaché de toutes les préoccupations mystiques qui entoureront ce nombre à partir du XV^ème siècle.

Calculs algébriques

Soit un segment [AB] de longueur 1 et un point M de [AB] tel que AM = x, d'où MB = AB − AM = 1 − x.
Le point M partage [AB] suivant la section d'or si on a l'égalité des rapports  et :
de = et = , on en tire = .
Le produit des « extrêmes » 1 − x est égal au produit des « moyens » x² : x² = 1 − x, d'où l'équation x² + x − 1 = 0.
Cette équation a pour solution positive x = = = Φ − 1, où Φ =  est le nombre d'or.
Le rapport = , inverse de , est donc égal au nombre d'or Φ : le point M réalise une section dorée du segment [AB].

a. Construction de Φ

Tracer un angle droit de sommet O. Un cercle (c₁) de centre O, coupe les côtés de cet angle en A et C.
On choisira comme unité le rayon OA.

Soit D est le milieu de [OA], le cercle de centre D et de rayon DC coupe (OA) en B.

La longueur du segment [AB] est Φ.

Remarque : le point O réalise une section dorée du segment [AB] :
OB = (voir ci-contre).

Indications

En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle OCD, on a :

CD² = CO² + OD² = 1² + ()² = d'où CD = .

AB = AD + DB = + = = Φ.

Télécharger la figure GéoPlan construc_phi.g2w

Remarque

Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, et est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.

On le trouve, accolé à un triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas »  :
rectangle d'or
« rectangle »
triangle d'or
pentagone régulier
décagone

b. Section d'or

Partage d'un segment en « extrême et moyenne raison »

À partir du segment [AB], sur la perpendiculaire en A à (AB), placer un point M tel que : AM = AB.

Le cercle (c₁) de centre M, passant par A, coupe le segment [MB] en P.

Le cercle (c₂) de centre B, passant par P, coupe le segment [AB] en C.

Le point C réalise une section dorée du segment [AB] : = Φ.

Soit D le point de la droite (AB), à l'extérieur de [AB] tel que AD = BC.

C et D partagent le segment [AB] en « moyenne et extrême raison »:
= = Φ.

Si on choisit AB comme unité, alors DB = Φ et CB = .

Indications

En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle AMB, on a :

MB² = AM² + AB² = AM² + (2AM)² = 5 AM² d'où MB = AM.

= 2AM/PB = 2AM/(MB−MP) = 2AM/(MB−AM) = = = Φ.

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Constructions d'Euclide

Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.

On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.

On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c₂) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A.
Le cercle (c₃) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.

D'après le livre VI des éléments

Preuve par le calcul

On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1) que :
AI = ; CA = AB = 1 ; DI = IC = ;
AM = DA = DI − AI = − = = = Φ − 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB − AM = 1 − = 2 − Φ ≈ 0,382 ;
DB = DI + IB = + = Φ ≈ 1,618.

MA = ; = Φ ;
= MB × = (1 − ) × Φ = Φ − 1 = = .
= d'où = Φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].

Remarque : le cercle (c₃) coupe le segment [AC] en P qui réalise la section dorée de ce segment.

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Construction avec deux carrés

Partage d'un segment [AC] en « moyenne raison » : étant donné deux points A et C trouver un point P tel que A, C et P forment une section dorée.

Construction

On complète avec le point E le carré de côtés [AB] et [AC], et avec le point Q le carré de côtés [AD] et [AP].

La droite (QP) coupe (BE) en N.

Preuve par le calcul

Le rectangle PNEC a pour longueur CE = 1
et pour largeur CP = MB = 2 − Φ (calcul ci-contre).

Son aire est 2 − Φ.

Le carré DAPQ a pour côté AP = AM = .
Son aire est .

Nous avons montré au chapitre 7 que = 2 − Φ.
Le rectangle PNEC et le carré CFGH ont la même aire :
CE × PC = AC × PC = AP².

= : on a bien une section dorée du segment [AC].

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Autre construction

d. Corde et tangente égales

Construction du forum futura-sciences :

Soit deux points M et T du plan tels que MT = 1
Un cercle (c) est tangent en T à la droite (MT).
{Le centre O du cercle est situé sur la perpendiculaire en T à (MT)}

Étant donné un point A du cercle (c), sur la demi-droite [MA), à l'extérieur
du segment [MA] placer le point B tel que AB = 1 et tel que B soit sur (c).

Avec GéoPlan, déplacer le point A de telle façon que B, intersection de [MA) et du cercle de centre A, de rayon 1, soit situé sur le cercle (c).

1. Montrer que MA × MB = MT².
2. Montrer que le rapport est égal au nombre d'or.

Indications

1. La puissance de M par rapport au cercle (c) est MA × MB et est égale au carré de la tangente MT.

2. AB = MT = 1. Posons MA = x, alors MB = MA + AB = x + 1; la puissance de M qui est MA × MB = MT², s'écrit x(x + 1) = 1²,
d'où l'équation x² + x − 1 = 0 qui, comme nous l'avons vu au §1, a pour solution positive x = = ;
MB = x + 1 = + 1 = Φ.

Les trois points M, A, et B forment une section dorée. Le rapport est égal au nombre d'or Φ.

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3. Nombre d'or et trigonométrie

On a vu dans la page angle trigonométrie que cos est égal à la moitié du nombre d'or Φ = 2 cos = ;
cos = − cos = .

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos²a − 1, on trouve :

cos = − cos = sin = 2 cos² − 1 = = = .

x

cos x

L'inverse du nombre d'or est donc = Φ − 1 = = 2 sin .

4. Rectangle d'or

Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or Φ = .

Depuis l'antiquité grecque, on sait construire un rectangle d'or d'une largeur donnée de la façon suivante :
• tracer un carré ABCD ayant comme côté la largeur souhaitée,
• prendre le milieu K de [AD],
• rabattre le point C sur (AD) en traçant le cercle de centre K, passant par C. Ce cercle coupe [AD) en E,
• terminer la construction du rectangle d'or ABFE.

En effet, en choisissant la largeur AB comme unité, on a KE = KC = , d'après la propriété de Pythagore dans le triangle DKC rectangle en D,
et AE = + = Φ.

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b. Tracé régulateur

En architecture, comme en dessin, le tracé régulateur permet de schématiser les lignes de force d'une figure.

« Le tracé régulateur n'apporte pas d'idées poétique ou lyrique ; il n'inspire nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. »

Le Modulor - Le Corbusier - 1948

Tracé régulateur dans un rectangle d'or

Les diagonales du rectangle rencontrent les diagonales des carrés selon des sections d'or.

Les diagonales des carrés ABCD et EFHG coupent en L, M, N, P les diagonales du rectangle d'or ABFE.

Section d'or sur une diagonale : AF/AP = AP/AM = Φ.

Section d'or sur un côté des carrés : CD/CN = CN/CP = Φ.

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Tracé régulateur dans un « rectangle »

« Rectangle » :
le rapport entre la longueur et la largeur est . Le rectangle est la juxtaposition d'un carré de côté 1 et deux rectangles d'or de longueur 1 et de largeur .

AFGD et EBCH sont des rectangles d'or de longueur Φ et de largeur 1.

Construction à partir d'un carré de côté [EF] tel que EF = 1.
Soit O le milieu de [EF].
Le cercle de centre O passant par H coupe (EF) en A et B. Compléter le rectangle avec C et D sur (GH).

ABCD est un « rectangle » de longueur 1 et de largeur .

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Voir : inscrire un carré dans un demi-cercle

Titien 1488-1576, la Présentation de la Vierge au Temple (Académie de Venise)

L'escalier est parallèle à une des diagonales du rectangle d'or de droite.

Plus contestable : il comporte 8 et 5 marches, une suite de Fibonacci.

Le carré central est dans la lumière, les deux rectangles d'or de chaque côté sont dans l'ombre.

La petite fille, à l'intersection des diagonales des rectangles d'or, est la vierge ; la femme à la coiffe drapée blanche c'est sa mère, sainte Anne.

A. Meyer C. Steyaert - Le nombre d'or
IREM Paris VII -1981
Rectifié par Historiette

Le côté du carré jaune est égal au diamètre du cercle, divisé par . Cette construction classique est habituellement réalisée en 1^èreS avec les homothéties, mais peut être résolue par le calcul en classe de seconde.

Définition

Le gnomon d'une figure permet d'obtenir une nouvelle figure semblable à la précédente.

Voir : Euclide

Pavage de rectangles d'or

Il est possible de paver le plan à partir de rectangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de rectangles de plus en plus grands.

Ces rectangles sont obtenus en ajoutant au rectangle un carré qui est le gnomon de ce rectangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau rectangle semblable au précédent.

Une bonne occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan : voir ci-contre.

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Création itérative avec GéoPlan

Tracer un rectangle d'or initial A₀B₀F₀E₀ à partir du carré A₀B₀C₀D₀.
Tracer A₀E₀A₁B₁. B₀F₀A₁B₁ est un rectangle d'or.
Remplacer A₀, B₀, F₀, E₀ respectivement par C₁, F₁, E₁, D₁ pour obtenir le rectangle d'or A₁B₁F₁E₁ contenant le carré A₁B₁C₁D₁ de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S) on tracera les carrés suivants.

En traçant, dans chaque nouveau carré, le quart de cercle de centre D_n, reliant A_nA_n+1, on obtient laspirale dorée C₀A₀A₁A₂…

Commande GéoPlan
Taper S pour itérer et tracer du rectangle suivant.
Attention, ne pas sauvegarder la figure après modification.

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Spirale logarithmique

La spirale dorée est approchée par une spirale logarithmique d'équation en coordonnées polaires
ρ = aΦ^(2q/p) dans un repère d'origine I point d'intersection de diagonales des rectangles d'or (voir figure).

Une autre spirale logarithmique passe par les sommets des rectangles d'or.

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voir : Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET : spirale d'or

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5. Triangle d'or, triangle d'argent

Le triangle d'or ACD est un triangle isocèle en C d'angle , les deux autres angles à la base en A et D étant égaux à .

Le rapport entre le grand côté et la base est égal au nombre d'or : = = Φ

Soit B le point qui partage [AC] en une section d'or :
= = Φ, on a DA = DB = BC, (DB) est la bissectrice de l'angle . Le triangle isocèle ABD est semblable au triangle ADC avec un rapport de similitude égal à Φ. Ce triangle ABD est aussi un triangle d'or.

Le triangle BCD est un triangle d'argent, isocèle en B d'angle , les deux autres angles, en C et D, étant égaux à .
Le rapport des côtés est aussi égal au nombre d'or : = Φ.

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Pentagone régulier

Un pentagone régulier est formé par un triangle d'or et deux triangles d'argent.

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Triangle bisocèle

Voir : triangle au collège

b. Construction du triangle d'or à partir du grand côté

Si A et C sont deux sommets du triangle, soit B le point qui partage [AC] en une section d'or. Le troisième sommet D est un des points d'intersection du cercle c₃ de centre C, passant par A et du cercle c₄ de centre B, passant par C.

Soit α = l'angle au sommet du triangle d'or. α est aussi égal à l'angle du triangle d'or isométrique. = 2α car (DB) en est la bissectrice.
La somme des trois angles du triangle d'or est + + = α + 2α + 2α = 5α = π.

α = . Le triangle d'or a donc un angle au sommet de , les deux autres angles étant égaux à .

c. Construction d'un triangle d'or à partir de la longueur de la base

À partir du segment [AB] trouver un point C et tracer un triangle d'or ayant une base [DC] égale à AB.

On adapte ici le procédé de construction du rectangle d'or

Soit K le milieu de [AB] et B’ le point de la droite perpendiculaire en B situé sur le cercle c₁ de centre B passant par A (tel que le triangle ABB’ soit rectangle isocèle direct (cf. figure).

Le cercle c₂ de centre K passant par B’ coupe la demi-droite [AB) en C.

B est la section dorée de [AC].

En effet, si la longueur AB représente l'unité, la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle KBB’ permet de vérifier que :

AC = AK + KC = AK + KB’ = + = Φ.

Une des intersections du cercle c₃ de centre A passant par C avec le premier cercle c₁ de centre B est D.

ACD est un triangle d'or.

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d. Pavage non périodique du plan avec des triangles d'or

Il est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.

À partir du triangle A_nA_n+1A_n+2 créer le point A_n+3 tel que A_n+1A_nA_n+3 soit une section d'or et recommencer.

Ces triangles sont obtenus en ajoutant au triangle un triangle d'or qui est le gnomon de ce triangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau triangle semblable au précédent.

Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :

tracer un triangle d'or initial A₀B₀C₀. Trouver le point A₁ tel que B₀C₀A₁ forme une section d'or. Remplacer A₀ et B₀ respectivement par B₁, C₁ pour obtenir le triangle d'or A₁B₁C₁ de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S), tracer les triangles suivants.

Télécharger la figure GéoPlan trian_or5.g2w

e. Spirale d'or

Une spirale logarithmique d'équation, en coordonnées polaires,
ρ = aΦ^(5q/3p) dans un repère d'origine I, intersection des droites A₀A₅ et A₁A₆ (voir figure), passe par les sommets des triangles d'or.

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6. Suites et nombre d'or

Étudier la suite numérique u_n définie par u₀ = 0 et pour tout n positif par : .

La limite l de cette suite est le nombre d'or Φ = . C'est la solution de l'équation irrationnelle ; solution positive de l'équation du second degré :

x² = x + 1, soit x² − x − 1 =  0.

Le produit des solutions de cette équation est −1, la solution négative est l'opposé de l'inverse du nombre d'or : β = − . En divisant l'équation par x, non nul, on obtient :
x − 1 − = 0 soit x = 1 + ,
d'où Φ = 1 + . Φ et ont donc la même partie décimale 0,61803398875… On retrouve donc la définition de Luca Pacioli, donnée dans son ouvrage la divine proportion en 1509 : « Le nombre d'or est tel que si on lui ajoute l'unité et qu'on le divise par lui-même on le retrouve »

On pourra montrer que la suite v_n, définie par v₀ = 0 et pour tout n positif par : , a pour limite Φ.

Remarque : au XIX^ème siècle on utilise la lettre grecque Φ (phi) pour le nombre d'or, en hommage au sculpteur grec Phidias.
Platon affirmait que toute la connaissance réside en ce nombre.

C'est suffisant pour inventer le mythe de la divine proportion pour le Parthénon : la façade serait inscrite dans un rectangle d'or. Même en rajoutant le fronton « triangulaire », Phidias est loin de l'or !

Mythe de la pyramide de Khéops

À la fin de sa construction, la hauteur h de la pyramide de Khéops était OS = 146 m. Le côté AB  =  2 c mesure 232 m. À 1% près, la hauteur de la pyramide est égale à la moitié du côté multiplié par .

On a = = d'où = Φ. Les trois côtés du triangle SOH forment une suite géométrique de raison . SOH est dit triangle égyptien.

cos et pentagone

La moitié du côté de la base multipliée par le nombre d'or est égale à la hauteur des faces latérales de la pyramide. La demi-face SHA de la pyramide est la moitié d'un rectangle d'or de longueur SH = a et de la largeur AH = c. Les faces latérales sont donc formées de deux demi-rectangles d'or.
Cela correspond à une valeur approchée de pour π.

Très belle coïncidence, mais c'est impossible. Les « anciens Égyptiens » ne connaissaient pas alors le nombre d'or et les outils mathématiques nécessaires pour le calculer n'apparaîtront à Babylone que 7 siècles plus tard.

(Photo Debart)

7. Nombre d'or et suites de Fibonacci - puissances de Φ

On a démontré ci-dessus que Φ = est la solution positive de l'équation du second degré x² = x + 1, soit Φ² = Φ + 1.

Calculons les premières puissances de Φ : Φ³ = Φ² Φ = (Φ + 1) × Φ = Φ² + Φ = (Φ + 1) + Φ = 2 Φ + 1.

De même, Φ⁴ = Φ³ × Φ = (2Φ + 1) × Φ = 2Φ² + Φ = 2(Φ + 1) + Φ = 3 Φ + 2,

et Φ⁵ = Φ⁴ × Φ = (3Φ + 2) × Φ = 3Φ² + 2Φ = 3(Φ + 1) + 2Φ = 5 Φ + 3 et ainsi de suite.

On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : Φⁿ = a_nΦ + a_n-1

avec pour n > 0, a_{n + 1} = a_n + a_n-1 et a₀ = 0 ; a₁ = 1. a_n est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…

Suites de pentagones et nombre d'or

Tous les pentagones réguliers sont semblables.

Le pentagone A₁A₂B₂C₂C₁ est l'image du pentagone AA₁B₁C₁C par l'homothétie de centre O et de rapport Φ (nombre d'or).

Les longueurs AA₁, A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄ sont égales aux puissances du nombre Φ.

AA₁ = 1, A₁A₂ = Φ,
A₂A₃ = Φ² = Φ + 1,
A₃A₄ = Φ³ = 2 Φ + 1…

Télécharger la figure GéoPlan pent_or2.g2w

AA₁ = 1, A₁A₂ = Φ^{– 1},
A₂A₃ = Φ^{– 2}, A₃A₄ = Φ^{– 3}…

Extrait de : pentagone et nombre d'or
Télécharger la figure GéoPlan penta_or.g2w

Puissances négatives de Φ

On a aussi démontré ci-dessus que Φ = 1 + donc = Φ − 1 = .

Calculons les puissances négatives suivantes de Φ :
Φ^{– 2} = = = = 1 − = 1 − (Φ − 1) = − Φ + 2.

De même, Φ^{– 3} = = = = −1 + = −1 + 2(Φ − 1) = 2Φ −3,

et Φ^{– 4} = = = = 2 − = 2 − 3(Φ − 1) = −3Φ + 5 et ainsi de suite.

On peut enfin démontrer par récurrence que l'on a : Φ^-n = b_n-1Φ + b_n,

avec pour n > 0, b_n+1 = −b_n + b_n-1 et b₀ = 1 ; b₁ = −1. b_n = (−1)ⁿa_n+1 est la suite de Fibonacci alternée 1, −1, 2, −3, 5, −8, 13…

Voir : récurrence double - Fibonacci

Paragraphe extrait de suites et TI-92

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