MIAM

Le nombre d'or avec GéoPlan

Section d'or, rectangle d'or, triangle d'or, spirale d'or, suites de Fibonacci, puissances de Φ, suites de pentagones.

Sommaire

1. Le nombre d'or
2. Constructions classiques
        Construction de Φ
        Section d'or
        Construction d'Euclide
3. Nombre d'or et trigonométrie
4. Rectangle d'or
        Tracé régulateur
        Pavage
        Spirale logarithmique
5. Triangle d'or
        Pavage
        Spirale d'or
6. Suites et nombre d'or
7. Suites de Fibonacci - puissances de Φ
        Suites de pentagones

Voir aussi :

Polygones réguliers : pentagone ; décagone

Pentagone régulier :
    constructions exactes
    constructions approchées
    avec GeoGebra

Inscrire un carré dans un demi-cercle

 

Page no 127, créée le 24/11/2008, mise à jour le 3/11/2010

Faire de la géométrie dynamique

GéoPlan en 3e
Théorème de Thalès

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan en 5e
Construction de triangles

Histoire des mathématiques

1. Le Nombre d'or

Partage d'un segment en « moyenne raison »

Trois points A, B et M alignés forment une section dorée si le point M du segment [AB] est tel que : AB/AM = AM/MB,
ce qui signifie que le grand et le moyen segment sont dans le même rapport que le moyen et le petit segment (AB > AM > MB).

Le rapport MB/MA est, comme le montre les calculs ci-dessous, égal au nombre d'or Φ = nombre d'or : on a la proportion divine du moine franciscain Luca Pacioli.

La découverte du nombre d'or remonte à l'antiquité grecque.
On a cru un temps que des figures de l'Égypte antique se rattachaient au nombre d'or, mais c'était pur hasard et superstition.

Pour les « anciens Grecs », le nombre d'or apparaît comme un nombre irrationnel, lié aux problèmes du partage d'un segment en « extrême et moyenne raison » et aux propriétés des pentagones et décagones.

L'essentiel des propriétés se trouve dans les Éléments d'Euclide, qui ne lui donne pas de nom particulier et qui était détaché de toutes les préoccupations mystiques qui entoureront ce nombre à partir du XVème siècle.

Calculs algébriques

Soit un segment [AB] de longueur 1 et un point M de [AB] tel que AM = x, d'où MB = AB − AM = 1 − x.
Le point M partage [AB] suivant la section d'or si on a l'égalité des rapports AB/AM et AM/MB :
de AB/AM = 1/x et AM/MB = x/(1-x), on en tire 1/x = x/(1-x).
Le produit des « extrêmes » 1 − x est égal au produit des « moyens » x2 : x2 = 1 − x, d'où l'équation x2 + x − 1 = 0.
Cette équation a pour solution positive x = inverse du nombre d'or (rac(5)-1)/2 = 1/Φ = Φ − 1, où Φ = nombre d'or est le nombre d'or.
Le rapport MB/MA = 1/x, inverse de 1/Φ, est donc égal au nombre d'or Φ : le point M réalise une section dorée du segment [AB].

 2. Constructions classiques avec un triangle rectangle dont un des petits côtés est la moitié de l'autre

a. Construction de Φ

Construction de Φ

Tracer un angle droit de sommet O. Un cercle (c1) de centre O, coupe les côtés de cet angle en A et C.
On choisira comme unité le rayon OA.

Soit D est le milieu de [OA], le cercle de centre D et de rayon DC coupe (OA) en B.

La longueur du segment [AB] est Φ.

Remarque : le point O réalise une section dorée du segment [AB] :
OB = 1/Φ (voir ci-contre).

Indications

En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle OCD, on a :

CD2 = CO2 + OD2 = 12 + (1/2)2 = 5/4 d'où CD = rac(5)/2.

AB = AD + DB = 1/2 + rac(5)/2 = nombre d'or = Φ.

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Remarque

Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, 1/2 et rac(5)/2 est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.

On le trouve, accolé à un triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas »  :
rectangle d'or
« rectangle rac(5) »
triangle d'or
pentagone régulier
décagone

b. Section d'or

Partage d'un segment en « extrême et moyenne raison »

section d'or

À partir du segment [AB], sur la perpendiculaire en A à (AB), placer un point M tel que : AM = 1/2 AB.

Le cercle (c1) de centre M, passant par A, coupe le segment [MB] en P.

Le cercle (c2) de centre B, passant par P, coupe le segment [AB] en C.

Le point C réalise une section dorée du segment [AB] : AB/CB = Φ.

Soit D le point de la droite (AB), à l'extérieur de [AB] tel que AD = BC.

C et D partagent le segment [AB] en « moyenne et extrême raison »:
DB/AB = AB/CB = Φ.

Si on choisit AB comme unité, alors DB = Φ et CB = 1/Φ.

Indications

En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle AMB, on a :

MB2 = AM2 + AB2 = AM2 + (2AM)2 = 5 AM2 d'où MB = rac(5) AM.

AB/BC = 2AM/PB = 2AM/(MB−MP) = 2AM/(MB−AM) = 2/(rac(5)-1)= nombre d'or = Φ.

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 c. Construction de la section dorée

Constructions d'Euclide

Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.

On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.

On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c2) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A.
Le cercle (c3) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.

D'après le livre VI des éléments

Construction de la section dorée

Preuve par le calcul

On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1) que :
AI = 1/2 ; CA = AB = 1 ; DI = IC = rac(5)/2 ;
AM = DA = DI − AI = rac(5)/21/2 = inverse du nombre d'or (rac(5)-1)/2 = 1/Φ = Φ − 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB − AM = 1 − 1/Φ = 2 − Φ ≈ 0,382 ;
DB = DI + IB = rac(5)/2 + 1/2 = Φ ≈ 1,618.

MA = 1/Φ ; 1/MA = Φ ;
MB/MA = MB × 1/MA = (1 − 1/Φ) × Φ = Φ − 1 = 1/Φ = (rac(5)-1)/2.
MB/MA = 1/Φ d'où MA/MB = Φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].

Remarque : le cercle (c3) coupe le segment [AC] en P qui réalise la section dorée de ce segment.

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Construction avec deux carrés

Construction d'Euclide avec deux carrés

Partage d'un segment [AC] en « moyenne raison » : étant donné deux points A et C trouver un point P tel que A, C et P forment une section dorée.

Construction

On complète avec le point E le carré de côtés [AB] et [AC], et avec le point Q le carré de côtés [AD] et [AP].

La droite (QP) coupe (BE) en N.

Preuve par le calcul

Le rectangle PNEC a pour longueur CE = 1
et pour largeur CP = MB = 2 − Φ (calcul ci-contre).

Son aire est 2 − Φ.

Le carré DAPQ a pour côté AP = AM = 1/Φ.
Son aire est 1/Φ^2.

Nous avons montré au chapitre 7 que 1/Φ = 2 − Φ.
Le rectangle PNEC et le carré CFGH ont la même aire :
CE × PC = AC × PC = AP2.

AC/AP = AP/PC : on a bien une section dorée du segment [AC].

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Autre construction

d. Corde et tangente égales

Corde et tangenteConstruction du forum futura-sciences :

Soit deux points M et T du plan tels que MT = 1
Un cercle (c) est tangent en T à la droite (MT).
{Le centre O du cercle est situé sur la perpendiculaire en T à (MT)}

Étant donné un point A du cercle (c), sur la demi-droite [MA), à l'extérieur
du segment [MA] placer le point B tel que AB = 1 et tel que B soit sur (c).

Avec GéoPlan, déplacer le point A de telle façon que B, intersection de [MA) et du cercle de centre A, de rayon 1, soit situé sur le cercle (c).

1. Montrer que MA × MB = MT2.
2. Montrer que le rapport MB/AB est égal au nombre d'or.


Indications

1. La puissance de M par rapport au cercle (c) est MA × MB et est égale au carré de la tangente MT.

2. AB = MT = 1. Posons MA = x, alors MB = MA + AB = x + 1; la puissance de M qui est MA × MB = MT2, s'écrit x(x + 1) = 12,
d'où l'équation x2 + x − 1 = 0 qui, comme nous l'avons vu au §1, a pour solution positive x = (-1+rac(5))/2 = 1/Φ ;
MB = x + 1 = 1/Φ + 1 = Φ.

Les trois points M, A, et B forment une section dorée. Le rapport MB/AB est égal au nombre d'or Φ.

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3. Nombre d'or et trigonométrie

On a vu dans la page angle trigonométrie que cos pi/5 est égal à la moitié du nombre d'or Φ = 2 cos pi/5 = nombre d'or ;
cos pi/5 = − cos 4pi/5 = (rac(5)+1)/4.

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos2a − 1, on trouve :

cos 2 pi/5 = − cos 3pi/5 = sin pi/10 = 2 cos2 pi/5 − 1 = (rac(5)-1)/4 = (phi-1)/2 = 1/(2phi).

x

pi/5
2 pi/5
3pi/5
4pi/5

cos x

(rac(5)+1)/4
(rac(5)-1)/4
(1 - rac(5)/4
 −   - (rac(5)+1)/4

L'inverse du nombre d'or est donc 1/Φ = Φ − 1 = (rac(5)-1)/2 inverse nombre d'or = 2 sin pi/10.

4. Rectangle d'or

Rectangle d'orUn rectangle d'or est un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or Φ = nombre d'or.

Depuis l'antiquité grecque, on sait construire un rectangle d'or d'une largeur donnée de la façon suivante :
• tracer un carré ABCD ayant comme côté la largeur souhaitée,
• prendre le milieu K de [AD],
• rabattre le point C sur (AD) en traçant le cercle de centre K, passant par C. Ce cercle coupe [AD) en E,
• terminer la construction du rectangle d'or ABFE.

En effet, en choisissant la largeur AB comme unité, on a KE = KC = rac(5)/2, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle DKC rectangle en D,
et AE = 1/2 + rac(5)/2 = Φ.

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b. Tracé régulateur

En architecture, comme en dessin, le tracé régulateur permet de schématiser les lignes de force d'une figure.

« Le tracé régulateur n'apporte pas d'idées poétique ou lyrique ; il n'inspire nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. »

Le Modulor - Le Corbusier - 1948

Tracé régulateur dans un rectangle d'or

Tracé régulateur Les diagonales du rectangle rencontrent les diagonales des carrés selon des sections d'or.

Les diagonales des carrés ABCD et EFHG coupent en L, M, N, P les diagonales du rectangle d'or ABFE.

Section d'or sur une diagonale : AF/AP = AP/AM = Φ.

Section d'or sur un côté des carrés : CD/CN = CN/CP = Φ.

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Tracé régulateur dans un « rectangle rac(5) »

Rectangle« Rectangle rac(5) » :
le rapport entre la longueur et la largeur est rac(5). Le rectangle est la juxtaposition d'un carré de côté 1 et deux rectangles d'or de longueur 1 et de largeur 1/Φ.

AFGD et EBCH sont des rectangles d'or de longueur Φ et de largeur 1.

Construction à partir d'un carré de côté [EF] tel que EF = 1.
Soit O le milieu de [EF].
Le cercle de centre O passant par H coupe (EF) en A et B. Compléter le rectangle avec C et D sur (GH).

ABCD est un « rectangle rac(5) » de longueur 1 et de largeur rac(5).

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Voir : inscrire un carré dans un demi-cercle

Titien 1488-1576, la Présentation de la Vierge au Temple (Académie de Venise)

Présentation de la Vierge au TempleL'escalier est parallèle à une des diagonales du rectangle d'or de droite.

Plus contestable : il comporte 8 et 5 marches, une suite de Fibonacci.

Le carré central est dans la lumière, les deux rectangles d'or de chaque côté sont dans l'ombre.

La petite fille, à l'intersection des diagonales des rectangles d'or, est la vierge ; la femme à la coiffe drapée blanche c'est sa mère, sainte Anne.

A. Meyer C. Steyaert - Le nombre d'or
IREM Paris VII -1981
Rectifié par Historiette

 Carré inscrit dans un demi-cercle

'École d'Athènes - Raphaël

L'École d'Athènes - Raphaël, vers 1510 - Musée du Vatican

Le côté du carré jaune est égal au diamètre du cercle, divisé par rac(5). Cette construction classique est habituellement réalisée en 1èreS avec les homothéties, mais peut être résolue par le calcul en classe de seconde.

 c. Pavage non périodique du plan avec des rectangles d'or

Définition

Le gnomon d'une figure permet d'obtenir une nouvelle figure semblable à la précédente.

Voir : Euclide

Pavage de rectangles d'or

Pavage non périodique du plan

Il est possible de paver le plan à partir de rectangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de rectangles de plus en plus grands.

Ces rectangles sont obtenus en ajoutant au rectangle un carré qui est le gnomon de ce rectangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau rectangle semblable au précédent.

Une bonne occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan : voir ci-contre.

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Création itérative avec GéoPlan

Création itérative avec GéoPlan

Tracer un rectangle d'or initial A0B0F0E0 à partir du carré A0B0C0D0.
Tracer A0E0A1B1. B0F0A1B1 est un rectangle d'or.
Remplacer A0, B0, F0, E0 respectivement par C1, F1, E1, D1 pour obtenir le rectangle d'or A1B1F1E1 contenant le carré A1B1C1D1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S) on tracera les carrés suivants.

En traçant, dans chaque nouveau carré, le quart de cercle de centre Dn, reliant AnAn+1, on obtient laspirale dorée C0A0A1A2

Commande GéoPlan
Taper S pour itérer et tracer du rectangle suivant.
Attention, ne pas sauvegarder la figure après modification.

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Spirale logarithmique

Spirale logarithmiqueLa spirale dorée est approchée par une spirale logarithmique d'équation en coordonnées polaires
ρ = aΦ(2q/p) dans un repère d'origine I point d'intersection de diagonales des rectangles d'or (voir figure).

Une autre spirale logarithmique passe par les sommets des rectangles d'or.

 

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voir : Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET : spirale d'or

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5. Triangle d'or, triangle d'argent

Triangle d'orLe triangle d'or ACD est un triangle isocèle en C d'angle pi/5, les deux autres angles à la base en A et D étant égaux à 2pi/5.

Le rapport entre le grand côté et la base est égal au nombre d'or : AC/AD = nombre d'or = Φ

Soit B le point qui partage [AC] en une section d'or :
BC/AB = AC/BC = Φ, on a DA = DB = BC, (DB) est la bissectrice de l'angle ADC. Le triangle isocèle ABD est semblable au triangle ADC avec un rapport de similitude égal à Φ. Ce triangle ABD est aussi un triangle d'or.

Le triangle BCD est un triangle d'argent, isocèle en B d'angle 3pi/5, les deux autres angles, en C et D, étant égaux à pi/5.
Le rapport des côtés est aussi égal au nombre d'or : CD/CB = Φ.

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un triangle d'or et deux triangles d'argentPentagone régulier

Un pentagone régulier est formé par un triangle d'or et deux triangles d'argent.

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Triangle bisocèle

Voir : triangle au collège


b. Construction du triangle d'or à partir du grand côté

Si A et C sont deux sommets du triangle, soit B le point qui partage [AC] en une section d'or. Le troisième sommet D est un des points d'intersection du cercle c3 de centre C, passant par A et du cercle c4 de centre B, passant par C.

Soit α = ACD l'angle au sommet du triangle d'or. α est aussi égal à l'angle ADB du triangle d'or isométrique. ADC= 2α car (DB) en est la bissectrice.
La somme des trois angles du triangle d'or est ACD + ADC + CAD = α + 2α + 2α = 5α = π.

α = pi/5. Le triangle d'or a donc un angle au sommet de pi/5, les deux autres angles étant égaux à 2pi/5.

c. Construction d'un triangle d'or à partir de la longueur de la base

Construction d'un triangle d'or à partir de la baseÀ partir du segment [AB] trouver un point C et tracer un triangle d'or ayant une base [DC] égale à AB.

On adapte ici le procédé de construction du rectangle d'or

Soit K le milieu de [AB] et B’ le point de la droite perpendiculaire en B situé sur le cercle c1 de centre B passant par A (tel que le triangle ABB’ soit rectangle isocèle direct (cf. figure).

Le cercle c2 de centre K passant par B’ coupe la demi-droite [AB) en C.

B est la section dorée de [AC].

En effet, si la longueur AB représente l'unité, la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle KBB’ permet de vérifier que :

AC = AK + KC = AK + KB’ = 1/2 + rac(5)/2 = Φ.

Une des intersections du cercle c3 de centre A passant par C avec le premier cercle c1 de centre B est D.

ACD est un triangle d'or.

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d. Pavage non périodique du plan avec des triangles d'or

Pavage non périodique du planIl est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.

À partir du triangle AnAn+1An+2 créer le point An+3 tel que An+1AnAn+3 soit une section d'or et recommencer.

Ces triangles sont obtenus en ajoutant au triangle un triangle d'or qui est le gnomon de ce triangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau triangle semblable au précédent.

Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :

tracer un triangle d'or initial A0B0C0. Trouver le point A1 tel que B0C0A1 forme une section d'or. Remplacer A0 et B0 respectivement par B1, C1 pour obtenir le triangle d'or A1B1C1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S), tracer les triangles suivants.

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e. Spirale d'or

Spirale d'orUne spirale logarithmique d'équation, en coordonnées polaires,
ρ = aΦ(5q/3p) dans un repère d'origine I, intersection des droites A0A5 et A1A6 (voir figure), passe par les sommets des triangles d'or.

 

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6. Suites et nombre d'or

Étudier la suite numérique un définie par u0 = 0 et pour tout n positif par : u(n)=rac(u(n-1)+1).

La limite l de cette suite est le nombre d'or Φ = nombre d'or. C'est la solution de l'équation irrationnelle x= rac(x+1); solution positive de l'équation du second degré :

x2 = x + 1, soit x2x − 1 =  0.

Le produit des solutions de cette équation est −1, la solution négative est l'opposé de l'inverse du nombre d'or : β = − 1/Φ. En divisant l'équation par x, non nul, on obtient :
x − 1 − 1/x = 0 soit x = 1 + 1/x,
d'où Φ = 1 + 1/Φ. Φ et 1/Φ ont donc la même partie décimale 0,61803398875… On retrouve donc la définition de Luca Pacioli, donnée dans son ouvrage la divine proportion en 1509 : « Le nombre d'or est tel que si on lui ajoute l'unité et qu'on le divise par lui-même on le retrouve »

On pourra montrer que la suite vn, définie par v0 = 0 et pour tout n positif par : v(n)=1+1/v(n-1), a pour limite Φ.

Remarque : au XIXème siècle on utilise la lettre grecque Φ (phi) pour le nombre d'or, en hommage au sculpteur grec Phidias.
Platon affirmait que toute la connaissance réside en ce nombre.

C'est suffisant pour inventer le mythe de la divine proportion pour le Parthénon : la façade serait inscrite dans un rectangle d'or. Même en rajoutant le fronton « triangulaire », Phidias est loin de l'or !

Mythe de la pyramide de Khéops

Pyramide

À la fin de sa construction, la hauteur h de la pyramide de Khéops était OS = 146 m. Le côté AB  =  2 c mesure 232 m. À 1% près, la hauteur de la pyramide est égale à la moitié du côté multiplié par rac(Φ).

On a a/h = h/c = rac(Φ) d'où a/c = Φ. Les trois côtés du triangle SOH forment une suite géométrique de raison rac(Φ). SOH est dit triangle égyptien.

cos 2pi/5 et pentagone

La moitié du côté de la base multipliée par le nombre d'or est égale à la hauteur des faces latérales de la pyramide. La demi-face SHA de la pyramide est la moitié d'un rectangle d'or de longueur SH = a et de la largeur AH = c. Les faces latérales sont donc formées de deux demi-rectangles d'or.
Cela correspond à une valeur approchée de 4/rac(Φ)pour π.

Très belle coïncidence, mais c'est impossible. Les « anciens Égyptiens » ne connaissaient pas alors le nombre d'or et les outils mathématiques nécessaires pour le calculer n'apparaîtront à Babylone que 7 siècles plus tard.

Photo Debart

(Photo Debart)

Paragraphes extraits de suites et TI-92

7. Nombre d'or et suites de Fibonacci - puissances de Φ

On a démontré ci-dessus que Φ = nombre d'or est la solution positive de l'équation du second degré x2 = x + 1, soit Φ2 = Φ + 1.

Calculons les premières puissances de Φ : Φ3 = Φ2 Φ = (Φ + 1) × Φ = Φ2 + Φ = (Φ + 1) + Φ = 2 Φ + 1.

De même, Φ4 = Φ3 × Φ = (2Φ + 1) × Φ = 2Φ2 + Φ = 2(Φ + 1) + Φ = 3 Φ + 2,

et Φ5 = Φ4 × Φ = (3Φ + 2) × Φ = 3Φ2 + 2Φ = 3(Φ + 1) + 2Φ = 5 Φ + 3 et ainsi de suite.

On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : Φn = anΦ + an-1

avec pour n > 0, an + 1 = an + an-1 et a0 = 0 ; a1 = 1. an est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…

Suites de pentagones et nombre d'orSuites de pentagones et nombre d'or

Tous les pentagones réguliers sont semblables.

Le pentagone A1A2B2C2C1 est l'image du pentagone AA1B1C1C par l'homothétie de centre O et de rapport Φ (nombre d'or).

Les longueurs AA1, A1A2, A2A3, A3A4 sont égales aux puissances du nombre Φ.

AA1 = 1, A1A2 = Φ,
A2A3 = Φ2 = Φ + 1,
A3A4 = Φ3 = 2 Φ + 1…

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Suites de pentagones

AA1 = 1, A1A2 = Φ– 1,
A2A3 = Φ– 2, A3A4 = Φ– 3

Extrait de : pentagone et nombre d'or
g2w Télécharger la figure GéoPlan penta_or.g2w

Puissances négatives de Φ

On a aussi démontré ci-dessus que Φ = 1 + 1/Φ donc 1/Φ = Φ − 1 = (rac(5)-1)/2.

Calculons les puissances négatives suivantes de Φ :
Φ– 2 = 1/Φ^2 = Φ^(-1)/Φ = Φ^(-1)/Φ = 1 − 1/Φ = 1 − (Φ − 1) = − Φ + 2.

De même, Φ– 3 = 1/Φ^3 = Φ^(-2)/Φ = (-Φ+2)/Φ = −1 + 2/Φ = −1 + 2(Φ − 1) = 2Φ −3,

et Φ– 4 = 1/Φ^4 = Φ^(-3)/Φ = (2Φ-3)/Φ= 2 − 3/Φ = 2 − 3(Φ − 1) = −3Φ + 5 et ainsi de suite.

On peut enfin démontrer par récurrence que l'on a : Φ-n = bn-1Φ + bn,

avec pour n > 0, bn+1 = −bn + bn-1 et b0 = 1 ; b1 = −1. bn = (−1)nan+1 est la suite de Fibonacci alternée 1, −1, 2, −3, 5, −8, 13…

Voir : récurrence double - Fibonacci

Paragraphe extrait de suites et TI-92

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