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MIAM

Le triangle au collège
Milieux et parallèles

Cinq exercices avec GéoPlan sur le triangle

Descartes
…avec GéoPlan

Sommaire

1. Triangles particuliers
2. Somme des angles d'un triangle
3. Droite des milieux
4. Angles et triangles
5. Triangle rectangle isocèle
6. Droites parallèles
7. Trouver un triangle isocèle
8. Triangle bisocèle

Triangles en seconde
Triangles rectangles
Triangles équilatéraux

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Page no 72, réalisée le 19/7/2004, modifiée le 5/12/2007

Faire de la géométrie dynamique

Collège
Problèmes de construction

GéoPlan
La géométrie du triangle

GéoPlan en 4e
Droites remarquables

GéoPlan en 5e
Construction de triangles

GéoPlan en 3e
Théorème de Thalès

1. Triangles particuliers

Classe de sixième (sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième)

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.

Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.

g2w Télécharger les figures GéoPlan tri_iso.g2w ou tri_iso2.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri tri_isocele.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo tri_isocele.glb
GéoGebra Télécharger la figure tri_iso.ggb

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés.

Les trois médiatrices sont axes de symétrie du triangle.

 

g2w Télécharger les figures GéoPlan tri_equi.g2w ou triangle_equilateral.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri triangle_equilateral.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo triangle_equilateral.glb

Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_rect.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo tr_rectangle.glb

Triangle quelconque

On dit qu'un triangle est quelconque s'il n'est ni rectangle, ni isocèle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_quel.g2w

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_quel2.g2w

Arrondi

Avec les angles BAC = 87°, ABC = 33°, ACB = 59°, la somme de ces angles est égale à 179°. Plus bas vous dites que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Les mathématiques étant maintenant loin derrière pour moi, et étant un brin fatigué au moment où je vous écris ce mail, il subsiste encore un doute, mais je pense qu'un degré s'est perdu en route.
S'il s'agissait d'un centime, nous n'aurions pas chipoté, mais là il s'agit de mathématiques.

MonsieurPommeDeTerre

Pas d'erreur, mais un souci d'arrondi : les calculs étant faits « au degré près » GéoPlan arrondi les trois angles par défaut et on perd un degré pour l'arrondi de la somme.
Avec un calcul au dixième les angles BAC = 87,5°, ABC = 33,5° sont arrondis par excès et ACB = 59,0° par défaut : la somme est bien arrondie à 180,0°.

Technique GéoPlan

Pour nommer un côté, y placer un point comme le milieu A8, et écrire, à la fin du texte de la figure, les instructions :

A la place de A8, afficher: $ia$m

ou avec a, la longueur de BC :

A la place de A8, afficher: \val(a,1)\

La commande affichage du texte : $ia$m = BC = val(a,1) permet d'écrire a = BC = 9.6.

Le prototype marquer un angle trace un arc de cercle dans le coin d'un angle (dans le sens trigonométrique).
Le prototype point dans angle renvoie un point de la bissectrice dans le coin de l'angle.
Associé à l'instruction A la place de … afficher : \hat … \ il permet de nommer les angles angle A, angle B, angle C.

A9 point dans angle BAC
A la place de A9, afficher: \hat(A)\

Avec a’ mesure de l'angle Angle BAC, la commande affichage du texte : \hat(BAC)\ = val(a',0)° permet d'écrire Angle BAC = 87°.

Remplacer val(a',0) par val(a',1), pour écrire Angle BAC = 87.5° avec une décimale.

2. Somme des angles d'un triangle

Classe de cinquième

La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat : angle A + angle B + angle C = 180°.

Pour un triangle isocèle en A, angle B = angle C donc angle A = 180 - 2angle B et angle B = angle C = 90 - A/2 : les angles égaux sont aigus.
Pour un triangle équilatéral angle A = angle B = angle C = 180°/3 = 60°.
Pour un triangle rectangle en A, angle A = 90°, angle B + angle C = 90° : les deux autres angles sont aigus et complémentaires.

Un triangle admet au maximum un angle obtus : si angle A > 90°, angle B + angle C < 90°, les deux autres angles sont aigus (triangle obtusangle).

a. Démonstration des « anciens Grecs »

Triangle inscrit dans un rectangleSoit ABC un triangle et [AH] une hauteur (si le triangle est obtusangle, on choisira la hauteur issue du sommet de l'angle obtus, [BC] étant alors le plus grand côté).
On peut inscrire le triangle dans un rectangle BCED.

Dans le rectangle BHAD, les angles BAH et ABD sont de même mesure (angles alternes internes par rapport à la diagonale [AB] et les côtés parallèles [AH] et [BD]).
De même, HAC = ECA.

La somme des angles du triangle ABC + BAC + ACB = ABC + BAH + HAC+ ACB.
Avec les angles alternes internes, on trouve que cette somme est ABC + ABD + ECA+ ACB = CBD + ECB, soit 2 angles droits.

g2w Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_rectangle.g2w

b. Démonstration des disciples de Pythagore, vers le Vème siècle avant J.-C.

On mène par A une parallèle à (BC). La somme des angles du triangle est égale à l'angle plat en A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan somme_angles.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri somme_angles.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo somme_angles.glb

c. Démonstration d'Euclide, IIIe siècle avant J.-C.

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

g2w Télécharger la figure GéoPlan angle_exterieur.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri angle_exterieur.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo angle_exterieur.glb

Démonstration des pythagoriciens

La symétrie centrale et la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.

On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d), pour établir les égalités d'angles CBA = C’ÂB et ACB = CÂB’
et on conclut avec l'angle plat C’ÂB’ = C’AB + BÂC + CÂB’ = CBA + BÂC + ACB = angle B + angle A + angle C = 180°.

Dans la figure ci-dessus à droite, en traçant la parallèle au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à la somme de deux angles, angle A pour les angles correspondants et angle B pour les angles alternes-internes.

3. Droite des milieux

Classe de quatrième

Premier théorème des milieux

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC).

Deuxième théorème des milieux

Si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
J est alors le milieu [AC].

troisième théorème des milieux

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors IJ = 1/2 BC.

Démonstration du théorème de la droite des milieux

Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et taper S.

Soit I le milieu de [AB], J le milieu [AC] et K le symétrique de J par rapport à I. I est alors le milieu de [KJ] et IJ = 1/2 KJ.

Comme par hypothèse I est le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme.
Les côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB],
donc KBCJ, quadrilatère non croisé, est un parallélogramme.

Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC) ce qui prouve le premier théorème des milieux.
Comme les côtés opposés du parallélogramme sont égaux, de KJ = BC on déduit le troisième théorème des milieux : IJ = 1/2 BC.

Démonstration du deuxième théorème des milieux

Le deuxième théorème des milieux est la réciproque du premier : l'unicité de la parallèle à (BC) passant par I, on en déduit que la droite des milieux est confondue avec cette parallèle : elle coupe (AC) au milieu J de [AC].

Autre démonstration par la méthode des aires

Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et taper S.

Montrer que AJ = JC.

D'après la propriété du trapèze, les triangles IBC et JBC ont la même aire.
Cette aire est égale à la moitié de l'aire du triangle ABC.
En effet, Aire(ABC) = Aire(IBC) + Aire(IAC).
Or IA = IB, donc, Aire(IBC) = Aire(IAC) = 1/2 (CN × IB) où CN est la hauteur de ABC issue de C.
Donc, l'aire du triangle ABJ (complément dans ABC du triangle CBJ) est aussi égale à la moitié de celle de ABC et donc égale à l'aire du triangle CBJ.

En revenant à l'expression de l'aire d'un triangle, comme les deux triangles ABJ et CBJ ont la hauteur BM, issue de B, en commun,
Aire(ABJ) = 1/2(BM × AJ) est égal à Aire(CBJ) = 1/2(BM × JC).
Les longueurs AJ et JC sont alors égales et J est le milieu de [AC].

g2w Télécharger la figure GéoPlan milieux.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri milieux.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo milieux.glb


4. Angles et triangles

OBC est un triangle équilatéral.
OAC est un triangle rectangle (B milieu de l'hypoténuse).
OCD est un triangle rectangle isocèle en C.

Trouver les mesures des angles de cette figure.

g2w Télécharger la figure GéoPlan triang_1.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri triangle_1.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo triangle_1.glb

5. Triangle rectangle isocèle

ABCD est un carré.
E est le symétrique de C par rapport à D.
I est le milieu de [BC], J est le milieu de [DE].

Montrer que le triangle AIJ est rectangle isocèle en A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan triang_2.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri triangle_2.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo triangle_2.glb

6. Droites parallèles

Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O.
A’ est le point diamétralement opposé à A sur le cercle (c).
La hauteur (AH) issue de A du triangle ABC recoupe le cercle (c) au point D.

Montrer que la droite (DA’) est parallèle à (BC).

Indication

Le triangle rectangle ADA’ est inscrit dans un demi-cercle.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan dr_para.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri droite_parallele.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo droite_parallele.glb

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique


7. Trouver un triangle isocèle

Classe de quatrième, troisième ou seconde
APMEP Extrait de
: Favoriser l'activité mathématique - Serge Betton & Sylvie Coppé
Bulletin APMEP no 461 - Nov. 2005

ABC est un triangle,
M un point du segment [AB],
la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.

Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ?

Commandes GéoPlan
Déplacer le point M :
taper sur la touche T pour afficher le triangle MNB,
taper S pour la solution.

Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan ch_t_iso.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri cherche_triangle_isocele.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo cherche_triangle_isocele.glb


8. Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.

Triangle isocèle rectangle

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan rect_iso.g2w

Trouver un triangle bisocèle

Déplacer le point A et trouver un triangle bisocèle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bisocele.g2w

Triangle d'or

Construction du triangle d'or

g2w Télécharger la figure GéoPlan trian_or.g2w

Soit ABC un triangle isocèle de base [BC] et d'angle à la base ABC = 2α (α > 0) et une bissectrice qui coupe le côté opposé en D.

Si la bissectrice est issue du sommet A, c'est aussi la médiatrice et (AD) partage le triangle ABC en deux triangles rectangles isocèles ADB et ADC. Les angles aigus sont de 45°. L'angle en A est de 90° et le triangle ABC est rectangle isocèle.

Si la bissectrice (AD) est issue d'un des sommets de la base, B par exemple, le triangle BDC doit être isocèle. L'angle BDC est alors égal à α ou à 2α.

α est une valeur impossible : en effet, les droites (AD) et (AB) déterminant deux angles alternes-internes égaux à α par rapport (BD) seraient parallèles, ce qui est contradictoire avec l'existence du sommet A.

Si BDC = 2α alors la somme des angles du triangle BDC est 5α = 180°, ce qui donne un angle α = 36°. BDC est alors égal à 72°, c'est aussi l'angle extérieur de ABD, angle égal à ABD + BÂD, d'où BÂD = ABD = 36°, ABD est aussi isocèle. Le triangle ABC est un triangle d'or.

Conclusion : il n'y a que deux types de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.

 

Constructions - pliages

Collège
Parallélogramme

GéoPlan
Lieux du triangle

GéoPlan en 4e
Droites remarquables

Construction du pentagone régulier

Démonstrations géométriques de Pythagore

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8. Triangle bisocèle

Triangles en seconde
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Triangles équilatéraux

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