1. Triangles particuliersClasse de sixième (sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième)
Triangle quelconqueOn dit qu'un triangle est quelconque s'il n'est ni rectangle, ni isocèle.
Arrondi Avec les angles BAC = 87°, ABC = 33°, ACB = 59°, la somme de ces angles est égale à 179°. Plus bas vous dites que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°. MonsieurPommeDeTerre Pas d'erreur, mais un souci d'arrondi : les calculs étant faits « au degré près » GéoPlan arrondi les trois angles par défaut et on perd un degré pour l'arrondi de la somme. Technique GéoPlan Pour nommer un côté, y placer un point comme le milieu A8, et écrire, à la fin du texte de la figure, les instructions : A la place de A8, afficher: $ia$m ou avec a, la longueur de BC : A la place de A8, afficher: \val(a,1)\ La commande affichage du texte : $ia$m = BC = val(a,1) permet d'écrire a = BC = 9.6. Le prototype marquer un angle trace un arc de cercle dans le coin d'un angle (dans le sens trigonométrique). A9 point dans angle BAC A la place de A9, afficher: \hat(A)\ Avec a’ mesure de l'angle , la commande affichage du texte : \hat(BAC)\ = val(a',0)° permet d'écrire = 87°. Remplacer val(a',0) par val(a',1), pour écrire = 87.5° avec une décimale. 2. Somme des angles d'un triangleClasse de cinquième La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat : + + = 180°. Pour un triangle isocèle en A, = donc = 180 - 2 et = = 90 - : les angles égaux sont aigus. Un triangle admet au maximum un angle obtus : si > 90°, + < 90°, les deux autres angles sont aigus (triangle obtusangle). a. Démonstration des « anciens Grecs » Soit ABC un triangle et [AH] une hauteur (si le triangle est obtusangle, on choisira la hauteur issue du sommet de l'angle obtus, [BC] étant alors le plus grand côté). Dans le rectangle BHAD, les angles BAH et ABD sont de même mesure (angles alternes internes par rapport à la diagonale [AB] et les côtés parallèles [AH] et [BD]). La somme des angles du triangle ABC + BAC + ACB = ABC + BAH + HAC+ ACB. Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_rectangle.g2w
Démonstration des pythagoriciens La symétrie centrale et la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés. On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d), pour établir les égalités d'angles CBA = C’ÂB et ACB = CÂB’ Dans la figure ci-dessus à droite, en traçant la parallèle au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à la somme de deux angles, pour les angles correspondants et pour les angles alternes-internes. 3. Droite des milieuxClasse de quatrième Premier théorème des milieuxSi une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC). Deuxième théorème des milieuxSi une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J. troisième théorème des milieuxDans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors IJ = BC. Démonstration du théorème de la droite des milieuxCommande GéoPlan : cliquer dans la figure et taper S. Soit I le milieu de [AB], J le milieu [AC] et K le symétrique de J par rapport à I. I est alors le milieu de [KJ] et IJ = KJ. Comme par hypothèse I est le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme. Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC) ce qui prouve le premier théorème des milieux. Démonstration du deuxième théorème des milieuxLe deuxième théorème des milieux est la réciproque du premier : l'unicité de la parallèle à (BC) passant par I, on en déduit que la droite des milieux est confondue avec cette parallèle : elle coupe (AC) au milieu J de [AC]. Autre démonstration par la méthode des aires Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et taper S. Montrer que AJ = JC. D'après la propriété du trapèze, les triangles IBC et JBC ont la même aire. En revenant à l'expression de l'aire d'un triangle, comme les deux triangles ABJ et CBJ ont la hauteur BM, issue de B, en commun, Télécharger la figure GéoPlan milieux.g2w
6. Droites parallèles
Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O. Montrer que la droite (DA’) est parallèle à (BC). IndicationLe triangle rectangle ADA’ est inscrit dans un demi-cercle.
Télécharger la figure GéoPlan dr_para.g2w Sommaire 7. Trouver un triangle isocèleClasse de quatrième, troisième ou seconde ABC est un triangle, Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ? Commandes GéoPlan Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC. Télécharger la figure GéoPlan ch_t_iso.g2w 8. Triangle bisocèleUn triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.
Soit ABC un triangle isocèle de base [BC] et d'angle à la base ABC = 2α (α > 0) et une bissectrice qui coupe le côté opposé en D. Si la bissectrice est issue du sommet A, c'est aussi la médiatrice et (AD) partage le triangle ABC en deux triangles rectangles isocèles ADB et ADC. Les angles aigus sont de 45°. L'angle en A est de 90° et le triangle ABC est rectangle isocèle. Si la bissectrice (AD) est issue d'un des sommets de la base, B par exemple, le triangle BDC doit être isocèle. L'angle BDC est alors égal à α ou à 2α. α est une valeur impossible : en effet, les droites (AD) et (AB) déterminant deux angles alternes-internes égaux à α par rapport (BD) seraient parallèles, ce qui est contradictoire avec l'existence du sommet A. Si BDC = 2α alors la somme des angles du triangle BDC est 5α = 180°, ce qui donne un angle α = 36°. BDC est alors égal à 72°, c'est aussi l'angle extérieur de ABD, angle égal à ABD + BÂD, d'où BÂD = ABD = 36°, ABD est aussi isocèle. Le triangle ABC est un triangle d'or. Conclusion : il n'y a que deux types de triangles bisocèles : le triangle d'or et le triangle isocèle rectangle.
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