Un cylindre couché est partiellement rempli de liquide. Quel est le volume en fonction du niveau ?
Sommaire1. Volume d'un tronc de cylindre couché |
6. Technique GéoPlan : arc de cercle - segment circulaire
Page no 86, créée le 7/10/2005, mise à jour le 13/3/2008 |
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GéoSpace |
Terminale S |
Derive |
Un cylindre, de hauteur L, a pour base B un cercle de rayon R.
Son volume base × hauteur est V = B × L = π R2 × L.
La figure ci-contre représente une cuve horizontale de hauteur H = 2R et de longueur L.
Cette cuve est remplie de liquide jusqu'au niveau AB.
La cuve contient alors un volume b × L de liquide où b représente l'aire du segment circulaire (ou lunule) : surface hachurée comprise entre l'arc de cercle AB et la corde [AB] qui le sous-tend (figure à droite ci-dessous).
L'aire b est égale à l'aire du secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OB) et l'arc AB à laquelle selon les cas, on ajoute ou on retranche l'aire du triangle OAB.
Télécharger la figure GéoSpace cuve_cyl.g3w
Où l'on trouve quatre formules avec Arc sin, Arc cos ou Arc tan : a. V = vR2× L = () R2× L, b. V = [2 R2 Arc tan - (R - h) ] × L, c. V = × π R2 × L avec a = 1 -, d. V = [R2 Arc cos(1 -) - (R-h) ] × L. a. Dans un repère d'unité égale au rayon OI, on calcule le rapport v = tel que b = vR2 donnant un volume de liquide égal à vR2× L. Soit α l'angle AÔH en radians (AÔB =2α). En choisissant l'unité égale à OI, on a x = HA = sin α et h = – cos α (dans ce paragraphe h varie de -1 à 1. Si H est au-dessous de O comme dans la figure ci-contre, h est négatif). h = – cos α donc α = Arc cos(-h), mais on préfère avec le sinus du complémentaire écrire : Les coordonnées du point A(x, h) vérifient x2 + h2 = 1, donc x = . L'aire du secteur circulaire est α et le triangle OAB a pour aire OH×AB (unité d'aire : le carré de côté OI). En revenant aux unités d'origine on a : b = vR2 = () R2
En terminale S l'aire se calcule par l'intégrale : l'intégrale de -1 à h de la fonction représente l'aire comprise entre la courbe, l'axe (Ox) et les deux droites verticales d'équation x = −1 et x = h. Télécharger les figures GéoPlan cyl_cer1.g2w, integrale_un_moins_x2.g2w b. Autre calcul intégralLe cercle de centre O et de rayon R a pour équation du cercle x2 + y2 = R2. L'équation du quart d'arc de cercle positif JI dans le repère (J, x, O) est alors L'aire du segment circulaire hachuré est pour une sonde verticale H est alors le double l'intégrale de 0 à h de . Une intégration par partie permet de trouver c. Le calcul de la primitive de se trouve aussi avec un changement de variable en posant sin u = 1 - . On trouve alors le pourcentage du volume avec la formule : où a = 1 - est le cosinus de α. d. Calcul sans intégraleL'aire b du segment circulaire est égale à l'aire du secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OB) et l'arc AB à laquelle selon les cas, on ajoute ou on retranche l'aire du triangle OAB. En fait, on calcule la moitié de b en cherchant l'aire hachurée en bleu du triangle curviligne HAJ égale à l'aire du secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OJ) plus ou moins l'aire du triangle OHA. Soit α l'angle AOJ en radians. Le secteur angulaire a pour aire R2α. Mais comme cos α = = = 1 -, on a α = Arc cos (1 -). AH est la hauteur du triangle rectangle AJK, donc AH2 = HJ × HK = h(2R - h) donc AH = . Le triangle OHA a pour aire OH × AH = |R-h| . L'aire b = R2 Arc cos(1 -) - (R-h) ; l'aire du triangle se retranche ou s'ajoute selon le signe de (R-h). |
Soit une cuve de hauteur JK = 2R. Dans le paragraphe 2, les calculs théoriques ont été faits avec un paramètre h variant de -1 à 1. On calcule alors v = 2 = . Le multiplicateur v, variant de 0 à π, est donné par la fonction dont le graphe est représenté ci-dessus avec GéoPlan et ci-dessous avec le logiciel Derive : Pour ne pas trop compliquer les calculs, le paramètre h de ce paragraphe a été choisi variant entre 0 et 2. Dans la pratique, les jauges étant souvent étalonnées de 0 à 1, on divise par 2 et on calcule sur des fractions de la hauteur de la cuve en utilisant qui varie de 0 à 1. Pour une hauteur H de la jauge, on a h = . Cela représente une fraction de la hauteur de la cuve,
Télécharger la figure GéoPlan cyl_cer2.g2w 4. Application 1Bonjour Par exemple, si ma cuve couchée fait 5 mètres de diamètre et 22 mètres de long. Je mesure 1,75 mètre dans ma cuve, quel est le volume restant dans la cuve Solution Les données du problème sont L = 22 et 2R = 5, d'où R = 2,5. En effet, on a calculé R2 × L = 137,5 et, en multipliant par π, le volume de la cuve est V = π R2 × L = 432 m3. |
h/2 |
H |
v |
V |
h/2 |
H |
v |
V |
0,05 | 0,25 | 0,058 | 8 |
0,55 | 2,75 | 1,770 | 243 |
0,1 | 0,5 | 0,163 | 22 |
0,6 | 3 | 1,968 | 271 |
0,15 | 0,75 | 0,295 | 41 |
0,65 | 3,25 | 2,161 | 297 |
0,2 | 1 | 0,447 | 62 |
0,7 | 3,5 | 2,348 | 323 |
0,25 | 1,25 | 0,614 | 84 |
0,75 | 3,75 | 2,527 | 348 |
0,3 | 1,5 | 0,792 | 109 | 0,8 | 4 | 2,694 | 370 |
0,35 | 1,75 | 0,979 | 135 | 0,85 | 4,25 | 2.846 | 391 |
0,4 | 2 | 1,173 | 161 | 0,9 | 4,5 | 2.978 | 409 |
0,45 | 2,25 | 1,371 | 189 | 0,95 | 4,75 | 3,082 | 424 |
0,5 | 2,5 | 1,570 | 216 | 1 | 5 | 3,141 | 432 |
Cas particulierPour un cas particulier il suffit avec un tableur de recopier le tableau ci-dessous en complétant la deuxième colonne en multipliant par la hauteur de la cuve avec la formule : = c(-1)L * 5 (multiplier la cellule de gauche par la hauteur 5 de la cuve et recopier la formule 20 fois vers le bas) Calculer W = R2 × L (dans l'exemple précédent, on trouve 137,5). Compléter la quatrième colonne en multipliant ce résultat par le coefficient v avec la formule : = c(-1)L * 137,5 (multiplier la cellule v = 0,058 par R2 × L soit 137,5 et recopier la formule 19 fois vers le bas) |
A |
B |
C |
D |
|
1 |
h/2 |
H |
v |
V |
2 |
0,05 | 0,058 | ||
3 |
0,1 | 0,163 | ||
4 |
0,15 | 0,295 | ||
5 |
0,2 | 0,447 | ||
6 |
0,25 | 0,614 | ||
7 |
0,3 | 0,792 | ||
8 |
0,35 | 0,979 | ||
9 |
0,4 | 1,173 | ||
10 |
0,45 | 1,371 | ||
11 |
0,5 | 1,570 | ||
12 |
0,55 | 1,770 | ||
13 |
0,6 | 1,968 | ||
14 |
0,65 | 2,161 | ||
15 |
0,7 | 2,348 | ||
16 |
0,75 | 2,527 | ||
17 |
0,8 | 2,694 | ||
18 |
0,85 | 2.846 | ||
19 |
0,9 | 2.978 | ||
20 |
0,95 | 3,082 | ||
21 |
1 | 3,141 |
La première colonne A du tableur ci-dessus contient de 0,05 à 1, avec 21 graduations pour la jauge ce qui est souvent suffisant, Dans la colonne B, on calcule H = h/2 * D avec les formules = C(-1)L * D ou = A2 * L à recopier vers le bas. Dans la colonne C, on trouve le calcul du multiplicateur v avec la formule . Dans la colonne D, on calcule V= v * R2 × L = v * W avec les formules = C(-1)L * W ou = C2 * W à recopier vers le bas. Dans les tableaux, à télécharger ci-dessous, modifier cellule F2 la valeur de L et cellule F3 la valeur de D. Télécharger le tableau Excel volume_cylindre.xls 5. Application 2Bonjour tout d'abord merci pour la qualité de votre site. Mais malheureusement étant nul en math je n'ai pas réussi à calculer la formule dont j'ai besoin. Vous serait-il possible de m'aider sachant que : j'ai une cuve à fioul avec un fond de cuve. elle a une contenance de 3000 litres J'ai un niveau de fioul au fond de 30 cm et j'aimerai savoir ce que cela peut représenter en quantité. Merci pour votre aide. Solution Multiplier les cellules de gauche par la hauteur 1,2. |
h/2 |
H |
v |
V |
0,05 | 0,06 |
0,058 | 0,049 |
0,1 | 0,12 |
0,163 | 0,135 |
0,15 | 0,18 |
0,295 | 0,245 |
0,2 | 0,24 |
0,447 | 0,370 |
0,25 | 0,30 |
0,614 | 0,509 |
0,3 | 0,36 |
0,792 | 0,656 |
0,35 | 0,42 |
0,979 | 0,811 |
0,4 | 0,48 |
1,173 | 0,972 |
0,45 | 0,54 |
1,371 | 1,135 |
0,5 | 0,60 |
1,570 | 1,301 |
0,55 | 0,66 |
1,770 | 1,466 |
0,6 | 0,72 |
1,968 | 1,630 |
0,65 | 0,78 |
2,161 | 1,790 |
0,7 | 0,84 |
2,348 | 1,945 |
0,75 | 0,90 |
2,527 | 2,093 |
0,8 | 0,96 |
2,694 | 2,231 |
0,85 | 1,02 |
2.846 | 2,357 |
0,9 | 1,08 |
2.978 | 2,466 |
0,95 | 1,14 |
3,082 | 2,553 |
1 | 1,20 |
3,141 | 2,601 |
On peut lire sur le tableau ci-dessus qu'un fond de 30 cm correspond à un demi-mètre cube (509 litres). Sommaire 6. Technique GéoPlan : arc de cercle - segment circulaire ou segment de cercleArc de cercle : Pour GéoPlan les arcs sont orientés et tracés dans le sens trigonométrique en partant du premier point nommé (l'origine) vers le deuxième (l'extrémité). Un motif sur arc AB d'un cercle de centre O colorie le secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OB) et l'arc avec, par exemple, les instructions : a arc d'origine A et d'extrémité B sur le cercle c Objet dessinable a, particularités: hachures diagonales Tracé d'un arc non orienté Placer deux points A1 et B1 à la place de A et B tels que l'arc A1B1 soit direct. Lorsque l'angle t = (, ) est positif, µ(t<0) = 0, les translations de vecteur nul créent deux points A1 et B1 à la place de A et B. Voici les instructions GéoPlan : t mesure de l'angle de vecteurs (vec(O,A),vec(O,B)) en radian A1 image de A par la translation de vecteur µ(t<0)*vec(A,B) Objet dessinable A1, particularités: non dessiné B1 image de B par la translation de vecteur µ(t<0)*vec(B,A) Objet dessinable B1, particularités: non dessiné a arc d'origine A1 et d'extrémité B1 sur le cercle c Télécharger la figure GéoPlan seg_cir.g2w Segment circulaire (segment de cercle ou lunule) : surface comprise entre un arc de cercle AB et la corde [AB] qui le sous-tend. Réalisation d'un segment circulaire avec GéoPlan : a arc d'origine A et d'extrémité B sur le cercle c Objet dessinable a, particularités: bleu, hachures diagonales t mesure de l'angle de vecteurs (vec(O,A),vec(O,B)) en radian A1 image de A par la translation de vecteur vec(A,A)/µ(t>0) Objet dessinable A1, particularités: non dessiné t1 polygone OA1B Objet dessinable t1, particularités: rempli avec la couleur du fond A2 image de A par la translation de vecteur vec(A,A)/µ(t<0) Objet dessinable A2, particularités: non dessiné t2 polygone OA2B Objet dessinable t2, particularités: bleu, hachures diagonales Lorsque l'arc est plus petit qu'une demi-circonférence, l'angle t est positif, µ(t>0) vaut 1, la translation de vecteur nul vec(A,A)/µ(t>0), créé un point A1 à la place de A et le triangle t1 = OA1B = OAB créé avec la couleur de fond efface les hachures sur OAB. Lorsque l'arc est plus grand qu'une demi-circonférence, l'angle t est négatif, µ(t>0) vaut 0, la translation de vecteur vec(A,A)/µ(t>0) n'existe pas, pas de point A1 ni de triangle t1. |
Figure 1 |
Figure 2 Instructions GéoPlan pour la suppression des hachures sur le triangle OAB : t polygone OAB |
Figure 3 Arc de longueur supérieure à la demi-circonférence. |
Figure 4 Le triangle OAB est colorié avec le même motif que l'arc. |
Télécharger la figure GéoPlan seg_cir.g2w
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