Sections de cube - Calculs de périmètres et d'aires

Sommaire

Calculs d'aire et de périmètre

Page n^o 90, réalisée le 12/1/2006, mise à jour le 20/5/2010

Remplace la page n^o 125

…avec GéoSpace

GéoSpace
Sections planes d'un tétraèdre, d'un cube

GéoSpace
Fonctions
importation active

GéoSpace TS
produit scalaire

Mathématiques
en terminale

Environnement informatique

Objectifs et niveau

• Logiciel : GéoSpace
• Type d'utilisation : TD en classe
• Matériel : un ordinateur avec un vidéoprojecteur.
• L'apport informatique : Visualisation dans l'espace, aide à la conjecture.

Utilisation des TICE

Prérequis mathématiques

• Visualiser les différentes formes de section dans l'espace
• Émettre des conjectures, l'existence et les valeurs des maxima cherchés, les valeurs n'étant pas triviales
• Réfléchir à une modélisation simple de la section à réaliser (insister sur l'importance d'une analyse préalable à la réalisation de la figure)

• Équations de plans et calculs de distances dans l'espace
• Fonctions définies par morceaux (dont l'une d'elles a la particularité de présenter un extréma sur tout un intervalle de la variable)
• Réflexion sur la continuité de cette fonction
• Recherche d'extréma de fonctions définies par morceaux

Présentation de l'activité

On se propose de visualiser les différentes formes de section d'un cube par un plan perpendiculaire à sa diagonale.

Dans un deuxième temps, on conjecturera l'existence d'un maximum pour l'aire et le périmètre de cette section et enfin on démontrera ce résultat.

Cette étude peut être menée individuellement ou par deux, en partie en classe et le reste en devoir maison.

Calculs d'aire et de périmètre

À partir des trois figures GéoSpace ci-dessous on peut réaliser une séance de travail illustrée sur vidéoprojecteur :

• Présentation du cube, de la section S par un plan (p) perpendiculaire à [AG], visualisation des courbes représentant le périmètre de S, puis l'aire de S. (Cf. commentaires des figures)
• Mise en forme des conjectures.
• Démonstrations à partir d'une équation de (p) : x + y + z = 3t

Pour le calcul de l'aire de S dans le cas de l'hexagone, la visualisation du triangle T (Cf. commentaires des figures) permet un calcul par différence, et l'obtention des résultats suivants :

Remarques

• L'outil informatique dégage des contraintes de représentation au tableau, aide à une meilleure perception de l'espace.
  Une photocopie des captures d'écrans ci-dessous peut être distribuée aux élèves comme support de travail et annotations complémentaires (Cf. Ecrans.doc).
• La visualisation de T est une aide précieuse au calcul de l'aire de S.
• Notons l'apport du logiciel dans l'interaction entre les figures :
  Les trois figures d'une même ligne horizontale sont pilotées simultanément :
  Les figures cube1 et cube3 importent (Menu >Piloter>Importer) la valeur de t de la figure de droite cube_fct à condition que t soit défini non borné dans cube1 et cube3, bien qu'il soit borné entre 0 et 1 dans cube_fct (pour permettre d'afficher les courbes de l'aire et du périmètre comme lieux de points).

Télécharger la figure GéoSpace cube1.g3w

Télécharger la figure GéoSpace cube3.g3w

Télécharger la figure GéoSpace cube_fct.g3w

Interaction entre les figures

Lorsque plusieurs figures GéoPlan ou GéoSpace sont présentes dans un même document (page html ou document Word par exemple), on peut transmettre de l'une à l'autre des valeurs pour certaines variables.

Toute figure active exporte les valeurs de ses variables numériques libres ou liées vers toute figure “importatrice”.

Une figure devient “importatrice” lorsqu'on coche l'option Importer du menu Piloter, et chacune de ses variables numériques libres et non bornées reçoit la valeur d'une variable “exportée” portant le même nom s'il en existe.

Se référer à l'aide de GéoSpace : importation active - mode d'emploi du Creem.

Domaine B2i

Compétence

Item lycée validable

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

Être autonome dans l'usage des services et des outils.

1.1 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

Concevoir et publier des documents numériques en choisissant le logiciel, le service ou le matériel adapté.
Exploiter des données ou des documents numériques.
Modifier un ou plusieurs paramètres, une situation simulée ou modélisée.

3.5 – Je sais produire une représentation graphique à partir d'un traitement de données numérique.

3.6 – Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat.

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoSpace

Faire de la géométrie dynamique

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