Dans le cas où A est à l'intérieur du cercle, pour le démontrer, il suffit de remarquer que les triangles ABE et ADC sont semblables, ayant leurs angles en A opposés par le sommet et leurs angles inscrits BCD et BÊD égaux.
En écrivant l'égalité des rapports = , on conclut avec le produit des « extrêmes » égal à celui des « moyens ».

Puissance d'un point par rapport à un cercle et tangente

Lorsque A est à l'extérieur du cercle, avec une tangente (AT), on a :

AB × AC = AD × AE = AT².

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Si AB × AC = AT², la droite (AT) est tangente au cercle. Définition

Pour un point A extérieur à un cercle (c), la puissance du point A par rapport au cercle est le produit AB × AC, où une sécante issue de A coupe le cercle en B et C. Cette puissance est constante lorsque la droite varie.
Elle est égale au carré de la longueur AT d'une tangente au cercle issue de A :

AB × AC = AT².

Elle est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au centre du cercle moins le carré du rayon : AB × AC = AO² – OT² = d² – r².

Si le point A est à l'intérieur du cercle la puissance négative est égale à :

– AB × AC = d² – r².

Mesures algébriques

Quel que soit le point A, la puissance du point A par rapport au cercle est le produit × .

Réciproques :

si les droites (BC) et (DE) se coupent en un point A et qu'on a AB × AC = AD × AE (avec l'ordre des points A, B, C le même que l'ordre des points A, D, E), alors les points B, C, D et E sont cocycliques.
l'égalité AB × AC = AT² est suffisante pour affirmer que la droite (AT) est tangente au cercle.

Démonstration : angles inscrits et triangles semblables – A extérieur au cercle

L'angle inscrit CBT interceptant l'arc CT est égal à l'angle de la corde [TC] et de la tangente (TT’). Les angles supplémentaires ABT et ATC sont aussi égaux et les triangles ABT et ATC ont cet angle égal et l'angle A en commun : ils sont donc semblables.

Des rapports de similitude égaux = on déduit, avec l'égalité des produits des « extrêmes » et des « moyens », que AB × AC = AT².
Il résulte que le produit AB × AC ne dépend pas de la sécante, mais seulement du point A.

En particulier pour la sécante (AO) la puissance du point A est aussi AD × AE = (AO – OD) × (AO + OE) = AO² – OE² = d² – r².
Résultat conforme à la relation de Pythagore dans le triangle rectangle AOT.

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Feuille de travail dynamique avec GeoGebra

Cercles tangents à des droites ou à des cercles : voir construction de cercles
Moyenne géométrique : construction de Wallis

2. Application : orthocentre

orthocentre La puissance du point H par rapport au cercle circonscrit est :
HA × HA₁ = HB × HB₁ = HC × HC₁.

Sachant que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle (voir droite d'Euler) on a :

HA₁ = 2HA’, HB₁ = 2HB’, HC₁ = 2HC’;

On trouve donc :
HA × HA’ = HB × HB’ = HC × HC’.

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Faire de la géométrie dynamique

3. Application de la théorie de l'axe radical

Application de la théorie de l'axe radical On donne quatre points distincts A, B, C, D sur une droite (Δ).
Existe-t-il sur (Δ) un point I tel que . = ..

Si [AB] et [CD] n'ont pas même milieu, on peut tracer un cercle (c) passant par A et B et un cercle (c’) passant par C et D et coupant (c) en deux points E et F.

(EF) est l'axe radical de (c) et (c’).

Il rencontre (Δ) au point I cherché.

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4. Différence des puissances d'un point pour deux cercles

Formule d'usage fréquent en géométrie du cercle, qu'il faut savoir appliquer sans faute de signe.

Différence des puissances d'un point pour deux cercles On considère deux cercles c(O, R) et c’(O’, R’) avec O et O’ distincts.
On note c(M) = MO² – R² la puissance de M par rapport à (c) et c’(M) = MO’² – R^’2 la puissance de M par rapport à (c’).

c(M) – c’(M) = MO² – MO’² – (R² – R^’2).

En employant les carrés scalaires MO² – MO’² = ² – ’² = ( + ’).( - ’) = 2 .( + ) = 2 ., avec J le milieu de [OO’].

Soit K le pied de l'axe radical des deux cercles. On a vu que : 2 . = R² – R’².

Donc c(M) – c’(M) = 2 . – 2 . = 2 . + 2 . = 2 ..

Soit H la projection de M sur (OO’).

c(M) – c’(M) = 2 . (1)

5. Relation d'Euler

Relation d'Euler Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit

Si le cercle circonscrit (c) d'un triangle ABC a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit (c’) a pour centre I et pour rayon r.
Le rayon du cercle inscrit est r = = .

La relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI² = R² – 2Rr.

Pour un cercle exinscrit (c₁) le centre I₁, intersection de la bissectrice intérieure issue de A et de deux bissectrices extérieures issues de B et C, est le barycentre de
(A, -a) ; (B, b) ; (C, c).
Le rayon est r₁ = = = .

La relation d'Euler devient :

OI₁² = R² + 2Rr₁.

Démonstration

avec la puissance du point I par rapport aux cercles (c) et (Γ).

La bissectrice de l'angle BAC recoupe le cercle circonscrit en O₁ , milieu de l'arc BC, qui ne contient pas A.
Le cercle inscrit (c’) a son son centre I situé sur la bissectrice (AO₁) et est tangent au côté (BC) en A’.
Le cercle (c₁), exinscrit dans l'angle A, de rayon r₁, a son son centre I₁ situé sur la bissectrice (AO₁) et est tangent au côté (BC) en A₁.
Les bissectrices intérieure (BI) et extérieure (BI₁) sont perpendiculaires, ainsi que (CI) et (CI₁).
Le cercle (Γ) de diamètre [II₁] passe donc par B et C. Il a son centre situé sur la bissectrice (II₁) et sur la médiatrice de [BC]. C'est le point O₁.

Appliquons la formule (1) au point I et aux cercles (Γ) et (c) : Γ(I) – c(I) = – 2 OO₁. A’I = – 2 Rr, car les vecteurs OO₁ et A’I sont de sens contraires.

Comme Γ(I) = 0 et c(I) = IO² – R² on a bien OI² = R² – 2Rr.

De même, en appliquant la formule (1) au point I₁ et aux cercles (Γ) et (c), on trouve : Γ(I₁) – c(I₁) = 2 OO₁. A₁I₁ = 2 Rr₁, car les vecteurs OO₁ et A₁I₁ sont de même sens, d'où OI₁² = R² + 2Rr₁.

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Voir : relations d'Euler

Bibliographie : Commeau – Géométrie maths élem – Masson, 1963 (mon livre de cours en terminale).
Coxeter et Greitzer – Redécouvrons la géométrie – Dunod – 1971 – Éditions Jacques Gabay –1997

Wikipédia :
Puissance d'un point par rapport à un cercle

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