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Puissance d'un point par rapport à un cercle

Géométrie du cercle pour l'après bac.

Sommaire

1. Puissance d'un point par rapport à un cercle
2. Application : orthocentre
3. Application de la théorie de l'axe radical
4. Différence des puissances d'un point pour deux cercles
5. Relation d'Euler

Le cercle au collège

Le cercle au lycée

Cercles tangents à des droites ou à des cercles : problèmes des contacts, voir construction de cercles
Cercles tangents, tangents aux côtés d'un triangle

Page no 149, réalisée le 31/7/2009

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Géométrie du cercle

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Géométrie dans l'espace

Mathématiques
en terminale

 1. Puissance d'un point par rapport à un cercle

en : power of a point
de : Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises

Notion que j'enseignais en troisième en 1970,
maintenant disparue de l'enseignement français au lycée
.

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Théorème d'Euclide
Si deux droites passant par un point A coupent un cercle (c), l'une en B et C, l'autre en D et E, on a :

AB × AC = AD × AE.

Dans le cas où A est à l'intérieur du cercle, pour le démontrer, il suffit de remarquer que les triangles ABE et ADC sont semblables, ayant leurs angles en A opposés par le sommet et leurs angles inscrits BCD et BÊD égaux.
En écrivant l'égalité des rapports AB/AD = AE/AC, on conclut avec le produit des « extrêmes » égal à celui des « moyens ».

Puissance d'un point par rapport à un cercle et tangente

Lorsque A est à l'extérieur du cercle, avec une tangente (AT), on a :

AB × AC = AD × AE = AT2.

 

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Si AB × AC = AT², la droite (AT) est tangente au cercle. Définition

Pour un point A extérieur à un cercle (c), la puissance du point A par rapport au cercle est le produit AB × AC, où une sécante issue de A coupe le cercle en B et C. Cette puissance est constante lorsque la droite varie.
Elle est égale au carré de la longueur AT d'une tangente au cercle issue de A :

AB × AC = AT2.

Elle est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au centre du cercle moins le carré du rayon : AB × AC = AO2 – OT2 = d2r2.

Si le point A est à l'intérieur du cercle la puissance négative est égale à :

– AB × AC = d2r2.

Mesures algébriques

Quel que soit le point A, la puissance du point A par rapport au cercle est le produit mesalg(AB) × mesalg(AC).

Réciproques :

  • si les droites (BC) et (DE) se coupent en un point A et qu'on a AB × AC = AD × AE (avec l'ordre des points A, B, C le même que l'ordre des points A, D, E), alors les points B, C, D et E sont cocycliques.
  • l'égalité AB × AC = AT2 est suffisante pour affirmer que la droite (AT) est tangente au cercle.

Démonstration : angles inscrits et triangles semblables – A extérieur au cercle

L'angle inscrit CBT interceptant l'arc CT est égal à l'angle de la corde [TC] et de la tangente (TT’). Les angles supplémentaires ABT et ATC sont aussi égaux et les triangles ABT et ATC ont cet angle égal et l'angle A en commun : ils sont donc semblables.

Des rapports de similitude égaux AB/AT = AT/AC on déduit, avec l'égalité des produits des « extrêmes » et des « moyens », que AB × AC = AT2.
Il résulte que le produit AB × AC ne dépend pas de la sécante, mais seulement du point A.

En particulier pour la sécante (AO) la puissance du point A est aussi AD × AE = (AO – OD) × (AO + OE) = AO2 – OE2 = d2r2.
Résultat conforme à la relation de Pythagore dans le triangle rectangle AOT.

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Cercles tangents à des droites ou à des cercles : voir construction de cercles
Moyenne géométrique : construction de Wallis

2. Application : orthocentre

orthocentreLa puissance du point H par rapport au cercle circonscrit est :
HA × HA1 = HB × HB1 = HC × HC1.

Sachant que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle (voir droite d'Euler) on a :

HA1 = 2HA’, HB1 = 2HB’, HC1 = 2HC’;

On trouve donc :
HA × HA’ = HB × HB’ = HC × HC’.

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3. Application de la théorie de l'axe radical

Application de la théorie de l'axe radicalOn donne quatre points distincts A, B, C, D sur une droite (Δ).
Existe-t-il sur (Δ) un point I tel que vect(IA).vect(IB) = vect(IC).vect(ID).

Si [AB] et [CD] n'ont pas même milieu, on peut tracer un cercle (c) passant par A et B et un cercle (c’) passant par C et D et coupant (c) en deux points E et F.

(EF) est l'axe radical de (c) et (c’).

Il rencontre (Δ) au point I cherché.

 

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4. Différence des puissances d'un point pour deux cercles

Formule d'usage fréquent en géométrie du cercle, qu'il faut savoir appliquer sans faute de signe.

Différence des puissances d'un point pour deux cerclesOn considère deux cercles c(O, R) et c’(O’, R’) avec O et O’ distincts.
On note c(M) = MO2 – R2 la puissance de M par rapport à (c) et c’(M) = MO’2 – R’2 la puissance de M par rapport à (c’).

c(M) – c’(M) = MO2 – MO’2 – (R2 – R’2).

En employant les carrés scalaires MO2 – MO’2 = vect(MO)2vect(MO)2 = (vect(MO) + vect(MO)’).(vect(MO) - vect(MO)’) = 2 vect(MJ).(vect(O'M) + vect(MO)) = 2 vect(O'O).vect(MJ), avec J le milieu de [OO’].

Soit K le pied de l'axe radical des deux cercles. On a vu que : 2 vect(OO').vect(JK) = R2 – R’2.

Donc c(M) – c’(M) = 2 vect(OO').vect(JM) – 2 vect(OO').vect(JK) = 2 vect(OO').vec(KJ) + 2 vect(OO').vect(JM) = 2 vect(OO').vect(KM).

Soit H la projection de M sur (OO’).

c(M) – c’(M) = 2 vect(OO').vect(KH)    (1)

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5. Relation d'Euler

Relation d'EulerDistance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit

Si le cercle circonscrit (c) d'un triangle ABC a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit (c’) a pour centre I et pour rayon r.
Le rayon du cercle inscrit est  r = S/p = bc sinA/(a+b+c).

La relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI2 = R2 – 2Rr.

Pour un cercle exinscrit (c1) le centre I1, intersection de la bissectrice intérieure issue de A et de deux bissectrices extérieures issues de B et C, est le barycentre de
(A, -a) ; (B, b) ; (C, c).
Le rayon est r1 = S/(p-a) = 2S/(-a+b+c) = bc sinA/(-a+b+c).

La relation d'Euler devient  :

OI12 = R2 + 2Rr1.

Démonstration

avec la puissance du point I par rapport aux cercles (c) et (Γ).

La bissectrice de l'angle BAC recoupe le cercle circonscrit en O1, milieu de l'arc BC, qui ne contient pas A.
Le cercle inscrit (c’) a son son centre I situé sur la bissectrice (AO1) et est tangent au côté (BC) en A’.
Le cercle (c1), exinscrit dans l'angle A, de rayon r1, a son son centre I1 situé sur la bissectrice (AO1) et est tangent au côté (BC) en A1.
Les bissectrices intérieure (BI) et extérieure (BI1) sont perpendiculaires, ainsi que (CI) et (CI1).
Le cercle (Γ) de diamètre [II1] passe donc par B et C. Il a son centre situé sur la bissectrice (II1) et sur la médiatrice de [BC]. C'est le point O1.

Appliquons la formule (1) au point I et aux cercles (Γ) et (c) : Γ(I) – c(I) = – 2 OO1. A’I = – 2 Rr, car les vecteurs OO1 et A’I sont de sens contraires.

Comme Γ(I) = 0 et c(I) = IO2 – R2, on a bien OI2 = R2 – 2Rr.

De même, en appliquant la formule (1) au point I1 et aux cercles (Γ) et (c), on trouve : Γ(I1) – c(I1) = 2 OO1. A1I1 = 2 Rr1, car les vecteurs OO1 et A1I1 sont de même sens, d'où OI12 = R2 + 2Rr1.

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Voir : relations d'Euler

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