Surfaces dans l'espace au lycée en spécialité TS.
Sommaire1. Solides de révolution engendrés par des cercles |
4. Paraboloïde hyperbolique d'équation x2 + y + z = 0 Page no 30, réalisée le 28/1/2003, mise à jour le 23/2/2010 | ||
GéoSpace en TS |
GéoPlan en TS |
Derive |
Les quadriques de l'espace sont des surfaces algébriques de degré 2. Elles possèdent beaucoup de propriétés analogues à celle des coniques. L'équation réduite permet de classifier ces surfaces avec les paramètres a, b, c : Ellipsoïde : x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1. Toutes ces surfaces, sauf le paraboloïde hyperbolique, seront étudiées ici comme engendrées par des solides de révolution avec a = b. 1. Solides de révolution engendrés par des cerclesParaboloïde elliptique (bol)Le paraboloïde de révolution est la forme prise par la surface d'un liquide placé dans un cylindre d'axe vertical et animé d'une rotation rapide. Conformément au programme de S, étudions le solide de révolution d'équation z = x2 + y2. Pour une valeur positive fixée z0, x2 + y2 = z0 est l'équation d'un cercle c0 de centre I0(0 ; 0 ; z0) et de rayon , contenu dans le plan P0 d'équation z = z0. Quand on fait varier z0, on obtient une succession de cercles qui « s'empilent » et engendrent ainsi une surface de révolution autour de l'axe oz. |
Avec GéoSpace passer en mode « trace » (icône ci-contre de la barre d'outils) | |
Faire varier z0, avec les flèches du clavier pour construire le paraboloïde. | |
Sortir du « mode trace » (bouton ci-contre de la barre d'outils) pour toute autre action sur la figure. |
Voici le programme GéoSpace permettant d'obtenir la figure de gauche engendrée par des cercles : z0 réel libre de [0,5] Objet libre z0, paramètre: 3.6 P0 plan d'équation Z=z0 dans le repère Rxyz I0 point de coordonnées (0,0,z0) dans le repère Rxyz c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(z0) dans le plan P0 (unité Uxyz) Objet libre actif au clavier: z0 Sélection pour trace: c0 Noms des points non affichés Il est aussi possible, comme ici à droite, de générer la figure par des paraboles isométriques contenues dans les plans P0 d'équation X=x0, parallèles au plan yoz. La parabole a pour équation z = y2 + x0x2. Commande GéoSpace |
Génération par des cercles : télécharger la figure GéoSpace parabolo.g3w
Génération par des paraboles : télécharger la figure GéoSpace parabol3.g3w
C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme : x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1. Choisissons a = b = 1 et c = 2 pour étudier l'ellipsoïde de révolution d'équation : 4 x2 + 4 y2 + z2 = 4. Dans le programme GéoSpace précédent, modifier les deux lignes suivantes : z0 réel libre de [-2,2] … c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(4-z0^2)/2 dans le plan P0 (unité Uxyz) |
Télécharger la figure GéoSpace ellipsoi.g3w
C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme : x2/a2 + y2/b2 = z2/c2. Choisissons a = b = c = 1 pour étudier le cône de révolution d'équation : x2 + y2 = z2. Dans le programme GéoSpace modifier les deux lignes suivantes : z0 réel libre de [-2,2] … c0 cercle de centre I0 et de rayon abs(z0) dans le plan P0 (unité Uxyz) |
Télécharger la figure GéoSpace cone_rev.g3w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
Ce sont des surfaces de l'espace du type :
Hyperboloïde à une nappe : x2/a2 + y2/b2 - z2/c2
= 1 ; avec le cône asymptote « interne » d'équation x2/a2 + y2/b2
- z2/c2 = 0.
Hyperboloïde à deux nappes : x2/a2 + y2/b2 - z2/c2
+ 1 = 0 ; avec le cône asymptote « externe » d'équation x2/a2
+ y2/b2 - z2/c2 = 0.
Choisissons a = b = 1 et c = 1 ou c = −1 pour étudier deux hyperboloïdes de révolution avec leurs cônes asymptotes d'équation x2 + y2 = z2.
À une nappeÉtude du solide de révolution d'équation : x2 + y2 = z2 + 1. Télécharger la figure GéoSpace hyper_1n.g3w |
À deux nappesÉtude du solide de révolution d'équation : x2 + y2 = z2 - 1. En bleu le cône asymptote. Télécharger la figure GéoSpace hyper_2n.g3w |
On se place dans le plan d'équation x = 1. L'intersection de l'hyperboloïde avec ce plan vérifie
y2 − z2 = 0, soit en factorisant (y − z) (y + z) = 0.
L'intersection est donc la réunion de deux droites génératrices :
(d) de couple d'équations {x = 1 ; y - z = 0} et (d’) de couple d'équations {x = 1 ; y + z = 0}.
Toute rotation d'axe Oz transforme les droites (d) et (d’) en deux génératrices de l'hyperboloïde.
Représentation dans le cube [-3, 3]3 avec GéoSpace :
La droite (d) passe le point A(1, 3, 3) situé sur le cercle c0 du plan horizontal d'équation z = 3 et le point B(1, −3, −3) sur le cercle c1 du plan horizontal d'équation z = −3.
Une rotation d'axe Oz, d'angle t radians, transforme A en C et B en D. La droite (CD) est une génératrice du solide.
Château d'eau des Pialoux (26 La Roche-de-Glun) : les directrices renforcent la solidité de l'édifice et permettent une construction plus économique avec des fers à béton rectilignes.
Une génératriceTrace des segments de génératrice [CD].
Télécharger la figure GéoSpace hyp_1n_2.g3w |
Deux génératricesLa droite (d’) passe par les points A’(1, -3, 3) et B’(1, 3, -3). Une rotation d'axe Oz, d'angle t radians, transforme A’ en E et B’ en F. La droite (EF) est aussi une génératrice du solide. Télécharger la figure GéoSpace hyp_1n_3.g3w |
Remarque 1 : pour l'hyperboloïde à une nappe, l'existence de ces génératrices assure en architecture la rigidité du solide permettant d'utiliser cette forme pour des châteaux d'eau ou des tours de refroidissement. Remarque 2 : dans le cas général avec le type x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 on se ramène à un solide de révolution x2/a2 + y2/a2 - z2/c2 = 1 par une affinité de plan Oxz et de rapport b/a puis on fait une étude similaire en étudiant l'intersection avec le plan d'équation x = a2.
Sommaire 3. Paraboloïde à selle : paraboloïde hyperbolique d'équation z = xyExemple de surface, du programme de spécialité de terminale S, qui n'est pas de révolution. Génération par des hyperboles contenues dans des plans horizontaux L'intersection de la surface avec le plan horizontal passant par l'origine O est la réunion des deux axes (Ox) et (Oy). |
Télécharger la figure GéoSpace par_xy.g3w
Il est conventionnel de représenter les surfaces à l'intérieur d'un cube. Ici on choisit le demi-côté a = 5.
Génération par des hyperboles contenues dans des plans horizontaux Dans la figure ci-dessous, sont représentée les arcs d'hyperboles situées dans les plans d'équations z = z0 pour z0 variant de -5 à 5.
Télécharger la figure GéoSpace par_xy_3.g3w |
Génération par des directrices contenues dans des plans parallèles au plan (yOz) Sur l'hyperbole, située sur la face supérieure du cube, sont placés les points P(x, a/x, a) et R(-x, -a/x, a) et sur la face inférieure les points Télécharger les figures GéoSpace par_xy_7.g3w, par_xy_x0.g3w Génération par des directrices contenues dans des plans parallèles au plan (xOz) Remarque : on peut obtenir une trame dans l'autre sens en utilisant les segments [PS] et [RQ] et le segment qui joint les points de coordonnées (a, z/a, z) et (-a, z/a, -z). Télécharger les figures GéoSpace par_xy_8.g3w, par_xy_y0.g3w |
Ci-dessous deux représentations permettant de visualiser les arcs d'hyperboles et les segments de droite contenus dans le paraboloïde.
Télécharger la figure GéoSpace par_xy_4.g3w |
Télécharger la figure GéoSpace par_xy_6.g3w |
Génération par des paraboles contenues dans des plans verticaux
L'intersection du paraboloïde avec des plans parallèles au plan d'équation x - y = 0 est une parabole.
La construction avec GéoSpace se fait dans un nouveau repère ayant pour axes horizontaux les bissectrices des axes (Ox) et (Oy).
Avec le changement de variables :
x = (Y + X)
y = (Y - X)
z = Z ;
Le paraboloïde d'équation z = xy, a pour équation dans le nouveau repère :
Z = (Y + X)(Y - X)/2 = (Y2 - X2)/2.
Pour un plan, ayant dans ce repère une équation de la forme
X = X0, construire une parabole d'équation Z = (Y2 - X02)/2,
puis avec le mode trace de GéoSpace, déplacer X0 de -5 à 3.
En raison de la parité de la fonction, on remarque que les plans d'équation X = 0 et Y = 0 sont plans de symétrie de la surface.
Télécharger la figure GéoSpace par_xy_para.g3w
Représentation dans le cube [-1, 1]3.
L'intersection de la surface avec les faces latérales du cube est formée par quatre diagonales des faces de ce cube.
Les droites joignant les points de même abscisse, situés sur les diagonales opposées, sont des génératrices de la surface.
La recherche de l'intersection de la surface précédente, avec le plan d'équation x = 0, permet d'en déduire l'étude de la surface d'équation :
z | |
y = |
|
x |
Télécharger la figure GéoSpace par_xy_2.g3w
DémonstrationD'après le Paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy – Jacques Lucet – bulletin APMEP no 486 – Janvier 2010 Étude dans un cube ABCDEFGH de centre O, de côté de longueur 2. Étant donné deux nombres réels λ et µ, on considère les barycentres : Soit R le barycentre de (M, µ) et (N, 1-µ). Le point R est aussi le barycentre de (P, λ) et (Q, 1-λ). En effet d'après le théorème d'associativité le barycentre de (A, λµ) ; (H, (1-λ)µ) ; (F, λ(1-µ)) et (C, (1-λ)(1-µ)) est d'une part le barycentre du barycentre partiel de (A, λµ) et (H, (1-λ)µ) soit le point M et d'autre part le barycentre partiel de (F, λ(1-µ)) et (C, (1-λ)(1-µ)) soit le point N. De même, le barycentre de (A, λµ) ; (H, (1-λ)µ) ; (F, λ(1-µ)) et (C, (1-λ)(1-µ)) est d'une part le barycentre du barycentre partiel de (A, λµ) et (F, λ(1-µ)) soit le point P et d'autre part le barycentre partiel de (H, (1-λ)µ) et (C, (1-λ)(1-µ)) soit le point Q. Les droites (MN) et (PQ) sont donc concourantes en R. Les points M, N, P et Q appartiennent à la surface S M est le barycentre de (A, λ) et (H, 1-λ). La fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire : = λ . Soit M(-1 + 2λ, 1, -1 + 2λ). Ces coordonnées vérifient l'équation xy = z de la quadrique S pour tout réel λ. La droite (AH) est tout entière contenue dans la surface S. N est le barycentre de (F, λ) et (C, 1-λ). Soit N(-1 + 2λ, -1, 1 - 2λ). Ces coordonnées vérifient l'équation de S pour tout λ. La droite (CF) est contenue dans la surface S. De même, pour tout réel µ, les coordonnées de P(1, 2µ - 1, 2µ -1) et Q(-1, 2µ - 1, 1 - 2µ) vérifient l'équation de S. Le point R est un point de la surface S R est le barycentre de (M,µ) et (N, 1-µ). Soit R(-1 + 2λ, -1 + 2µ, 1 - 2λ - 2µ + 4λµ). Pour tout λ et tout µ, ces coordonnées vérifient l'équation de S et les droites (MN) et (PQ) sont contenues dans la surface. Les droites (MN) et (PQ) engendrent la surface S. Réciproque Réciproquement quel que soit le point R de la surface S, n'appartenant pas au cube, le plan (FCR) coupe la droite (AH) en M. La droite (MR) coupe (FC) en N. Le point R a pour abscisse µ dans le repère (N, ). Télécharger la figure GéoSpace par_xy_2_demo.g3w |
Représentation dans le cube [-2,2]3.
La symétrie par rapport au plan d'équation z = y - x2. |
Télécharger la figure GéoSpace p_x2_y_z.g3w
L'équation de cette surface peut aussi s'écrire sous la forme z2 = xy et z ≥ 0.
Représentation dans le cube [0,5]3
Télécharger la figure GéoSpace p_rac_xy.g3w
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