MIAM

Point inaccessible

Constructions de géométrie, avec GéoPlan, sans utiliser un point situé hors de la page.

Sommaire

1. Angle de deux droites
2. Tracer le symétrique d'un triangle
3. Diagonale d'un parallélogramme
4. Bissectrice
5. Perpendiculaire et carré avec règle et équerre

Exercices de-ci, de-là :
    construction sous contrainte — plus court chemin

 

Page no 135, créée le 18/1/2007, mise à jour le 13/5/2011

GéoPlan TS
Géométrie plane

TS
Similitude

GéoSpace TS
Produit scalaire

Volume d'un tronc de cylindre

Constructions avec contraintes

Mathématiques
en terminale

Deux droites concourantes se coupent en un point situé hors de la feuille (hors de l'écran). On demande de faire les constructions suivantes sans utiliser ce point inaccessible.

Des situations à mettre en œuvre au collège en deux à trois heures suivant les niveaux et les objectifs.

La grande supériorité de GéoPlan sur beaucoup de logiciels de géométrie est qu'il permet de concevoir des objets sans les visualiser.

Par contre avec Cabri, on devra faire des zooms arrière jusqu'à trouver le point et revenir à la situation d'origine par des zooms avant.

 1. Angle de deux droites

 Détermination de l'angle de deux droites avec la symétrie centrale accessible au collège dès la classe de cinquième.

 Sachant que (d) et (d’) ne se coupent pas sur la feuille, peut-on déterminer l'angle des deux droites ?

Angle de deux droites Angle de deux droites - Solution

Construction
Placer des points A et B sur (d), C et D sur (d’).
Tracer le segment [AC], son milieu O et le point D’, symétrique de D par rapport à O.

La droite (AD’) est parallèle à (d’) et l'angle BÂD’ représente l'angle des droites (d) et (d’).

En effet, les angles alternes-internes BÂD’ et AÎD, par rapport à la sécante (AI), sont égaux.

Avec GéoPlan, taper S pour afficher la solution.

Il est possible de créer le point I d'intersection :

I point d'intersection des droites d et d'
Af1 affichage d'une mesure (en degré) de l'angle AIC

Taper A pour afficher l'angle des droites.

g2w Télécharger la figure GéoPlan angle_droites.g2w

 2. Tracer le symétrique d'un triangle

Symétrie centrale en classe de cinquième 

Tracer le symétrique d'un triangle

ABC est un triangle, mais le point C est en dehors de la feuille.
Construire, malgré tout, le symétrique du triangle ABC par rapport à O.

g2w Télécharger la figure GéoPlan sym_triangle.g2w

Symétrique d'un triangle - Solution

Placer deux points M sur (d) et P sur (d’), convenablement choisis, dont les images sont situées dans la feuille.
Les symétriques M’ et P’ de M et P par rapport à O permettent de tracer les droites (A’M’) et (B’P’) symétriques de (d) et (d’).
Elles se coupent en C’ symétrique de C par rapport à O.

Avec GéoPlan, il est possible de créer le point C troisième sommet du triangle et son symétrique C’.

 3. Diagonale d'un parallélogramme

Classe de quatrième  

ABCD est un parallélogramme.
Seuls les points A, B, C sont situés sur la feuille.
Tracer la diagonale [BD] sans utiliser le point D.

Diagonale d'un parallélogramme

Indications

Tracer la diagonale [AC] et son milieu I.
La droite (BI) est la diagonale cherchée.

Diagonale d'un parallélogramme - Solution

g2w Télécharger la figure GéoPlan diag_para.g2w
Voir : intersection inaccessible

Plus difficile

ABCD est un parallélogramme, D est une intersection inaccessible.
Seuls les points A, B, C et les segments [AB] et [BC] sont tracés.

Tracer la diagonale [BD] et les côtés [CD] et [AD], sans utiliser le point D.

Diagonale d'un parallélogramme - Solution

Comme ci-contre, tracer [AC], son milieu I et la diagonale [BD].
Utiliser la symétrie de centre I, pour tracer les côtés [CD] et [AD], en choisissant convenablement deux points sur [BA] et [BC] dont les images sont situées dans la feuille.

Diagonale d'un parallélogramme - Solution

 4. Bissectrice

BissectriceDeux droites (d) et (d’) concourantes se coupent en un point I situé hors de la feuille, construire une bissectrice de (d, d’).

Placer deux points A sur (d) et A’ sur (d’).

Les bissectrices du triangle AA’I, issues de A et A’ se coupent en P, centre du cercle inscrit.

Les bissectrices extérieures du triangle AA’I, issues de A et A’ se coupent en Q, centre d'un cercle exinscrit.

La droite (PQ), troisième bissectrice intérieure du triangle AA’I est la bissectrice de (d) et (d’) cherchée.

Le tracé est possible lorsque les points P et Q sont situés sur la feuille.

Remarque technique :
GéoPlan permet uniquement de tracer les bissectrices d'un angle défini par trois points. Pour cela, on place les points B et C sur sur (d), puis B’ et C’ sur (d’) et on utilise des instructions comme :

d1 bissectrice de l'angle A’AB

g2w Télécharger la figure GéoPlan bissectrice.g2w

Règle à bords parallèles

Tracer deux paires de droites parallèles aux droites données (d) et (d’) situées à des distances égales de ces mêmes droites.

Construction

Cette construction se fait facilement avec une règle à bords parallèles de taille convenable.

Dans le réseau de losanges ainsi formé, on place les sommets opposés A et B d'un losange.

La droite (AB) est la bissectrice cherchée.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan bissectrice_para.g2w


Pliage

(d) et (d’) étant inscrites sur une feuille, amener (d) en coïncidence avec (d’), la trace du pli donne la bissectrice.

Droite passant par un point M de la page et par l'intersection inaccessible
Les pliages permettent de résoudre le problème dans le cas où M est entre (d) et (d’) :
Le pliage donne une droite (d3). Si M est entre (d) et (d3) on recommence en amenant (d) sur (d3) pour obtenir un pli (d4), et ainsi de suite en rabattant l'une sur l'autre les deux droites entre lesquelles le point M est situé… Au bout de 5 ou 6 pliages maxima, la position de droite (IM) sera connue au millimètre près.

 5. Perpendiculaire

Classe de sixième 

 Tracés à la règle et à l'équerre.

Tracer la perpendiculaire à une droite lorsque le point concours n'est pas sur la feuille.

Tracer la droite perpendiculaire

Tracer la droite passant par A perpendiculaire à la droite (PQ).
Le tracé se fera avec une règle (non graduée) et une équerre.
Attention, seuls les tracés à l'intérieur de la feuille sont admis.

Avec GéoPlan, seuls les tracés à l'intérieur de l'écran sont admis et le zoom est interdit.
On n'utilisera pas plus la commande :
créer > droite perpendiculaire passant par A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan perpendiculaire.g2w

Solution à la règle et à l'équerre

Droite perpendiculaire à l(PQ)

Placer l'équerre le long de la droite (PQ), le sommet de l'angle droit en un point H et tracer une droite (HI) perpendiculaire à (PQ).

Placer ensuite un des petits côtés de l'équerre sur cette perpendiculaire et la faire glisser, jusqu'à ce que l'autre petit côté passe par A.
Tracer la perpendiculaire (IA).

Enfin, tracer la droite (AM), perpendiculaire en A à (IA).
Cette droite est la solution.

b. Tracé, à l'équerre, d'un carré avec deux sommets inaccessibles :

Tracer un carré de sommet A, ayant un côté situé sur la droite (PQ)

Le point A et la droite (PQ) sont situés de telle façon que le sommet C sera le seul autre sommet du carré ABCD situé sur la feuille, B et D ne seront pas dessinés.

Carré ayant un côté sur (PQ)

Tracer, comme ci-dessus, la droite (AM) passant par A perpendiculaire à (PQ),
puis en plaçant l'angle droit de l'équerre en A, tracer la perpendiculaire (AN), droite parallèle à (PQ).
Placer un des coins de l'équerre en A, un des petits côtés [AE] sur (AM) et tracer une perpendiculaire [EF) à (AM).
Retourner l'équerre, ce même petit côté sur (AN), tracer une deuxième perpendiculaire [HG) à (AN).
Ces deux perpendiculaires se coupent en I et font apparaître un petit carré AEIH, de diagonale [AI].

La droite (AI), diagonale du carré cherché, coupe (PQ) en C sommet de ce carré.
La perpendiculaire en C à (PQ) est le dernier côté du carré ABCD.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre1.g2w

Autre tracé à la règle et à l'équerre

Carré ayant un côté sur (PQ)

Avec une équerre, qui n'est pas isocèle, il est possible de tracer, comme ci-dessus, la droite (AM) passant par A perpendiculaire à (PQ),
Placer l'angle droit de l'équerre en A, tracer la perpendiculaire (AN) et marquer l'hypoténuse [EF] sur la feuille.

Retourner l'équerre, en permutant les petits côtés, faire un deuxième tracé de l'hypoténuse [GH].

Ces deux droites (EF) et (GH) se coupent en I et la droite (AI) est la bissectrice de MAN. Les angles MAI et NAI mesurent 45° et (AI) est une diagonale du carré.

Comme ci-contre on construit le sommet C du carré, intersection de (AI) et (PQ),
et en plaçant l'angle droit de l'équerre en C, la perpendiculaire tracée est le dernier côté du carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre2.g2w

Retrouver ces constructions dans : tracé du carré à la règle et l'équerre

 

Sommaire

1. Angle de deux droites
2. Tracer le symétrique d'un triangle
3. Diagonale d'un parallélogramme
4. Bissectrice
5. Perpendiculaire et carré avec règle et équerre

Voir : intersection inaccessible

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