Inversion de cercles

Théorème de Ptolémée

Cercle passant par un point tangent à deux cercles

Cercle passant par un point tangent à une droite et à un cercle

Problème d'Apollonius

Faire de la
géométrie dynamique
avec GeoGebra

Mathématiques
en terminale

Sommaire

1. définition de l'inversion
2. « Machine à inversion » : inverseur de Peaucellier
3. Image d'un cercle par une inversion
4. Inversions échangeant deux cercles sécants
5. Inversions échangeant deux cercles extérieurs l'un à l'autre
6. Inversion échangeant le cercle circonscrit et le cercle d'Euler
7. Constructions à la règle et au compas

Axe orthique

Axe orthique et polaires par rapport au cercle circonscrit et au cercle d'Euler

Géométrie du cercle

Page n^o 148, créée le 21/7/2009

Cette transformation n'est plus enseignée au lycée, mais pourrait être citée en terminale S comme contre-exemple de la linéarité.

Définition : l'inversion i(I, k) de pôle I et de puissance k est la transformation ponctuelle du plan qui à un point M, distinct de I, fait correspondre le point M’ de la droite (IM) tel que . = k.

Propriétés

Entre un couple de points (M, N) et son image (M’, N’), on a : M’N’ = ,
les quatre points (M, M’, N, N’) sont cocycliques (ou alignés).

M’ est dit inverse de M par rapport à I. M et M’ sont alignés avec I et on a IM × IM’ = |k|. On dit aussi que M et M’ sont antihomologues.

Si M’ est l'inverse de M, alors M est l'inverse de M’. Une inversion de pôle I est une involution bijective du plan privé de I dans lui-même.

L'image d'une droite ou d'un cercle, éventuellement privé du pôle I, est une droite ou un cercle, éventuellement privé du point I.

Par une inversion, l'image d'une droite ne passant par le pôle est un cercle, passant par le pôle, privé du pôle.
Une droite passant par le pôle est globalement invariante.

L'inversion transforme un cercle ne passant pas par le pôle I en un cercle ne passant pas par I.
Pour deux cercles inverses l'un de l'autre, le pôle d'inversion est un centre d'homothétie des deux cercles.

Cercle d'inversion : l'ensemble des points invariants dans l'inversion de pôle I et de puissance k (positive) est un cercle directeur de centre I et de rayon , c'est le cercle d'inversion.

Si un point est extérieur au cercle d'inversion, son inverse est intérieur et réciproquement (problème du lion dans le désert : pour le chasser, construire un grillage circulaire, et faire une inversion !).

Cercles orthogonaux au cercle d'inversion : pour qu'une transformation ponctuelle soit une inversion positive de cercle d'inversion (Γ), il faut et il suffit que tout cercle (c) passant par un point M et son transformé M’ soit orthogonal à (Γ).
Le cercle (c) est alors globalement invariant par l'inversion.

Inversion et tangentes : si une courbe C admet une tangente en un point M, sa courbe inverse C’, admet une tangente au point M’, inverse de M, et ces deux tangentes sont symétriques par rapport à la médiatrice de [MM’].

2. « Machine à inversion » : inverseur de Peaucellier

La solution exacte du mouvement rectiligne fut trouvée en 1864 par Peaucellier.

La droite effective ou comment tracer des droites au compas

L'inverseur est un objet mécanique avec deux barres OP et OQ de longueur fixe r₁ et 4 autres barres MP, MQ, M’P, M’Q de longueurs fixes r₂ avec les points de pivots aux sommets du losange OMPQM’.

Justification géométrique

Pour un point O du plan affine euclidien et un rapport k = r₁² - r₂², avec 0 < r₂ < r₁, on peut construire l'inverse géométrique, pour l'inversion de centre O et de rapport k, de tout point M dans la couronne centrée en O, de rayon intérieur r₁ - r₂, et de rayon extérieur r₁ + r₂ de la façon suivante :

• Un point M dans la couronne étant donnée, il existe deux points d'intersection P et Q du cercle de centre O et de rayon r₁, et du cercle de centre M et de rayon r₂.
• Puis on construit l'unique point M’ tel que PMQM’ soit un losange.
• L'application qui à M fait correspondre M’ est bien l'inversion cherchée.

Télécharger la figure GeoGebra inverseur_Peaucellier.ggb
Lors du téléchargement les fichiers GeoGebra sont enregistrés comme « .zip », les renommer avec l'extension « .ggb ».

Inversion

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Le produit OM × OM’ est constant, car il est égal au carré de la tangente OA menée de O au cercle de centre P passant par M (et M’).

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Inverse d'une droite

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Remarque : cet inverseur fut utilisé pour transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire.
Voir aussi : figure interactive de ChronoMath
Télécharger la figure GeoGebra droite_Peaucellier.ggb

3. Image d'un cercle par une inversion

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Une inversion de pôle I et de puissance k (k > 0), a pour cercle d'inversion le cercle (Γ) passant par Q.

Un cercle (c) de centre O rencontre la droite (IO) en deux points A et B distincts de I.

Par l'inversion, un point M du cercle (c) a pour image un point M’ et les points A et B ont pour images A’ et B’ situés sur la droite (OI).

Étudions l'angle A’M’B’.

Pour cela, soit N le deuxième point d'intersection de la droite (IM) avec le cercle (c).

La puissance de I par rapport au cercle (c) est IB × IA = IM × IN,
d'où IB/IM = IN/IA.

Par l'inversion IB × IB’ = IM × IM’ = k, d'où IB/IM = IM’/IAB’.

On a donc IN/IA = IM’/IAB’ et NA // M’B’.

On montre de même manière que NB // M’A’.

L'angle A’M’B’ a ses côtés parallèles a ceux de l'angle droit ANB, il est donc droit et le point M’ est sur le cercle diamètre [A’B’].

Par une inversion, l'image d'un cercle, ne passant par le pôle I, est un cercle.

Avec GeoGebra en déplaçant le point A de façon à le faire tendre vers I, on vérifie que l'image de (c) tend vers une droite perpendiculaire en B’ à (OI).

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4. Inversions échangeant deux cercles sécants

Si (c), (c’) sont deux cercles de centre O et O’ se coupant en A et B ; Δ leur axe radical est la droite (AB) ; les points I et J leurs centres d'homothétie.

Les centres I et J et les tangentes communes [IT) et [IT’) sont construits avec la méthode des homothéties transformant deux cercles.
Les tracés de construction ont été cachés.

Ces tangentes communes rencontrent (c) en T et T’. La droite (TT’) est la polaire de I par rapport à (c).
Ces tangentes rencontrent (c’) en T₁ et T₁’. La droite (T₁T₁’) est la polaire de I par rapport à (c’).
L'axe radical Δ est équidistant de ces deux polaires.

Le cercle de diamètre [IJ] est dans le faisceau de cercles (c, c’), les deux inversions l'échangent avec Δ.

L'inversion positive a pour cercle d'inversion le cercle (Γ) de centre I passant par A et B, aussi dans le faisceau de cercles (c, c’).
Un point M de (c) a pour image M’, intersection bien choisie de (IM) et de (c’).

Un point P de Δ a pour inverse P’ sur le cercle de diamètre [IJ].

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Après les tracés réalisés pour une inversion positive de pôle I, on peut réaliser ceux pour l'inversion de puissance négative de pôle J.

5. Inversions échangeant deux cercles extérieurs l'un à l'autre

Dans ce cas particulier où les cercles sont extérieurs, ils admettent deux tangentes communes (TT’) et (T₁T’₁), les milieux U de [TT’] et U₁ de
[T₁T’₁] appartiennent à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical Δ.

Soit les points C et D des cercles (c) et (c’) situés sur la ligne des centres (OO’), à l'extérieur du segment [OO’]. La puissance IC × ID est égale à la puissance de I par rapport au cercle de diamètre [CD]. Cette puissance est égale au carré de la tangente IG. Le point G permet de construire le cercle d'inversion.

Le cercle de diamètre [IJ] est dans le faisceau de cercles (c, c’), les deux inversions l'échangent avec Δ.

Le cercle d'inversion (Γ), de centre I, est aussi dans ce faisceau.

Tangentes en deux points antihomologues

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Un point M de (c) a pour image M’, intersection bien choisie de (IM) et de (c’).

Les tangentes en M au cercle (c), et au point M’, inverse de M, au cercle (c’) sont symétriques par rapport à la médiatrice de [MM’].

Cette médiatrice coupe les rayons (OM) et (O’M’) au point ω. ω est le centre d'un cercle (Ω) tangent aux cercles (c) et (c’) aux points inverses M et M’. Ce cercle (Ω) est invariant par l'inversion.

Télécharger la figure GeoGebra inversion_cercle_tangente.ggb

Deux couples de points antihomologues

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Soit N et N’ un autre couple de points inverses tel que N ne soit pas sur (IM).

Les quatre points M, M’, N et N’ sont sur un même cercle (γ). (γ) est globalement invariant par l'inversion.

Les droites (MN) et (M’N’) sont concourantes en un point P situé sur l'axe radical Δ. P est le centre radical des cercles (c), (c’) et (γ).

Réciproquement, n'importe quel cercle (γ) passant par M et M’ recoupe (c) et (c’) en deux points N et N’ inverses l'un de l'autre.

Les droites joignant un point P de l'axe radical aux points M et M’ recoupe (c) et (c’) en deux points N et N’ inverses l'un de l'autre.

Télécharger la figure GeoGebra inversion_cercle_2_points.ggb

6. Inversion échangeant le cercle circonscrit et le cercle d'Euler

Dans le cas de cercles dont l'un est intérieur à l'autre, nous contenterons de l'étude de l'inversion de puissance négative échangeant le cercle circonscrit et le cercle d'Euler.

Pour construire les polaires par rapport au pôle d'inversion H, tracer la droite (d) perpendiculaire en H à la droite d'Euler.

La droite (d) coupe le cercle circonscrit (c) en T₁ et T₂. Les tangentes en T₁ et T₂ se coupent en F₂. La polaire de H par rapport à (c) est la perpendiculaire D₂ à la droite d'Euler en F₂.
La droite (d) coupe le cercle d'Euler (c’) en T₃ et T₄. Les tangentes en T₃ et T₄ se coupent en F₁. La polaire de H par rapport à (c’) est la perpendiculaire D₁ à la droite d'Euler en F₁.

Les quatre tangentes forment un parallélogramme F₁FF₂F’. Les points F et F’ sont situés sur l'axe radical.

L'axe radical Δ est équidistant de ces deux polaires D₁ et D₂.

Soit I le deuxième pôle des inversions échangeant les deux cercles, le cercle de diamètre [IH] est dans le faisceau de cercles (c, c’), les deux inversions l'échangent avec Δ.

Cercle et droite inverses l'un de l'autre

(qui rencontrent le cercle d'inversion)

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Par une inversion, l'image d'une droite ne passant par le pôle est un cercle, passant par le pôle, privé du pôle.

Inverse d'un point

On peut utiliser cette figure pour tracer l'inverse d'un point M.

Tracer une droite (d) passant par M coupant le cercle d'inversion en A et B. Le cercle (c) circonscrit à A, B et I, privé de I, est l'inverse de (d). La droite (IM) recoupe (c) en M’, qui est l'inverse cherché.

Télécharger la figure GeoGebra inv_droite_cercle.ggb

Inverse d'une droite qui ne rencontre pas le cercle d'inversion

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Technique : trouver les inverses de deux points A et B de la droite
(d) à l'aide d'un cercle intermédiaire (c₁) ayant pour inverse une droite (d₁).

Placer deux points A et B sur la droite (d) extérieure au cercle d'inversion (Γ). Le cercle (c₁) circonscrit à IAB, coupe (Γ) en E et F.
La droite (d₁) = (EF) est l'inverse de (c₁).

La droite (IA) coupe (d₁) en A’ inverse de A. De même, on trouve B’.

Le cercle (c) circonscrit à IA’B’ est l'inverse de (d) cherché.

Télécharger la figure GeoGebra inversion_droite.ggb

Cercle qui contient un point et son inverse

Un cercle (c) contient un point A et son inverse A’.
Soit M point du cercle (c) et son inverse M’.
Les quatre points (A, A’, M, M’) sont cocycliques, donc le point M’ appartient au cercle.
Le cercle (c) est globalement invariant par l'inversion.

Exercice

 Construire avec une inversion, les cercles tangents à un cercle passant par deux points (problème de contact PPC).

GéoPlan
Paraboles en S

GéoPlan
Triangle orthique

GéoPlan
Lieux géométriques

GéoPlan
Le barycentre

La géométrie dynamique
avec GeoGebra

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Sommaire

1. définition de l'inversion
2. « Machine à inversion » : inverseur de Peaucellier
3. Image d'un cercle par une inversion
4. Inversions échangeant deux cercles sécants
5. Inversions échangeant deux cercles extérieurs l'un à l'autre
6. Inversion échangeant le cercle circonscrit et le cercle d'Euler
7. Constructions à la règle et au compas

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