Géométrie plane en Terminale S avec GéoPlan

Géométrie plane en terminale S : deux exercices et le calcul approché d'intégrales avec GéoPlan.

Sommaire

1. Famille de cercles
2. Recherche d'un lieu géométrique

Page n^o 107, réalisée le 23/3/2007

Intégration

Intégrale de f entre a et b par la méthode des rectangles

f(x) =
f(x) = x²
f(x) =

Méthode des trapèzes

TS
Similitude

TS
Épreuve pratique

Épreuve pratique
dans l'espace
2009

GéoSpace TS
Produit scalaire

TS
Géométrie dans l'espace

TS
Le barycentre
au bac

1. Famille de cercles

Famille de cercles ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 030

Dans le plan on considère un triangle BOA rectangle en O et une droite (d) passant par O.
On note A’ et B’ les projetés orthogonaux respectifs de A et de B sur (d).
Enfin, dans le triangle OAB, H est le pied de la hauteur issue de O.

(a) Faire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie.
(b) Quelle conjecture peut-on faire concernant les différents cercles (c) lorsque la droite (d) tourne autour de O ?

On considère la similitude directe S de centre H qui transforme A en O.

Quel est l'angle de cette similitude ? Justifier que l'image de O par S est B.
Déterminer les images par S des droites (AA’) et (d), puis celle du point A’.
Démontrer la conjecture faite au (b).

Conjectures

Les cercles (c) passent par le point H pied de la hauteur issue de O du triangle BOA.

Dans le cercle de diamètre [OA], les angles inscrits OAH et OA’H sont égaux, de même dans le cercle de diamètre [OB], les angles inscrits OBH et OB’H sont égaux. Les triangles BOA et B’HA’ sont semblables, donc B’HA’ est un triangle rectangle en H inscrit dans le cercle de diamètre [A’B’] : (c) contient le point H.

Si J, K et L sont les milieux des côtés [AB], [OB] et [OA] les centres I des cercles (c) appartiennent au cercle de diamètre la médiane [OJ] (cercle passant par K et L).

En effet, dans le cercle (c) l'angle au centre A’IH est la moitié de l'angle inscrit A’B’H. De même, dans le cercle de diamètre [AB], l'angle au centre OJA est la moitié de l'angle inscrit OBA.
Comme dit ci-dessus les angles inscrits A’B’H = OBA sont égaux, donc les angles doubles OIH et OJH sont égaux. Les points I, J, O et H sont cocycliques. Le point I est sur le cercle diamètre [OJ].

Télécharger la figure GéoPlan famille_cercle.g2w
Voir aussi un curieux point de concours sur la hauteur OH : produit scalaire

Compétences évaluées
Compétences TICE
– Utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique pour conjecturer une propriété.
Compétences mathématiques
– Triangles semblables ;
– Propriété de conservation d'une similitude (image d'une droite par une similitude) ;
– Triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle.

2. Recherche d'un lieu géométrique

Recherche d'un lieu géométrique ÉduSCOL - Terminale S - 2007 - Sujet 002

Dans le plan (P), on donne quatre points O, A, B et C et un cercle (Γ) de centre O.
Le point M est un point quelconque variable sur le cercle (Γ).

On lui associe l'unique point M’ du plan (P) défini par l'égalité : = α + β + γ où α, β, γ sont des réels donnés.

1. Il s'agit de déterminer, dans un cas particulier, le lieu géométrique (L) du point M’ lorsque le point M décrit le cercle (Γ).

À l'aide d'un logiciel de géométrie plane construire les points O, A, B et C, le cercle (Γ) et un point libre M sur ce cercle.
Construire le point M’ associé à M.
En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature de la transformation du plan qui transforme M en M’ ainsi que la nature du lieu géométrique du point M’.

2. (a) Déterminer par le calcul la nature de la transformation du plan qui transforme le point M en le point M’.
(b) Déterminer le lieu géométrique (L) du point M’.

Production demandée

La figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique.
Le calcul permettant d'obtenir la nature de la transformation.
La caractérisation du lieu géométrique de M’ et sa justification.

Compétences évaluées
Compétences TICE
– Réaliser des constructions avec un logiciel de géométrie dynamique ;
– Tester les conjectures émises.
Compétences mathématiques
– Utiliser la notion de barycentre et ses propriétés ;
– Utiliser les transformations géométriques usuelles.

Télécharger la figure GéoPlan lieu_barycentre.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Intégration

Intégrale de f entre a et b par la méthode des rectangles

f(x) =

Avec le menu : créer>numérique>fonction numérique>une variable, modifier la fonction f.

f(x) = 1/(1+x²)

Télécharger la figure GéoPlan tsaire_min.g2w

f(x) = 1/(1+x²)

Télécharger la figure GéoPlan tsaire_max.g2w

Calcul d'une valeur approchée d'intégrale avec GéoPlan

On décompose le segment [a, b] en n segment de même longueur h = (b−a)/n et on note u₀ = a, u₁, u₂, u₃…, u_n = b. La suite des extrémités de ces intervalles.

Pour une valeur x₀ égale à un des u_i on trace deux extrémités A(x₀, 0) et A’(x₀+h, 0) sur l'axe (Ox),
Les points M(x₀, f’(x₀)) et M’(x₀+h, f’(x₀)) permettent de tracer le rectangle AA’M’M nommé R.
Les points N(x₀, f’(x₀+h)) et N’(x₀+h, f’(x₀+h)) permettent de tracer le rectangle AA’N’N nommé R’.

Technique GéoPlan

Après le tracé du premier rectangle de côté A(a, 0)A’(a+h, 0), on répète, avec la commande S, n−1 fois le tracé des rectangles en activant le mode Trace.
La commande Cm2 itére le calcul de I, avec l'astuce que le calcul se fait avant l'affectation de x₀+h à x₀, la hauteur du rectangle R est donc
f’(x₀+h) et celle du rectangle R’ est f’(x₀+ 2h).

Commandes GéoPlan

Éventuellement, changer a, b, n en les pilotant au clavier :
taper A pour modifier a au clavier,
taper B pour modifier b,
taper N pour modifier n.

Couplage Touches / Commandes :

Touche I : INITIALISATION : cette touche couple 2 commandes :
Cm0 : Sortie du mode Trace
Cm1 : Initialisation de x0, I à a, 0

Touche T : ITERATION Cm2 : x0 devient x0+h et I devient I+h*f(x0+h)

Touche S : START : cette touche couple 4 commandes : l'initialisation et :
Cm3 : on garde la trace du rectangle R
Cm4 : on répète la commande Cm2 n−1 fois

Terminer le mode trace à la fin du tracé avec la commande F pour retrouver les commandes GéoPlan.

Encadrement

Comme en mode trace, un rectangle AA’N’N efface le rectangle AA’M’M précédent, il faut deux programmes distincts pour les fonctions croissantes sur [a, b] et pour les décroissantes où les rôles de R et R’ sont échangés.

Fonction croissante : f(x) = x² sur R⁺

f(x)=x²

Télécharger la figure GéoPlan tscarreaire.g2w

Fonction décroissante : f(x) =

f(x)=1/x

Télécharger la figure GéoPlan tsinveaire.g2w

Méthode des trapèzes

Une valeur approchée de l'intégrale se trouve en faisant la somme des aires des trapèzes AA’M’M de sommets, pour une valeur x₀, les points A(x₀, 0) et A’(x₀+h, 0) sur l'axe (Ox) et les points M(x₀, f’(x₀)) et M’(x₀+h, f’(x₀+h)).