Mathématique avec GéoSpace en TS.
Sujets retenus31. Lieu géométrique de points dans l'espace |
Sujets non retenus32. Étude d'une figure de l'espace Page no 146, créée le 25/6/2009 | ||||
Épreuve pratique |
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31. Lieu géométrique de points dans l'espaceSituation Énoncé Dans l'espace muni d'un repère orthonormal R, on considère le cube ABCDEFGH reproduit ci-contre. 1. (a) À l'aide d'un logiciel de géométrie dans l'espace, construire le cube ABCDEFGH ainsi que les points I et J. 2. (a) Démontrer que les points M, F, I et C sont coplanaires. Télécharger la figure GéoSpace cube.g3w Production demandée
Indications D'après la fonction vectorielle de Leibniz pour tout point O on a : 2. (a) I est le milieu de [EG] donc + = 2 Soit M le barycentre des points pondérés (I ; 2m), (F ; 2m),
(C ; 4 - 4m). (b) J le milieu du segment [IF], d'où 2 + 2 = 4 ; Par associativité, le point M est le barycentre du système de deux points pondérés En plaçant O en C on a : = m . Remarque : (c) Le point M décrit le segment [CJ]. = m , lorsque m parcourt [0, 1] tous les points du segment sont atteints. Commande GéoPlan : déplacer le curseur N pour modifier m et déplacer le point M. Télécharger la figure GéoSpace cube_lieu.g3w Remarques : Dans ce problème, la géométrie dynamique se borne à taper la liste Il aurait été bien plus intéressant d'en faire un problème d'incidence en plaçant le barycentre partiel K de (F ; 2m), (C ; 4 - 4m), puis en définissant M comme point d'intersection des droites (CJ) et (KI). Enfin de faire retrouver les coordonnées barycentriques de M dans le cube en considérant ces deux droites dans le triangle FIC, pour terminer par les questions 2.(b) et 2.( c). Télécharger la figure GéoSpace cube_lieu2.g3w Compétences évaluées
Compétences mathématiques
75. Volume d'un tétraèdreSituation Énoncé 1. À l'aide d'un logiciel, représenter un cube ABCDEFGH. 2. Pour quelle position du point K le volume du tétraèdre BDGK semble-t-il être égal à la moitié de celui du cube ? 3. En supposant que K occupe la position trouvée à la question 2., conjecturer la nature des triangles KGB et KDG à l'aide du logiciel. 4. Démontrer que lorsque le point K occupe la position trouvée à la question 2., le volume du tétraèdre BDGK est bien la moitié du volume du cube. Production demandée
Indications Le volume du tétraèdre BDGK semble être égal à la moitié de celui du cube lorsque le point est K situé a une distance de A égale au double du côté du carré. Les triangles KGB et KDG sont alors rectangles. Avec GéoSpace il n'est pas possible d'afficher directement des volumes ou des angles. Déplacer le point K, visualiser y et émettre la conjecture. Il est possible de tracer la droite passant par K perpendiculaire au plan (BDG). Technique GéoSpace Avec les menus de GéoSpace, on ne peut pas calculer la longueur d'un segment, mais taper directement dans le texte de la figure : x = AK z = KL Dans un repère (O, i’, j’) afficher les points S(x, y) et T(x, z). |
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(4) En visualisant le graphique ci-dessus, on réalise que le volume est une fonction linéaire de x, donc un problème du premier degré résoluble en seconde. Le volume du tétraèdre est donné par la formule V = SBDG × KL. Pour le calcul de la hauteur KL, placer le plan AEG de face (touche F avec GéoSpace). JEG est un triangle rectangle de petits côtés JE = 2c et EG = a = c , l'hypoténuse est JG = c . Dans le triangle rectangle semblable JKL, on a : KL = JK sin(EJG) = JK . D'où V = SBDG × KL = c2 × (x + c) = c2 × (x + c). Le volume V est c3 si x = 2c. Pour l'épreuve pratique, après le calcul de SBDG, il n'était demandé que de vérifier, lorsque x = 2c, que KL = c , d'où V = c2 × c = c3. Télécharger la figure GéoSpace volume_tetra2.g3w Remarque perfide : bel exercice qui justifie la géométrie dynamique, mais gâché par une dernière question sans ampleur. Compétences évaluées
Compétences mathématiques
Technique GéoSpace : une seule figure avec deux zonesDans l'exemple ci-dessus, nous préférons utiliser une seule figure avec deux zones : une pour visualiser une situation géométrique, l'autre pour tracer une fonction dans un repère (O, i’, j’). Sommaire |
32. Étude d'une figure de l'espaceSituation Compétences évaluées
Compétences mathématiques 33. Section plane d'un tétraèdre et optimisation d'une distanceSituation Énoncé Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal (O ; , , ), on définit les points A(l, 0, 0), B(0, 1, 0) et C(0, 0, 1) et le point I milieu du segment [AB]. Partie expérimentale. 1. (a) À l'aide d'un logiciel de géométrie dans l'espace, représenter le tétraèdre OABC et le point I. 2. Étudier à l'aide du logiciel, les variations de la longueur MN et conjecturer la position du point M, sur le segment [AC], telle que cette longueur soit minimale. Quelle est, d'après le logiciel, cette longueur minimale ? Démonstration On définit le réel t = AC et on admet que les coordonnées des points M et N sont respectivement M(1−t, 0, t) et N(0, t, 0) (cf. l'équation paramétrique de AC). 1. Calculer la longueur MN en fonction de t. Autre exerciceDans l'espace, on donne un tétraèdre OABC et le milieu I de [AB]. Soit M un point quelconque du segment [AC]. Le plan passant par I et orthogonal à la droite (IM) coupe la droite (OB) en N. On cherche à minimiser la distance MN. |
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Télécharger la figure GéoSpace tetraedre_fct.g3w |
Technique GéoSpace : communication entre deux figures - importation active Avec les menus de GéoSpace, on ne peut pas calculer la longueur d'un segment, mais taper directement dans le texte de la figure : y = MN La figure de gauche, section_tetraedre, importe(Menu >Piloter>Importer) la valeur de x, de la figure de droite. x doit être défini comme réel non borné dans cette figure, bien qu'il soit borné entre 0 et 1 dans tetraedre_fct (pour permettre d'afficher la courbe comme lieu de points). Dans tetraedre_fct le tétraèdre et sa section sont dupliqués, en mode non dessiné, pour réaliser le calcul de y. Rotations de Rxyz: verticale: 90 horizontale: 0 frontale: 0 Compétences évaluées Compétences mathématiques Sommaire 88. Lieu géométrique d'un barycentre dans l'espaceSituation Compétences évaluées
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130. Section plane d'un tétraèdreSituation Voir : l'espace Compétences évaluées |
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