Translation

Sommaire

1. Translation
2. Point de concours - Translation et orthocentre
3. Translation et alignement

Page n^o 168, créée le 20/2/2011

Avec GéoPlan
au collège

Rotation

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan en 5^e
Construction de triangles

Cabri-Géomètre
T. P. en sixième

1. Translation

Définition : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme.

Les segments [AM’] et [BM] ont même milieu.

Si M est sur la droite (AB), ABM’M est un parallélogramme aplati.

Construire l'image d'un segment par une translation

Application : construire l'image d'un segment [MN] par la translation qui transforme A en B.

On construit les points M’ et N’ tels que ABM’M et ABN’N soient deux parallélogrammes.
Pour cela, tracer les milieux I de [BM] et J de [BN].
M’ et N’ sont les symétriques de A par rapport à I et J.

Construire l'image d'une droite par une translation

Placer deux points M et N sur une droite (d). Construire les points M’ et N’ images des points M et N par la translation qui transforme A en B.

La droite (M’N’) est l'image de (d) par la translation.

Ces deux droites sont parallèles.

Indication

I et J sont les centres des parallélogrammes ABM’M et ABN’N.

(IJ), droite des milieux de AM’N’, est parallèle à (M’N’).
(IJ), droite des milieux de BMN, est parallèle à (MN).

Les droites (MN) et (M’N’) parallèles à (IJ) sont parallèles entre elles.

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2. Point de concours - Translation et orthocentre

ABCD est un carré, M est un point situé à l'extérieur du carré dans la partie du plan limitée par le segment [BC] et les demi-droites [BE) et [CF).
N est la projection orthogonale de M sur [BC], J est la projection de D sur (MB) et K de A sur (MC).
En utilisant la translation de vecteur , Montrer que les droites (MN), (DJ) et (AK) sont concourantes.

Solution

Par la translation de vecteur :
la droite (MN) parallèle (AB) est globalement invariante,
D a pour image C ; la droite (DJ) perpendiculaire à (MB) a pour image la droite perpendiculaire à (MB) passant par C, soit la hauteur (CP) du triangle MBC,
la droite (AK) perpendiculaire à (MC) a pour image la droite perpendiculaire à (MC) passant par B, soit la hauteur (BQ) de MBC.

Par la translation réciproque de vecteur , les trois hauteurs du triangle MBC, ont pour images les droites (MN), (DJ) et (AK). Les trois hauteurs sont concourantes en H orthocentre de MBC, les droites (MN), (DJ) et (AK) sont concourantes au point I image de H par la translation. Le point I est tel que = .

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3. Translation, orthocentre et alignement

ABCD est un rectangle. M un point du plan.

C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM),
D’ est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M’ est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Les, droites (CC’) et (DD’) se coupent en I.

Montrer que les points M, M’ et I sont alignés.

Indications

Dans la translation de vecteur :
- la droite (MM’) est globalement invariante,
- (CC’) a pour image la hauteur (BB’), issue de B, du triangle MAB,
- (DD’) a pour image la hauteur (AA’), issue de A, du triangle MAB.
Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB.

L'image réciproque de H est I, point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’).
Les points M, M’, H et I sont alignés.

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