Les vecteurs

Sommaire

1. Prototype GéoPlan

2. Addition de vecteurs

3. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

4. Combinaison linéaire de deux vecteurs

Page n^o 79, réalisée le 6/3/2005

Faire de la géométrie dynamique

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Construction de réels

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Construction du pentagone régulier

GéoPlan
Les problèmes du BOA

La géométrie dynamique en seconde

Définition

Définir le vecteur à partir du parallélogramme : = si ABCD est un parallélogramme.
Au lycée, on ne parle plus de classe d'équivalence de bipoints.

1. Prototype (technique GéoPlan pour le professeur)

Un prototype est une macro, fonction au sens informatique du terme, qui une fois défini permet, comme tout article du menu « Créer », de construire un objet à partir d'autres objets.

Vecteur sur bipoint (A,B)

D'après didacticiel GéoPlan : François Boerkmann

GéoPlan n'a pas prévu le tracé de vecteur, mais on peut, par exemple, définir le prototype « vecteur sur bipoint (A,B) » qui, à partir d'un bipoint (A, B), fabriquera la flèche représentant un vecteur.

Pour cela, à partir de deux points A et B, avec des similitudes créer deux points B₁ et B₂, extrémités de la flèche, et - astuce GéoPlan pour obtenir un seul objet - créer un polygone ABB₁BB₂B.

Avec l'option calcul algébrique, on crée une variable numérique tail = 0.2 qui correspond à la taille de la pointe de la flèche.

Ici 0,2 unité (modifiable en fonction de l'échelle de la figure).

Avec une similitude, il faut ensuite construire un des points B₁ de la pointe de la flèche.

> Créer
> Point
> Point image par
> Similitude (centre - angle en degré - rapport)

Avec une symétrie axiale, on construit ensuite l'autre point B₂ de la pointe de la flèche.

Avec le menu aspect des objets, effacer (non dessiné) les noms B₁ et B₂.

Le polygone ABB₁BB₂B nommé vect correspond au dessin de la flèche du vecteur.

Télécharger la figure GéoPlan def_vecteur.g2w

Valider dans le menu : divers > créer un prototype qui servira pour faire le vecteur AB, mais aussi d'autres vecteurs.

On donne le titre du prototype :
vecteur sur bipoint (A,B)

L'objet polygone est créé à partir de deux points A et B et a été appelé vect.

Dans la phrase modèle, il faut reprendre le nom vect de l'objet résultant suivi des objets antécédents.

Phrase modèle : vect vecteur sur bipoint (A,B)

La figure GéoPlan vecteur.g2w contient le prototype créé par le logiciel. L'enregistrer sous (un nouveau nom) pour pouvoir dessiner des vecteurs ou coller le texte de la macro au début d'une figure existante (les noms des points antécédents et du polygone résultant ont été modifiés pour rendre le prototype plus lisible) :

Début de [vecteur sur bipoint (A,B)]
A point donné
B point donné
tail = 0.2
B1 image de A dans la similitude (centre B angle 25 (degré) rapport tail/AB (unité de longueur Uoxy))
B2 image de B1 par la symétrie d'axe (AB)
vect polygone ABB1BB2B
Description de l'interface
vect vecteur sur bipoint (A,B)
Origine (point):
Extrémité (point):
Nom de la flèche:
Fin de [vecteur sur bipoint (A,B)]

Dans le menu « Créer », on trouve alors :
> objet selon un prototype
> vecteur sur bipoint (A,B)

GéoPlan va créer la flèche avec l'instruction :

veCD vecteur sur bipoint (C,D)

Voir d'autres prototypes : marquer un angle ou marquer un angle droit
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2. Addition de vecteurs

Méthode du parallélogramme OPSQ :

= + = + =

Avec GéoPlan, déplacer les points A, B, C, D ou O.

Technique GéoPlan

Pour afficher les noms des vecteurs nommer u₁, v₁ et s₁ les milieux des segments [AB], [CD] et [OS], éditer le texte de la figure puis à la fin, avant le commentaire écrire :

A la place de u1, afficher: \vec(A,B)\
A la place de v1, afficher: \vec(C,D)\
A la place de s1, afficher: \vec(s)\

Télécharger la figure GéoPlan som_vect.g2w
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3. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

= k

Avec GéoPlan, déplacer les points A, B ou C ;

modifier k avec les flèches du clavier, touches + ou - pour modifier le pas de pilotage.

Technique GéoPlan

Pour afficher les noms des vecteurs et k , nommer u₁ et v₁ les milieux des segments [AB] et [CD] puis à la fin du texte de la figure écrire :

A la place de u1, afficher: \vec(A,B)\
A la place de v1, afficher: \val(k,2)\ \vec(A,B)\

Télécharger la figure GéoPlan mul_vect_reel.g2w
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4. Combinaison linéaire de deux vecteurs

Technique du parallélogramme APSQ :

= b + c = + =

Remarque pour la 1S : si b + c ≠ 0, le point G, intersection des droites (AS) et (BC), est le barycentre de (B, b) et (C, c) ;
= (b + c ) =

Avec GéoPlan, déplacer les points A, B ou C ;
modifier b ou c avec les flèches du clavier,
taper B pour modifier b,
taper C pour modifier c.

Télécharger la figure GéoPlan combin_vect.g2w

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1. Prototype GéoPlan

2. Addition de vecteurs

3. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

4. Combinaison linéaire de deux vecteurs

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

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