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La droite réelle avec GéoPlan

Construire géométriquement les nombres rationnels et les racines de naturels sur la droite des réels.

Sommaire

1. a. Nombre rationnel a/b
    b. Opérations : somme - produit - quotient

Racine d'un naturel

2. Naturel égal à une somme de carrés
3. Naturel égal à une différence de carrés
4. Construction de Descartes

5. L'escargot de Pythagore
6. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuse racine(8)
7. Moyenne géométrique : puissance d'un point par rapport à un cercle

Page no 75, réalisée le 15/9/2004, mise à jour le 11/11/2008

Faire de la géométrie dynamique

Faire de la géométrie en seconde

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

Construction du pentagone régulier

Aire en
seconde

La géométrie dynamique en seconde

Construction de réels

 Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et les racines de naturels.

 1. a. Nombre rationnel a/b

Soit a un relatif et b un naturel non nul.
Sur une droite munie d'un repère (O, I), placer un point d'abscisse a/b.
Si a/b n'est pas un décimal, réaliser la construction géométrique suivante :

Placer un point J à l'extérieur de la droite (OI) ;
Sur la droite (OJ), muni du repère (O, J) placer les points A et B d'abscisses a et b.

La parallèle à (BI) passant par A coupe (OI) en C.

Comme les droites (AC) et (BI) sont parallèles, les triangles OCB et OIA sont semblables et on a l'égalité des rapports : OC/OI=OA/OB. D'où OC = abs(a)/b.
Suivant le signe de a, on en déduit que C a pour abscisse a/b.

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Nombre rationnel a/b

Rationnel compris entre 0 et 1

Rationnel plus grand que 1

Rationnel plus grand que 1

Rationnel négatif

Rationnel négatif

  Sommaire
  Faire de la géométrie dynamique

 b. Opérations : somme - produit - quotient

Construction à la « règle et au compas » de la somme, du produit et du quotient de deux nombres.
Les résultats de ces opérations sont des nombres constructibles.

APMEP D'après une introduction géométrique du nombre i - Xavier Gauchard - Plot no 18

g2w zip Figures interactives pilotées avec les touches W ou X : fichiers_geoplan.zip

Somme

SommmeSur la droite (OI), muni du repère (O, I) placer les points A et B d'abscisses a et b.

Placer un point C à l'extérieur de la droite (OI).

Le point D complétant le parallélogramme COBD permet de construire le vecteur vect(CD) = vect(OB).

Le point S complétant le parallélogramme ACDS est l'image de A par la translation de vecteur vect(CD).

L'abscisse s de S est égale à a + b.

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Construction de rectangles semblables

a et b sont deux nombres réels strictement positifs.

Produit

Produit et rectangles semblables

Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OICB’ de longueur b et de largeur 1, son aire est b unités d'aire.

La diagonale (OC) rencontre la droite d'équation y = a en L.
A et L sont les images de I et C, par l'homothétie de centre O et de rapport a.
Le rectangle OALP, image de OICB’ par l'homothétie, est d'aire égale à b multiplié par a2, le carré du rapport d'homothétie, soit a a2b. Sa largeur est a, sa longueur est ab.

Xavier Gauchard donne une démonstration par découpage d'aire.

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Quotient

Quotient et rectangles semblables

Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OBLJ de longueur b et de largeur 1, son aire est b unités d'aire.

La diagonale (OL) rencontre la droite d'équation y = a en L.

A et C sont les images de B et A, par l'homothétie de centre O et de rapporta/b.

Le rectangle OACQ’ a une aire de b(a/b)2 = a^2/b.
Sa longueur est a, sa largeur est donc a/b.

 

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 Triangles semblables

Produit

La figure ci-dessus est un cas particulier de la figure suivante :

Produit et Triangles semblables

Dans un repère (O, I, J), placer les points A et B d'abscisses a et b.

La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’,
la parallèle à (AJ) passant par B’ coupe (OI) en P.

Le point P a pour abscisse p = ab.

Se démontre avec Thalès ou avec l'homothétie de centre O de rapport b.

L'homothétie qui transforme I en B, transforme J en B’, la droite (JA) en (B’P) donc A en P.
De la relation vectorielle de l'homothétie vect(OP) = b vect(OA), on vérifie que OP = |b| OA = |ba|.

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Quotient

Quotient et Triangles semblables

b ≠ 0

La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’,
la parallèle à (B’A) passant par J coupe (OI) en Q.

Le point P a pour abscisse q = a/b.

Thalès ou l'homothétie de centre O, de rapport 1/b qui transforme B en I, B’ en J et A en Q.

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Racine d'un naturel

2. Naturel égal à une somme de carrés

Naturel égal à une somme de carrésUtilisation de la propriété de Pythagore : construction de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 + b2.

Dans un repère (O, I, J) (orthonormé) placer les points A(a, 0) et B(a, b).
Le triangle OAB est rectangle en A et l'hypoténuse OB = c.

Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse rac(c).

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3. Naturel égal à une différence de carrés

Naturel égal à une différence de carrésUtilisation de la propriété de Pythagore : construction d'un des petits côtés d'un triangle rectangle.

Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 - b2.

Soit A le point abscisse a sur la droite munie du repère (O, I). Soit B un des points d'intersection du cercle de diamètre [OA] et du cercle de centre A et de rayon b.
Le triangle OAB est rectangle en B et le côté OB = c.

Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse rac(c).

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Faire de la géométrie dynamique

4. Construction d'Euclide reprise par Descartes

Construction d'Euclide reprise par DescartesMoyenne géométrique

Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse.

Dans un repère orthonormé placer sur l'axe des ordonnées les points J et A de part et d'autre de O tels que OJ = 1 et OA = a.
Le cercle de diamètre [AJ] coupe la demi-droite [OI) en B.

Le point B a pour abscisse rac(a).

La démonstration se fait dès la classe de troisième en remarquant que le triangle ABJ, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B. Les tangentes des angles  et B des triangles rectangles semblables OAB et OBJ sont égales.

tan  = OB/OA ; tan B = OJ/OB, d'où l'égalité des rapports OB/OA = OJ/OB.

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
OB2 = OA × OJ = OA × 1 = OA = a.
OB est la moyenne géométrique de OA et OJ : OB = rac(OA) = rac(a).

Remarque : comme dans la construction de Wallis, on retrouve la puissance du point O par rapport au cercle : - OA × OJ = − OB2

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Faire de la géométrie dynamique


5. L'escargot de Pythagore

ou spirale de Théodore de Cyrène, géomètre grec, précepteur de Platon, de 465 à 398 av. J.-C.

Construction d'une spirale dont les longueurs des rayons forment la suite des racines des naturels.

Itérer la propriété de Pythagore :
on construit un triangle rectangle isocèle de petit côté égal à l'unité, puis une suite de triangles rectangles tels qu'un côté de l'angle droit est l'hypoténuse du précédant, l'autre petit côté étant de longueur égale à l'unité.
Le sixième triangle rectangle a une hypoténuse de longueur racine(7).

Autres spirales : voir rectangle d'or
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6. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuse racine(8)

triangle rectangle d'hypoténuse rac(8)

Construction d'un triangle rectangle ABC de petit côté l'unité et d'hypoténuse racine(8) :
OI étant l'unité, construire le triangle rectangle isocèle OAB de petits côtés 2 unités.
C est un des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] et du cercle unité de centre A.

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Construction du triangle OAB

Construction à la « règle et au compas » du triangle OAB
(voir : perpendiculaire élevée d'un point à une droite).

Construction de racine de sept

Réciproque : construire un triangle rectangle ABC avec une longueur OI arbitraire, placer le point D en reportant la longueur égale à racine(7) sur la demi-droite [BC). La perpendiculaire élevée en D à (BC) coupe (AB) en E.

La longueur DE est l'unité cherchée.

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7. Moyenne géométrique : construction de Wallis - Puissance d'un point par rapport à un cercle

Moyenne géométrique : construction de WallisNotion disparue de l'enseignement français au lycée.

Construction de la moyenne géométrique en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Sur une droite, munie du repère (O, I) placer le point A d'abscisse a = 7 et tracer un cercle (c) passant par I et A (le centre J est sur la médiatrice de [IA]).

Tracer une tangente à (c) issue de O : le point de contact T est un des points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [OJ].

La puissance d'un point O par rapport au cercle (c) est le produit OI × OA. Cette puissance est égale au carré de la longueur OT de la tangente au cercle issue de O :
OI × OA = OT2.

On a donc OI = 1 et OA = a = 7, d'où OT = rac(a) = racine(7).
Le cercle de centre O passant par T coupe la demi-droite [OI] au point B d'abscisse rac(a).

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Activité B2i

Domaine B2i

Item lycée validable

La droite en 2nde

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

 

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles).

 

Faire de la géométrie en seconde

Triangle
Points caractéristiques

Fractions égyptiennes

Démonstrations géométriques de Pythagore

GéoPlan en 3e
Théorème de Thalès

GéoSpace en seconde

Sommaire

1. Nombre rationnel a/b

Racine d'un naturel

2. Naturel égal à une somme de carrés
3. Naturel égal à une différence de carrés
4. Construction de Descartes
5. L'escargot de Pythagore
6. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuse racine(8)
7. Moyenne géométrique : puissance d'un point par rapport à un cercle

g2w Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

 

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