Construire géométriquement les nombres rationnels et les racines de naturels sur la droite des réels.
Sommaire1. a. Nombre rationnel a/b Racine d'un naturel2. Naturel égal à une somme de carrés |
5. L'escargot de Pythagore Page no 75, réalisée le 15/9/2004, mise à jour le 11/11/2008 | ||||
Faire de la géométrie dynamique |
Faire de la géométrie en seconde |
Construction du pentagone régulier |
Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et les racines de naturels.
Soit a un relatif et b un naturel non nul. Placer un point J à l'extérieur de la droite (OI) ; La parallèle à (BI) passant par A coupe (OI) en C. Comme les droites (AC) et (BI) sont parallèles, les triangles OCB et OIA sont semblables et on a l'égalité
des rapports : . D'où OC = . Télécharger la figure GéoPlan fraction.g2w |
Rationnel compris entre 0 et 1 |
Rationnel plus grand que 1 |
Rationnel négatif |
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
Construction à la « règle et au compas » de la somme, du produit et du quotient de deux nombres. D'après une introduction géométrique du nombre i - Xavier Gauchard - Plot no 18 Figures interactives pilotées avec les touches W ou X : fichiers_geoplan.zip SommeSur la droite (OI), muni du repère (O, I) placer les points A et B d'abscisses a et b. Placer un point C à l'extérieur de la droite (OI). Le point D complétant le parallélogramme COBD permet de construire le vecteur = . Le point S complétant le parallélogramme ACDS est l'image de A par la translation de vecteur . L'abscisse s de S est égale à a + b. Télécharger la figure GéoPlan somme.g2w Construction de rectangles semblablesa et b sont deux nombres réels strictement positifs. |
ProduitDans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OICB’ de longueur b et de largeur 1, son aire est b unités d'aire. La diagonale (OC) rencontre la droite d'équation y = a en L. Xavier Gauchard donne une démonstration par découpage d'aire. Télécharger la figure GéoPlan produit_1.g2w |
QuotientDans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OBLJ de longueur b et de largeur 1, son aire est b unités d'aire. La diagonale (OL) rencontre la droite d'équation y = a en L. A et C sont les images de B et A, par l'homothétie de centre O et de rapport. Le rectangle OACQ’ a une aire de b()2 = .
Télécharger la figure GéoPlan quotient_1.g2w |
ProduitLa figure ci-dessus est un cas particulier de la figure suivante : Dans un repère (O, I, J), placer les points A et B d'abscisses a et b. La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’, Le point P a pour abscisse p = ab. Se démontre avec Thalès ou avec l'homothétie de centre O de rapport b. L'homothétie qui transforme I en B, transforme J en B’, la droite (JA) en (B’P) donc A en P. Télécharger la figure GéoPlan produit_2.g2w |
Quotientb ≠ 0 La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’, Le point P a pour abscisse q = . Thalès ou l'homothétie de centre O, de rapport qui transforme B en I, B’ en J et A en Q. Télécharger la figure GéoPlan quotient_2.g2w |
2. Naturel égal à une somme de carrésUtilisation de la propriété de Pythagore : construction de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 + b2. Dans un repère (O, I, J) (orthonormé) placer les points A(a, 0) et B(a, b). Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse . Télécharger la figure GéoPlan racine_1.g2w 3. Naturel égal à une différence de carrésUtilisation de la propriété de Pythagore : construction d'un des petits côtés d'un triangle rectangle. Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 - b2. Soit A le point abscisse a sur la droite munie du repère (O, I). Soit B un des points d'intersection du cercle de diamètre [OA] et du cercle de centre A et de rayon b. Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse . Télécharger la figure GéoPlan racine_2.g2w 4. Construction d'Euclide reprise par DescartesMoyenne géométrique Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse. Dans un repère orthonormé placer sur l'axe des ordonnées les points J et A de part et d'autre de O tels que OJ = 1 et OA = a. Le point B a pour abscisse . La démonstration se fait dès la classe de troisième en remarquant que le triangle ABJ, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B. Les tangentes des angles  et B des triangles rectangles semblables OAB et OBJ sont égales. tan  = ; tan B = , d'où l'égalité des rapports = . Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : Remarque : comme dans la construction de Wallis, on retrouve la puissance du point O par rapport au cercle : - OA × OJ = − OB2 Télécharger la figure GéoPlan descartes.g2w |
5. L'escargot de Pythagoreou spirale de Théodore de Cyrène, géomètre grec, précepteur de Platon, de 465 à 398 av. J.-C. Construction d'une spirale dont les longueurs des rayons forment la suite des racines des naturels. Itérer la propriété de Pythagore : Autres spirales : voir rectangle d'or |
6. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuseConstruction d'un triangle rectangle ABC de petit côté l'unité et d'hypoténuse : Télécharger la figure GéoPlan mon_369c.g2w |
Construction à la « règle et au compas » du triangle OAB |
Réciproque : construire un triangle rectangle ABC avec une longueur OI arbitraire, placer le point D en reportant la longueur égale à sur la demi-droite [BC). La perpendiculaire élevée en D à (BC) coupe (AB) en E. La longueur DE est l'unité cherchée. |
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7. Moyenne géométrique : construction de Wallis - Puissance d'un point par rapport à un cercleNotion disparue de l'enseignement français au lycée. Construction de la moyenne géométrique en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle. Sur une droite, munie du repère (O, I) placer le point A d'abscisse a = 7 et tracer un cercle (c) passant par I et A (le centre J est sur la médiatrice de [IA]). Tracer une tangente à (c) issue de O : le point de contact T est un des points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [OJ]. La puissance d'un point O par rapport au cercle (c) est le produit OI × OA. Cette puissance est égale au carré de la longueur OT de la tangente au cercle issue de O : On a donc OI = 1 et OA = a = 7, d'où OT = = . Télécharger la figure GéoPlan moyen_geom.g2w |
Activité B2i |
Domaine B2i |
Item lycée validable |
La droite en 2nde |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.1 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données. |
3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles). |
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Triangle |
Démonstrations géométriques de Pythagore |
GéoPlan en 3e |
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Sommaire1. Nombre rationnel a/b Racine d'un naturel2. Naturel égal à une somme de carrés |
Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan
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