Construire, avec GéoPlan, les nombres rationnels et les racines de naturels sur la droite des réels.
	Construction de réels	Faire de la géométrie dynamique

La droite réelle avec GéoPlan

Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et les racines de naturels.

1. Nombre rationnel a/b - utilisation de la propriété de Thalès.

Cliquer dans les figures et modifier le quotient avec les flèches du clavier. Taper sur la touche A pour modifier a, taper B pour modifier b.

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Racine d'un naturel

2. Naturel égal à une somme de carrés

Utilisation de la propriété de Pythagore : construction de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a² + b².

Dans un repère (O, I, J) (orthonormé) placer les points A(a, 0) et B(a, b).
Le triangle OAB est rectangle en A et l'hypoténuse OB = c.

Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse .

Cliquer dans la figure et modifier le naturel c avec les flèches du clavier.
Taper sur la touche A pour modifier a, taper B pour modifier b.

Télécharger la figure GéoPlan racine_1.g2w

3. Naturel égal à une différence de carrés

Utilisation de la propriété de Pythagore : construction d'un des petits côtés d'un triangle rectangle.

Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a² - b².

Soit A le point abscisse a sur la droite munie du repère (O, I). Soit B un des points d'intersection du cercle de diamètre [OA] et du cercle de centre A et de rayon b.
Le triangle OAB est rectangle en B et le côté OB = c.

Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse .

Cliquer dans la figure et modifier le naturel c avec les flèches du clavier.
Taper sur la touche A pour modifier a, taper B pour modifier b.

Télécharger la figure GéoPlan racine_2.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

4. Construction d'Euclide reprise par Descartes

Moyenne géométrique

Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse.

Dans un repère orthonormé placer sur l'axe des ordonnées les points J et A de part et d'autre de O tels que OJ = 1 et OA = a.
Le cercle de diamètre [AJ] coupe la demi-droite [OI) en B.

Le point B a pour abscisse .

La démonstration se fait dès la classe de troisième en remarquant que le triangle ABJ, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B. Les tangentes des angles  et B des triangles rectangles semblables OAB et OBJ sont égales.

tan  = ; tan B = , d'où l'égalité des rapports = .

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
OB² = OA × OJ = OA × 1 = OA = a.
OB est la moyenne géométrique de OA et OJ : OB = = .

Cliquer dans la figure et modifier le naturel a avec les flèches du clavier.

Remarque : comme dans la construction de Wallis, on retrouve la puissance du point O par rapport au cercle : - OA × OJ = − OB²

Télécharger la figure GéoPlan descartes.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. L'escargot de Pythagore

ou spirale de Théodore de Cyrène, géomètre grec, précepteur de Platon, de 465 à 398 av. J.-C.

Construction d'une spirale dont les longueurs des rayons forment la suite des racines des naturels.

Itérer la propriété de Pythagore :
on construit un triangle rectangle isocèle de petit côté égal à l'unité, puis une suite de triangles rectangles tels qu'un côté de l'angle droit est l'hypoténuse du précédant, l'autre petit côté étant de longueur égale à l'unité.

Le sixième triangle rectangle a une hypoténuse de longueur .

Autres spirales : voir rectangle d'or
Télécharger la figure escargot_pythagore.g2w

6. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuse

OI étant l'unité, construire le triangle rectangle isocèle OAB de petits côtés 2 unités. C est un des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] et du cercle unité de centre A.

Cliquer dans la figure :

Taper T pour visualiser la construction à la « règle et au compas » du triangle OAB (voir : perpendiculaire élevée d'un point à une droite).

Taper U pour visualiser la réciproque : construire un triangle rectangle ABC avec une longueur OI arbitraire, modifier la longueur donnée égale à . GéoPlan la reporte en plaçant le point D sur la demi-droite [BC). La perpendiculaire élevée en D à (BC) coupe (AB) en E.

La longueur DE est l'unité cherchée.

Télécharger la figure GéoPlan mon_369c.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

7. Moyenne géométrique : construction de Wallis - Puissance d'un point par rapport à un cercle

Notion disparue de l'enseignement français au lycée.

Construction de la moyenne géométrique en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Sur une droite, munie du repère (O, I) placer le point A d'abscisse a = 7 et tracer un cercle (c) passant par I et A (le centre J est sur la médiatrice de [IA]).

Tracer une tangente à (c) issue de O : le point de contact T est une des intersections du cercle (c) et du cercle de diamètre [OJ].

La puissance d'un point O par rapport au cercle (c) est le produit OI × OA. Cette puissance est égale au carré de la longueur OT de la tangente au cercle issue de O :
OI × OA = OT².

On a donc OI = 1 et OA = a = 7, d'où OT = = .
Le cercle de centre O passant par T coupe la demi-droite [OI] au point B d'abscisse .

Cliquer dans la figure et modifier le naturel a avec les flèches du clavier.

Télécharger la figure GéoPlan moyen_geom.g2w