La droite réelle avec GéoPlanSur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et les racines de naturels. 1. Nombre rationnel a/b - utilisation de la propriété de Thalès.
Cliquer dans les figures et modifier le quotient Sommaire Racine d'un naturel2. Naturel égal à une somme de carrésUtilisation de la propriété de Pythagore : construction de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 + b2. Dans un repère (O, I, J) (orthonormé) placer les points A(a, 0) et B(a, b). Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse Cliquer dans la figure et modifier le naturel c avec les flèches du clavier.
3. Naturel égal à une différence de carrésUtilisation de la propriété de Pythagore : construction d'un des petits côtés d'un triangle rectangle. Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 - b2. Soit A le point abscisse a sur la droite munie du repère (O, I). Soit B un des points d'intersection du cercle
de diamètre [OA] et du cercle de centre A et de rayon b. Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse Cliquer dans la figure et modifier le naturel c avec les flèches du clavier.
4. Construction d'Euclide reprise par DescartesMoyenne géométrique Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse. Dans un repère orthonormé placer sur l'axe des ordonnées les points J et A de part et d'autre de O tels que OJ = 1 et OA = a. Le point B a pour abscisse La démonstration se fait dès la classe de troisième en remarquant que le triangle ABJ, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B. Les tangentes des angles  et B des triangles rectangles semblables OAB et OBJ sont égales. tan  = Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : Cliquer dans la figure et modifier le naturel a avec les flèches du clavier. Remarque : comme dans la construction de Wallis, on retrouve la puissance du point O par rapport au cercle : - OA × OJ = − OB2
5. L'escargot de Pythagoreou spirale de Théodore de Cyrène, géomètre grec, précepteur de Platon, de 465 à 398 av. J.-C. Construction d'une spirale dont les longueurs des rayons forment la suite des racines des naturels. Itérer la propriété de Pythagore : Le sixième triangle rectangle a une hypoténuse de longueur Autres spirales : voir rectangle d'or 6. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuse
OI étant l'unité, construire le triangle rectangle isocèle OAB de petits côtés 2 unités. C est un des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] et du cercle unité de centre A. Cliquer dans la figure : Taper T pour visualiser la construction à la « règle et au compas » du triangle OAB (voir : perpendiculaire élevée d'un point à une droite). Taper U pour visualiser la réciproque : construire un triangle rectangle ABC avec une longueur OI arbitraire, modifier
la longueur donnée égale à La longueur DE est l'unité cherchée.
7. Moyenne géométrique : construction de Wallis - Puissance d'un point par rapport à un cercleNotion disparue de l'enseignement français au lycée. Construction de la moyenne géométrique en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle. Sur une droite, munie du repère (O, I) placer le point A d'abscisse a = 7 et tracer un cercle (c) passant par I et A (le centre J est sur la médiatrice de [IA]). Tracer une tangente à (c) issue de O : le point de contact T est une des intersections du cercle (c) et du cercle de diamètre [OJ]. La puissance d'un point O par rapport au cercle (c) est le produit OI × OA. Cette puissance est égale au carré de la longueur OT de la tangente au cercle issue de O : On a donc OI = 1 et OA = a = 7, d'où OT = Cliquer dans la figure et modifier le naturel a avec les flèches du clavier.
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