Problèmes des contact : détermination de cercles passants par un point ; tangent à une droite ou à un cercle.
Tracer les cercles astreints à trois conditions comme : |
Voici 10 problèmes de contact avec l'indication du nombre maximum de solutions : | ||||
PPP (1 solution) |
PDD (2 solutions) |
DDC (4 solutions) |
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DDD (4 solutions) |
PCC (4 solutions) |
DCC (8 solutions) |
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PPD (2 solutions) |
PDC (4 solutions) |
CCC (8 solutions) : problème d'Apollonius | |||
PPC (2 solutions) |
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Adapté de : |
Page no 96, créée le 29/10/2006, mise à jour le 12/8/2009 | ||||
Faire de la |
GéoPlan |
Trois cercles égaux à l'intérieur d'un triangle |
Théorème de Descartes |
La détermination de cercles astreints à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, répond à dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC… en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C. Ci-dessus est indiqué, pour chaque symbole, le nombre de solutions dont le problème est susceptible. Le problème CCC, des trois cercles, dit problème d'Apollonius, est le plus difficile du traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius. Dans l'Apollonius Gallus, Viète va résoudre les dix problèmes de contact avec un enchaînement rappelant celui que nous présentons ci-dessous. Le problème 1, PPP, est résolu avec le cercle circonscrit dont le centre est le point d'intersection des médiatrices du triangle. 1. Cercle passant par trois pointsPPP : 1 solution Déterminer les cercles passant par trois points distincts deux à deux. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistant des extrémités du segment. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle. Paragraphe extrait de la page : la géométrie du triangle Télécharger la figure GéoPlan mediatrices.g2w feuille de travail dynamique avec GeoGebra 2. Cercle tangent à trois droitesDDD : 4 solutions a. Cercle tangent à trois droites sécantes deux à deux, non concourantes Étant donné trois droites se coupant en trois points distincts deux à deux, déterminer les cercles tangents à ces trois droites. Rappels de cours La bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure. Les bissectrices extérieures partagent en deux l'angle bordé par un côté du triangle et le prolongement de l'autre côté. Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes. Extrait de : la géométrie du triangle Télécharger la figure GéoPlan bissect5.g2w b. Cercle tangent à trois droites dont deux sont parallèlesLe rayon r du cercle est égal à la moitié de la distance entre les deux parallèles (d1) et (d2). Le centre du cercle se trouve sur la droite équidistante des deux parallèles et sur une des droites situées à une distance r de la sécante (d3). Il y a donc deux cercles solutions, centrés en O et O’. Extrait de : problèmes de construction au collège Télécharger la figure GéoPlan cercle_tg_3droites.g2w Sommaire 3. Cercle tangent à une droite passant par deux pointsPPD : 2 solutions Déterminer les cercles passant par deux points distincts A et B donnés et tangents à une droite (d) donnée. Si A et B sont de part et d'autre de (d) il n'y a pas de solution. Sinon on trouve deux cercles solutions, que l'on détermine par leurs points de contact T et T’ avec la droite (d). Si la droite (AB) est perpendiculaire à (d), il est facile de construire les cercles solutions de rayon égal à la distance de la médiatrice de [AB] à (d), |
Angles inscrits dans un cercleLa droite (AB) rencontre (d) en I. Preuve d'Emmanuel Moreau En effet, dans le cercle circonscrit, les angles inscrits TAB1 et TT’B1 sont égaux. Télécharger la figure GéoPlan cercle_PPD_2.g2w GéoPlan permet de transformer cette construction en deux prototypes qui, à partir des points A et B et la droite (d), renvoient les cercles (c) ou (c’). Télécharger les prototypes GéoPlan proto_PPD_2.g2w |
Construction de WallisConstruire les cercles solutions comme cercles du faisceau à points de base A et B : choisir un cercle particulier du faisceau comme celui de diamètre [AB]. La puissance du point I, intersection de (AB) et de (d), par rapport à un cercle solution est IA × IB = IT2. C'est aussi la puissance de I par rapport au cercle de diamètre [AB], puissance encore égale au carré de la longueur d'une tangente (IK) à ce cercle : IA × IB = IK2. IT et IK sont la moyenne géométrique entre IA et IB. La construction de Wallis permet de construire une des tangentes en plaçant un point de contact K tel que la longueur IK soit égale à IT : Pour cela, si J est le milieu de [AB], construire les cercles de diamètres [AB] et [IJ] qui se coupent en K. La droite (IK) est tangente au cercle de diamètre [AB] et IK2 est la puissance du point I par rapport aux cercles. Le cercle de centre I passant par K rencontre (d) en T et T’, points de contact des deux solutions. Télécharger la figure GéoPlan cercle_PPD.g2w Remarque : dans la figure ci-contre à gauche, la puissance de I, par au cercle circonscrit à AB1B’, est - IT × IT’ = – IA × IB = – IA × IB1, ce qui justifie la construction du point B1, puis de son symétrique B’ par rapport à la perpendiculaire à (d) en I. |
PPC : 2 solutions Déterminer les cercles passant par deux points distincts A et B donnés et tangents à un cercle (c) donné. Principe : si les cercles (c1) et (c2) sont deux solutions tangentes en T et T’ au cercle (c), les tangentes communes se coupent en un point I aligné avec A et B. La puissance de I par rapport aux trois cercles est IT2 = IT’2 = IA × IB. On trouve le point I grâce un cercle auxiliaire (c3) circonscrit à ABC qui recoupe (c) en D. T et T’ sont situés sur le cercle de diamètre [OI] et les normales (OT) et (OT’) en T et T’ aux tangentes (IT) et (IT’) coupent la médiatrice de [AB] en O1 et O2, centres des cercles solutions. Construction - Cas général Étant donné un point C situé sur le cercle (c), le cercle (c3) circonscrit au triangle ABC recoupe (c) en D. Soit T et T’ les points de contact des tangentes au cercle (c) issues de I, ces points T et T’ sont les intersections du cercle (c) avec le cercle de diamètre [IO], où O est le centre du cercle (c). La puissance du point I par rapport au cercle (c) est IC × ID = IT2. Soit (c1) le cercle circonscrit au triangle ABT. De même, le cercle (c2) circonscrit au triangle ABT’, est tangent en T’ à (IT’) et à (c), le cercle (c2) est donc la deuxième solution du problème. Cas particuliers Si A et B sont équidistants de O, il y a encore deux solutions avec comme points de contact T et T’, intersections de (c) avec la médiatrice de [AB]. Si un des points est à l'intérieur du cercle (c), l'autre à l'extérieur, le point I intersection des droites (AB) et (CD) est situé à l'intérieur de (c), la puissance du point I par rapport à (c) est négative et il n'y a pas de solution. Télécharger la figure GéoPlan cercle_PPC.g2w Prototypes GéoPlan permet de transformer cette construction en deux prototypes qui, à partir des points A et B et du cercle (c), renvoient les cercles (c1) ou (c2). Télécharger les prototypes GéoPlan proto_PPC_2.g2w Construction avec une inversionApplication de la propriété : dans une inversion positive de cercle d'inversion (Γ), tout cercle (c) passant par un point M et son transformé M’ est orthogonal à (Γ). Le cercle (c) est alors globalement invariant par l'inversion. On trouve le pôle I grâce un cercle auxiliaire (c3) circonscrit à ABC qui recoupe (c) en D. L'inversion de pôle I et de rapport k = IA × IB transforme A en B. Le cercle (c3) est globalement invariant. Le point C a alors pour image D et le cercle (c) contenant les points antihomologues C et D est aussi globalement invariant. Le cercle (c1) circonscrit au triangle ABT a pour tangente la droite (IT). (c) et (c1) sont tangents en T, (c1) est une première solution du problème. Les quatre cercles (c), (c1), (c2) et (c3) contenant les points antihomologues A et B (ou C et D) sont globalement invariants. Ils sont tous les quatre orthogonaux au cercle d'inversion (Γ). Télécharger la figure GéoPlan inversion_PPC.g2w 5. Cercle tangent à deux droites passant par un point donnéPDD : 2 solutions On donne deux droites (d1), (d2) sécantes en O et un point A n'appartenant pas à ces droites. SolutionCas général : A n'est pas équidistant de (d1) et (d2). Un cercle solution (c) passe par le point A’ symétrique de A par rapport à la bissectrice de l'angle formé par (d1, d2) contenant le point A. On se trouve dans le cas PPD du problème 3 : tracer un cercle tangent à la droite (d1) par exemple, passant par deux points A et A’ avec possibilité d'utiliser les prototypes GéoPlan. Pour cela, si J est le milieu de [AA’], construire les cercles de diamètres [AA’] et [IJ], qui se coupent en K. La droite (IK) est tangente au cercle de diamètre [AA’] et IK2 est la puissance du point I par rapport aux cercles. Les cercles circonscrits à AA’T1 et AA’T2, passant par A et A’, tangents à (d1) et (d2), sont les deux cercles (c1) et (c2) solutions du problème. Leurs centres O1 et O2sont les intersections de la bissectrice avec les perpendiculaires à (d1) en T1 et T2. Télécharger la figure GéoPlan cercle_PDD.g2w Cas particulier Lorsque A est situé sur la bissectrice, I est l'intersection de (d1) avec la perpendiculaire à A à (OA). Le cercle de centre I, passant par A, rencontre (d1) en T1 et T2, points de contact des deux solutions et IT1 = IT2 = IA. Télécharger la figure GéoPlan cercle_PDD_2.g2w Autre méthode : tracer un cercle tangent aux deux droites et construire les solutions par transformation : 6. Cercle passant par un point tangent à deux cerclesPCC : 4 solutions On donne deux cercles (c1), (c2) de centres O1, O2, de rayons r1, r2 et un point A n'appartenant pas à ces cercles. |
Centres d'homothétieSi r1= r2 la translation de vecteur O1O2 et la symétrie de centre S’ milieu de [O1O2] transforme le cercle (c1) en (c2). Si r1 ≠ r2 il existe deux homothéties H(S, r1/r2) et Les points S et S’ centres d'homothétie des cercles sont les points qui partagent le segment [O1O2] dans le rapport r1/r2. Si un cercle variable (c) est tangent aux cercles (c1), (c2) en T et T’, la droite (TT’) qui joint les points de contact passe par un centre d'homothétie. La puissance p du centre d'homothétie par rapport au cercle (c) variable est constante. p = ST × ST’ = ST × ST1 × ST’/ST1 = ST × ST1 × r2/r1. On obtient la puissance du point S par rapport au cercle (c1) multiplié par le rapport des rayons. Si U et U’ sont les points d'intersection de (c1) et (c2) avec la ligne des centres, la puissance du point S par rapport au cercle de diamètre [UU’] permet de retrouver le nombre Télécharger la figure GéoPlan similitude_CC.g2w L'homothétie H(S, r1/r2) transforme T1 en T’ et T en T2. La transformation qui à T fait correspondre T’ est l'inversion de pôle S de puissance p. Dans cette page les inversions transformant (c1) en (c2) sont réduites à une construction où, à partir d'un point T sur (c1), la droite (ST) coupe (c2) en T’ et T2. Si T2 est l'homologue de T par l'homothétie, l'antihomologue T’ est l'inverse de T. Deux prototypes GéoPlan permettent d'automatiser la construction de T’ en fonction T : De même, pour l'inversion de puissance négative de pôle S’ : Télécharger les prototypes GéoPlan inversion.g2w |
Centre d'homothétie positiveLe cercle (c) passe par le point A1 de la droite (AS) tel que : p = SA × SA1. Or p = SU × SU’ donc U, U’, A et A1 sont cocycliques. A1 est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle AUU’ avec la droite (AS). On est donc ramené au cas PPC du problème 4 : tracer un cercle passant par deux points A et A1, tangent au cercle (c1), avec possibilité d'utiliser les prototypes GéoPlan. On a donc comme solutions un cercle (c) extérieur aux cercles (c1), (c2) et un cercle Télécharger la figure GéoPlan cercle_PCC.g2w InversionSi un cercle (c) de centre O est tangent en M et M’ à deux cercles (c1) et (c2), les points M et M’ sont homologues dans l'une des inversions transformant (c1) en (c2). Le cercle (c) est globalement invariant par cette inversion. Considérons l'inversion de pôle S et de puissance positive p = SU × SU’ transformant Le cercle (c) de centre O, intersection des droites (O1M) et (O2M’), est solution si le point O est situé sur la médiatrice de [AA1]. Dans ce cas la droite (MI) est la tangente. Comme nous l'avons vu ci-dessus, le point I est l'intersection des droites (SA) et (UV) où U et V sont les points d'intersection du cercle (c1) et du cercle circonscrit au triangle UU’A. Les points de contact T1 et T3 des tangentes à (c1) issues de I donnent les solutions. Commandes GéoPlan Déplacer le point M pour que point O soit situé sur la médiatrice de [AA1]. Télécharger la figure GéoPlan inversion_PCC.g2w |
Centre d'homothétie négativeLorsque les cercles (c1) et (c2) sont extérieurs l'un à l'autre, on a deux autres cercles solutions, invariants par homothétie de centre S’, de rapport négatif. Le cercle passe par le point A2 de la droite (AS’) tel que : Or p = S’U × S’U2 donc U, U2, A et A2 sont cocycliques. A2 est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle AUU2 avec la droite (AS’). On est donc ramené au cas PPC du problème 3 : tracer un cercle passant par deux points A et A2, tangent au cercle (c1). On a donc comme solutions le cercle (c3) extérieur à l'un des cercles (c1) ou (c2) et extérieur à l'autre ; on a aussi le cercle (c4), extérieur et intérieur étant inversés. Télécharger la figure GéoPlan cercle_PCC_2.g2w |
Exemple avec quatre solutionsLa droite (T1T2) des points de contact du cercle (c) passe par S, Lorsqu'ils existent le segment [T5T6] des points de contact du cercle (c3) passe par S’, Inversion : A2 est l'image de A par l'inversion de pôle S’ et de puissance négative : Télécharger la figure GéoPlan cercle_PCC_3.g2w Sommaire |
Voir aussi la construction d'un cercle de rayon donné, tangent à deux cercles donnés : problème de construction
Centres des cercles tangents à deux cercles tangents donnés : voir lieux géométriques
PCD : 4 solutions On donne une droite (d), un cercle (c) de centre O et un point A. Les résultats du chapitre précédent subsistent, un des cercles étant remplacé par une droite : |
Cercles tangents extérieurementLe point A1 est alors l'image de A par l'inversion de pôle U, qui échange la droite et le cercle. Plus simplement les résultats ci-dessus subsistent en plaçant A1 deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle AIU’ avec la droite (AU). On est donc ramené au cas PPD du problème 3 : tracer les cercles passant par deux points A et A1, tangents à la droite (d). Lorsque A et (d) sont à l'extérieur du cercle (c), A et (c) dans un même demi-plan par rapport à (d), on a deux cercles solutions, tangents extérieurement au cercle donné. Pour chaque cercle les points de contact sont alignés avec le point U. Lorsque la droite (d) et le cercle (c) sont sécants, appeler U le point du diamètre situé dans le même demi-plan que A par rapport à (d), on trouve alors deux solutions, quel que soit la position de A. Si A est à l'intérieur de (c), les deux cercles sont tangents intérieurement à (c). |
Cercles tangents intérieurementLe point A2 est l'image de A par l'inversion de pôle U’, qui échange la droite et le cercle. Le point A2 est donc à l'intersection du cercle circonscrit au triangle AIU avec la droite (AU’). Le problème devient : tracer les cercles tangents à la droite (d) (ou au cercle c), passant par deux points A et A2. Lorsque (c) et (d) n'ont pas de point commun et si le point A est situé dans le même plan que le cercle (c) par rapport à la droite, il existe deux autres solutions où le cercle donné est à l'intérieur du cercle solution.Pour chaque solution, le point U’ est sur le segment joignant les points de contact. Commandes GéoPlan Télécharger la figure GéoPlan cercle_PDC.g2w |
Cas particuliers : Point A sur le cercle Lorsque le point A est sur le cercle, on trouve les points de contact comme intersection de la droite (d) et des droites (AU) et (AU’). Télécharger la figure GéoPlan cercle_PDC_3.g2w |
Point A sur la droite Si le point A est sur la droite (d), placer sur la perpendiculaire en A à (d) les points V et V’ situés à distance de A égale au rayon du cercle (c). Les centres O1 et O2 des cercles tangents sont les intersections de cette perpendiculaire avec les médiatrices de [OV] et de [OV’]. Télécharger la figure GéoPlan cercle_PDC_4.g2w |
DDC : 4 solutions Ce problème a été résolu par Viète avec le recours à des droites et des cercles auxiliaires. Cette méthode sera nommée « méthode de Viète » ou des « translations parallèles ». On donne deux droites (d1), (d2) sécantes en I et un cercle (c), de centre O, de rayon r. Utiliser la « méthode des translations parallèles » en remarquant que si le rayon du cercle cherché augmentait ou diminuait de r, rayon du cercle donné, le nouveau cercle passerait par le centre O du cercle donné et serait tangent à des droites translatées de (d1) et (d2), telle que la distance entre une droite et son image soit égale au rayon r. Nous pouvons trouver jusqu'à quatre cercles centrés sur la bissectrice de l'angle formé par (d1, d2) contenant le point O. |
Cercles tangents extérieurementÀ partir des deux cercles de centres O3, O4, passant par O et O’, de rayons q3, q4 nous trouvons les cercles (c3), (c4) de rayons r3= q3- r, r4 = q4- r. Commande GéoPlan Télécharger la figure GéoPlan cercle_DDC.g2w |
Cercles tangents intérieurementLorsque le cercle (c) est entièrement contenu à l'intérieur du secteur angulaire, à partir des deux cercles de centres O1, O2, passant par O et O’, de rayons q1, q2 nous trouvons les cercles (c1), (c2) de rayons Commande GéoPlan |
Cas particulier : point O situé sur la bissectrice
Commandes GéoPlan Télécharger la figure GéoPlan cercle_DDC_2.g2w |
Lorsque le point O est situé sur la bissectrice, nous réalisons une construction de Wallis avec la perpendiculaire en O à la bissectrice de l'angle formé par (d1, d2) qui rencontre les translatées de (d1) en J ou K Le cercle de centre J passant par O rencontre la translatée en U1 et U2. Les perpendiculaires à (d1) en U1 et U2 coupent la bissectrice aux centres O1 et O2 et droite (d1) aux points de contact T1 et T2 des deux cercles solutions. Lorsque le cercle (c) est entièrement contenu à l'intérieur du secteur angulaire, le cercle de centre K passant par O rencontre la translatée en U1 et U2. Sur les perpendiculaires en U3 et U4, on trouve [O3T3] et [O4T4] qui sont les rayons de deux autres solutions. |
DCC : 8 solutions On donne une droite (d) et deux cercles (c1), (c2) de centres O1, O2, de rayons r1, r2 tels que r1 > r2. On remplace (c1), le plus grand des deux cercles, par un cercle ayant pour rayon la somme r1+ r2 ou la différence r1- r2 des rayons et on translate la droite (d) de telle façon que la distance entre la droite et son image soit égale à r2, rayon du plus petit des cercles. Avec la « méthode de Viète, des translations parallèles » et la « réduction du cercle (c2) à un point », on se trouve dans le cas PCD du problème 7 : tracer un cercle passant par le point O2, tangent à un cercle et à une droite. Le point O1, se projette orthogonalement en H sur (d) (figures ci-dessous). Sur la droite (OH) soit [UU’] le diamètre du cercle de centre O1 et de rayon r1- r2 et [U1U2] le diamètre du cercle de centre O1 et de rayon r1+ r2. Soit I et I’ les points de (OH) situés à une distance r2 et (d1), (d2) les translatées de (d) passant par I et I’. On va examiner quatre configurations correspondant aux deux cercles de rayons r1- r2 et r1+ r2 associés aux droites (d1), ou (d2). Selon la situation des cercles et de la droite, chaque configuration permet de trouver aucune, une ou deux solutions. Voir ci-contre un exemple avec huit solutions. Télécharger la figure GéoPlan cercle_DCC.g2w |
Cercles tangents extérieurement à (c1) et (c2)P est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O2I’U’ avec la droite (O2U). Télécharger la figure GéoPlan cercle_DCC_1.g2w |
(c1) et (c2) tangents intérieurement à (Γ5) et (Γ6)P2 est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O2IU avec la droite (O2U’). Il est encore possible (suivant les configurations), de tracer deux cercles, passant par O2 et P2, tangents à (d1) pour trouver jusqu'à deux cercles de centres Ω5 et Ω6, tangents au cercle de diamètre [UU’]. En augmentant les rayons de r2 on obtient éventuellement deux autres solutions (Γ5) et (Γ6). Télécharger la figure GéoPlan cercle_DCC_3.g2w |
(Γ3) et (Γ4) tangents extérieurement à (c1) et intérieurement à (c2)Q est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O2IU2 avec la droite (O2U1). Le tracé des cercles, passant par O2 et Q, tangents à (d1), lorsqu'il est possible, permet trouver des cercles de centres Ω3 et Ω4, tangent au cercle de diamètre [U1U2]. En augmentant les rayons de r2 on peut obtenir deux autres solutions (Γ3) et (Γ4). Télécharger la figure GéoPlan cercle_DCC_2.g2w Sommaire |
(Γ7) et (Γ8) tangents intérieurement à (c1) et extérieurement à (c2)Q2 est le deuxième point d'intersection du cercle circonscrit au triangle O2I’U1 avec la droite (O2U2). Le tracé éventuel des cercles, passant par O2 et Q2 tangent à (d2) permet de trouver jusqu'à deux cercles de centres Ω7 et Ω8, tangents au cercle de diamètre [U1U2]. En diminuant les rayons de r2 on obtient les deux dernières solutions (Γ7) et (Γ8). Télécharger la figure GéoPlan cercle_DCC_4.g2w |
CCC : 8 solutions Problème des trois cerclesTrouver un cercle tangent à trois cercles donnés. HistoriqueLe problème du cercle tangent à trois cercles est un des grands problèmes de l'histoire de la géométrie. En 1596, Adrien Romain (Van Roomen, latinisé en Adrianus Romanus, mathématicien flamand 1561-1615) proposera une solution faisant appel à une hyperbole, ce que Viète considère comme non conforme à la méthode des Anciens. En effet, l'émergence de l'algèbre dans la géométrie lui permet d'affirmer que c'est un problème du second degré, donc un problème plan qui peut se résoudre « à la règle et au compas ». Viète publie sa propre solution en 1600, dans l'Apollonius Gallus où il présente quelques lemmes permettant de manipuler les similitudes et où il expose les neuf premières situations présentées ci-dessus. Il reconnaît que les solutions de ce dixième problème dépendent de la position relative des trois cercles, mais ignore la discussion du nombre de solutions et il faudra attendre Descartes (1637) pour traiter les cas particuliers. Jusqu'au XIXème siècle, ce problème sera un des lieux de la confrontation entre la géométrie synthétique (géométrie pure) et la géométrie analytique. Méthode de VièteC'est le principe de « réduction d'un cercle à un point », où l'homothétie (qui ne serra d'actualité qu'au XVIIIème avec Chasles) permet de transformer la contrainte « tangent à un cercle » en « passant par un point ». On donne trois cercles (c1), (c2), (c3) de centres O1, O2, O3 de rayons r1, r2, r3 tels que r1 > r2 > r3 (Viète suppose implicitement que les trois cercles sont de rayons différents, les points O1, O2, O3 n'étant pas alignés). On substituera aux deux plus grands cercles (c1), (c2) des circonférences concentriques dont les rayons différeront des leurs d'une quantité égale au rayon r3 du plus petit des trois cercles donnés. |
Cercles auxiliaires de centres O1, O2, de rayons r1- r3, r2- r3 Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC_4.g2w |
Cercles auxiliaires de centres O1, O2, de rayons r1+r3, r2+ r3 Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC_3.g2w |
Cercles auxiliaires de centres O1, O2, de rayons r1+ r3, r2- r3 Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC_5.g2w |
Cercles auxiliaires de centres O1, O2, de rayons r1- r3, r2+ r3 Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC_6.g2w |
Construction de M. Fouché 1892 Trois cercles inégaux deux à deux et dont les centres ne sont pas alignés admettent six centres d'homothétie. Les trois centres « positifs » S1, S2 et S3 sont alignés. Deux centres « négatifs » sont alignés avec un centre « positif ». Ci-contre, une première figure permettant d'étudier les inversions i1 et i2 de puissances positives de pôles et S2 et S1. L'inversion i1 échange les cercles (c3) et (c1), et l'inversion i2 échange les cercles (c3) et (c2). Étant donné un point M variable sur le cercle (c3) construisons, lorsque c'est possible, les inverses P et Q de ce point M. Le cercle (c), circonscrit au triangle MPQ, recoupe (c3) en N. En déplaçant le point M, on trouve une première position limite où les points M et N sont confondus en C. Les points Q et Q’ sont alors confondus en B, les points P et P’ sont aussi confondus en A. Le cercle (c) a pour position limite le cercle circonscrit à ABC coupant les trois cercles en trois points doubles, donc tangent aux trois cercles. Le cercle circonscrit (c) au triangle MPQ recoupe (c3) en N. La droite (MN) est l'axe radical de ce cercle circonscrit et de (c3). L'axe (MN) coupe la ligne (S1S2) des centres d'homothétie en H. Il suffit de trouver les points de tangence C et C’ intersections de (c3) avec le cercle de diamètre [O3H]. En traçant le point A inverse de C, intersection de (c1) avec (S2C), puis en traçant le point B inverse de C, intersection de (c2) avec (S1C), on trouve une première solution : le cercle circonscrit à ABC. Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC.g2w |
Inversions de puissances de signes opposés.L'inversion de pôle S’, de puissance négative, échangeant les cercles (c3) et (c1) ainsi que l'inversion de pôle S1, de puissance positive, échangeant les cercles (c3) et (c2) permettent d'obtenir deux autres solutions. Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC_1.g2w En permutant les cercles (c1) et (c2) cette figure permet d'obtenir l'inversion « positive » de pôle S2 et l'inversion « négative » échangeant les cercles (c3) et (c2). Voir : point d'Apollonius |
Inversions de puissances négatives.Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC_2.g2w En général, on trouve donc huit solutions correspondant à ces quatre cas de figure. Pour chaque couple (c), (c’) de cercles solutions, de centres O, O’, la droite (OO’) est perpendiculaire à la ligne des centres d'homothétie correspondants. Le centre Ω du cercle circonscrit à MPQ est situé sur droite (OO’). Le point H a même puissance par rapport aux cercles (c), (c’), (MPQ). Ces cercles appartiennent au même faisceau ayant comme axe radical la ligne des centres d'homothétie. Dans les trois derniers cas, ces trois cercles sont sécants et les deux points de base sont situés sur la ligne des centres d'homothétie correspondants. |
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Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan |