Définition, propriétés et construction des droites tangentes à un cercle en un point.
Définition et propriété caractéristique de la bissectrice d'un angle.
Définition et construction du cercle inscrit dans un triangle.

Un scénario possible

1. Recherche avec GéoPlan

On peut présenter la figure avec un logiciel de géométrie dynamique, en utilisant un vidéo projecteur, en plaçant quatre cercles (c₁), (c₂), (c₃) et (c₄) de centres O₁, O₂, O₃ et O₄, passant par les points H, K, L et M.
Les points H, K, L, M sont naturellement placés comme projections des centres sur les côtés du triangle ABC.

quatre cercles

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On demande alors à un élève de venir déplacer les points.

On repère rapidement les invariants de la figure et on vérifie que les centres doivent se trouver sur les bissectrices du triangle ABC.
On trace les bissectrices (touche B avec GéoPlan). Le cercle (c₁), est donc le cercle inscrit dans ABC centré en I point d'intersection des bissectrices.
En plaçant les autres centres O₂, O₃, O₄ comme points libres sur les bissectrices du triangle ABC, on on met au défi les élèves de réaliser la même construction. C'est une première approche qui va permettre à toute la classe de rentrer dans le problème.

2. Une fois ce travail réalisé, on s'attache à en voir les limites. On propose alors la construction de la figure. Toutefois, la figure réalisée précédemment va servir d’étude. C'est en expérimentant sur cette figure que le protocole de construction va émerger.

3. Dans cette troisième étape, on a l'occasion d'un travail différencié. On peut alors offrir des barres d'outils différentes - comme dans la plupart des logiciels de géométrie dynamique - selon les élèves : certains auront à leur disposition la construction du cercle inscrit dans un triangle ainsi que la construction du centre de ce cercle inscrit ; d'autres devront construire eux-mêmes le cercle inscrit ainsi que son centre.

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b. Cercles tangents, tangents aux deux côtés d'un triangle

Reproduire cette figure

Cercles tangents, tangents aux deux côtés d'un triangle

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Taper S pour la solution

Solution

Cercles tangents, tangents aux deux côtés d'un triangle - Solution

Tracer les cercles inscrits dans les triangles formés par deux des côtés du triangle et des perpendiculaires à leur bissectrice.

2. Deux cercles tangents, inscrits dans un triangle

Le problème des trois cercles est un problème de contact à explorer à partir du thème DDC : cercle tangent à deux droites et à un cercle.

Ce problème a été résolu par Viète avec le recours à des droites et des cercles auxiliaires. Cette méthode sera nommée « méthode de Viète » ou des « translations parallèles ».

On donne un triangle ABC et un cercle (c₁), de centre O₁, de rayon r, tangent aux côtés (AB) et (AC).
On cherche et un cercle (c₂), tangent aux côtés (BA) et (BC).

Utiliser la « méthode des translations parallèles » en remarquant que si le rayon du cercle (c₂) cherché augmentait de r, rayon du cercle donné, le nouveau cercle passerait par le centre O₁ du cercle donné et serait tangent à des droites translatées de (BA) et (BC), telle que la distance entre une droite et son image soit égale au rayon r.

Deux cercles tangents, inscrits dans un triangle

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3. Cercles de Malfatti : trois cercles tangents, inscrits dans un triangle

Un thème de Pierrick Bouttier

En voyant la belle figure qui accompagne l'activité proposée par Danielle, je me suis dit « Qui peut le plus, peut le moins » et j'ai donc essayé de mettre trois cercles, au lieu de quatre, dans un triangle.

C'est le problème de Malfatti : il s’agit de construire trois cercles de manière à ce que chacun d'eux soit tangent à deux côtés d'un triangle, et qu'ils soient tangents deux à deux.

En 1803, Giovanni Francesco Malfatti a posé le problème de déterminer les trois colonnes circulaires de marbre, éventuellement de différentes tailles qui, sculptées dans un prisme droit triangulaire, auraient la plus grande coupe transversale totale possible. C'est équivalent à la recherche de trois cercles de taille maximum qui peuvent être inscrits à l'intérieur d'un triangle rectangle de n'importe quelle forme, sans se chevaucher. Ce problème est maintenant connu comme le « problème de marbre ». Malfatti a donné comme solution les « trois cercles Malfatti », tangents l'un à l'autre et à deux côtés du triangle et il a démontré analytiquement l'existence de ces trois cercles.

Une solution purement géométrique a été donnée, sans preuve, par Steiner en 1826.

En 1930, il a été montré que les cercles Malfatti n'étaient pas toujours la meilleure solution. Alors Goldberg (1967) a montré que, pire encore, ils ne sont jamais la meilleure solution. Ogilvy (1990) et Wells (1991) illustrent des cas spécifiques où les solutions alternatives sont clairement optimales.

D'après MathWorld.

trois cercles

Recherche avec GéoPlan

Les TICE permettent une première recherche en plaçant trois cercles (c₁), (c₂) et (c₃) de centres O₁, O₂ et O₃, passant par les points H, K et L.
Les points H, K, L sont naturellement placés comme projections des centres sur les côtés du triangle ABC.

On vérifie rapidement que les centres doivent se trouver sur les bissectrices du triangle ABC.
En déplaçant les centres O₁, O₂, O₃, comme points libres sur les bissectrices du triangle ABC, on trouve trois cercles : (c₁), tangents aux côtés (AB) et (AC) ; (c₂) tangent aux côtés (BA) et (BC) et (c₃) tangent aux côtés (CA) et (CB) ; solution approchée du problème.

Trois cercles tangents, inscrits dans un triangle

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Une piste de recherche en s'affranchissant de la contrainte : (c₂) et (c₃) tangents

On donne un triangle ABC et un cercle (c₁), de centre O₁, de rayon r, tangent aux côtés (AB) et (AC).
Avec la « méthode des translations parallèles » vue au paragraphe précédent, on place un cercle (c₂), tangent à (c₁) et aux côtés (BA) et (BC) ainsi qu'un un cercle (c₃), tangent à (c₁) et aux côtés (CA) et (CB).

Trois cercles tangents, inscrits dans un triangle

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Vers la solution avec GéoPlan

Le problème n'a plus qu'un degré de liberté. En déplaçant le centre O₁, on trouve la solution où les cercles (c₂) et (c₃), sont tangents.

Trois cercles tangents, inscrits dans un triangle

On peut penser que cette preuve par GéoPlan est une démonstration analytique.

Le traité de géométrie de Rouché et De Comberousse donne une construction à la « règle et au compas » de cette position de telle manière que la droite joignant les points d'intersection des cercles (c₂) et (c₃) soit tangente aux cercles inscrits dans les triangles IAB ou IAC. Il suffit de trouver un des points de contact situé sur la perpendiculaire passant le centre d'un des cercles inscrits.

Le triangle O₁O₂O₃ est le triangle de Malfatti. Voir ses propriétés dans : trois cercles tangents.

Solution analytique : mathworld

Construction exacte de Steiner (1826)

Rouché Eugène et De Comberousse Charles - Traité de géométrie - 1900 - Éditions Jacques Gabay - 1997

Recherche des tangentes communes

Construction de Steiner

I étant le centre du cercle inscrit, tracer les cercles inscrits dans les triangles IBC, IAC et IAB. Les trois bissectrices sont tangentes intérieures à ces cercles pris deux à deux.
Mener les trois autres tangentes intérieures qui coupent les bissectrices en U, V et T situés sur les lignes des centres des cercles.

Pour cela, soit U le point d'intersection des droites (I₁I₃) et (BB’) et
U₃ le point de contact de la tangente (BB’) avec le cercle inscrit dans IAB. Ce cercle coupe le cercle de diamètre [UI₃] en U₃ et U₁.
La droite (UU₁) est la deuxième tangente issue de U, qui coupe le triangle en R et S (tracé pratiquement impossible sans logiciel).
Recommencer avec T.

Ces tangentes sont sécantes en L qui est le centre radical des cercles solutions. Cela permet de tracer la dernière tangente simplement comme droite (VL).

Solution

Solution de Malfatti

Les cercles inscrits dans les triangles ayant comme côté une de ces tangentes et deux des côtés du triangle ABC, sont les cercles cherchés

Le triangle O₁O₂O₃ est le triangle de Malfatti. Le cercle circonscrit au triangle DEF, de centre L, est inscrit dans le triangle O₁O₂O₃.

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4. Je « thème » les mathématiques
Empilements dans le plan - Remplir une figure avec des cercles de même rayon

Construction sous contrainte : reproduire une figure.

Remplir un cercle ou un polygone régulier avec des cercles, de même rayon, tangents deux à deux.
Inscrire n cercles, de rayon r maximal, dans :

un polygone régulier de m côtés,
un rectangle (problème d'optimisation du rangement de boites de conserve dans un carton),
un cercle :
une solution est de construire un polygone régulier de n côtés circonscrit à ce cercle et y inscrire n cercles :
- tracer les n triangles isocèles identiques qui ont pour côtés deux rayons du cercle et pour base un côté du polygone.
- construire le cercle inscrit dans chaque triangle.

On obtient ainsi n cercles tangents deux à deux entre eux et tangents au grand cercle. C'est optimal de n = 3 à n = 5.
Mais pour n = 7, il suffit de tracer un hexagone circonscrit…

Deux cercles dans un carré

Deux cercles inscrits dans un carré

Le centre du cercle inscrit dans le triangle ABD est l'intersection de la diagonale [AC] avec la bissectrice de l'angle ABD.

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Cercles de rayons différents, voir aussi :
• deux cercles tangents, tangents à un carré,
• résoudre avec l'algèbre des problèmes de géométrie.

Trois cercles dans un triangle équilatéral

Trois cercles inscrits dans un triangle équilatéral

Les trois cercles sont inscrits dans les cerfs-volants formés par les côtés et les médiatrices du triangle.
Les centres des cercles sont à l'intersection des bissectrices des cerfs-volants.

Cette figure est aussi optimale pour deux cercles inscrits dans le triangle.

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Trois cercles dans un cercle

Construire un triangle équilatéral circonscrit au cercle et inscrire trois cercles dans les triangles isocèles qui ont pour côtés deux rayons du cercle et pour base un côté du triangle équilatéral.

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Six cercles dans un triangle équilatéral

Six cercles inscrits dans un triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral ABC de centre O, il est possible de compléter les trois cercles inscrits dans les triangles OAB, OBC, OAC pour obtenir six cercles, de même rayon, inscrits dans le triangle.

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Quatre cercles dans un cercle

Quatre cercles inscrits dans un cercle

Construire un carré circonscrit à ce cercle et inscrire quatre cercles dans les triangles isocèles qui ont pour côtés deux rayons du cercle et pour base un côté du carré.

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Trois cercles dans un carré

Le coté [O₁O₂] du triangle équilatéral O₁O₂O₃, d'axe [AC], fait un angle de avec (AD).
La projection de la ligne brisée HO₁O₂K sur (AD) mesure
2r(1 + cos ). D'où le calcul de r = 0,2543 AD.

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Cinq cercles dans un carré

Les cercles sont centrés sur les diagonales.

Cinq cercles dans un carré

Pas de construction géométrique trouvée. Il faut résoudre ce problème avec l'algèbre :
Si a est la longueur du côté du carré, calculer le rayon r des cercles avec la relation a = (2+2)r.

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Cinq cercles dans un pentagone

Cinq cercles inscrits dans un pentagone

Les cercles sont inscrits dans les cerfs-volants formés par les côtés et les médiatrices du pentagone régulier.

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Cinq cercles dans un cercle

Cinq cercles inscrits dans un cercle

Construire un pentagone régulier circonscrit à ce cercle et inscrire cinq cercles dans les triangles isocèles qui ont pour côtés deux rayons du cercle et pour base un côté du pentagone.

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Sept cercles dans un hexagone

Sept cercles inscrits dans un hexagone

Avec des cercles inscrits dans un triangle équilatéral, il est possible d'inscrire six cercles dans un hexagone régulier et on peut rajouter un septième cercle de même rayon au centre de l'hexagone.

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Sept cercles dans un cercle

Sept cercles inscrits dans un cercle

Construire un hexagone régulier circonscrit au cercle et inscrire six cercles dans les triangles équilatéraux.
On peut rajouter un septième cercle au centre du grand cercle.

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Problème de Pappus - Cercles tangents en chaîne

Relations entre les rayons des cercles en chaîne tangents deux à deux, tangents à deux cercles dont l'un est à l'intérieur de l'autre (Steiner : Théorie universelle des contacts).

Faire de la géométrie en seconde

Trois cercles égaux à l'intérieur d'un triangle

Troisième
Problèmes d'optimisation

Seconde
Problèmes d'optimisation

Calculs d'aires par découpage

Théorème de Descartes