Calculs d'aires par découpage

Sommaire

1. Lunule
2. Cercles et triangle équilatéral
3. La bille
4. Calculs d'aire dans un rectangle
5. Un partage équitable - Olympiades 2008 de première

Page n^o 140, réalisée le 4/4/2009, modifiée le 1/11/2009

Aires et triangles
Aire d'un triangle inscrit dans un carré

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès
      théorème de Pythagore

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1L-TL

Problèmes de partage
Multiplication de l'aire d'un triangle : triangles en seconde

Avec GéoPlan
en seconde

Collège
Calcul d'aire

Aire du parallélogramme

Collège
Aire du triangle

Index
Aires

Faire de la géométrie dynamique

Définitions : une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d'un côté et concave de l'autre.

Ici une lunule désigne aussi un segment circulaire (segment de cercle) : la portion de surface délimitée par un arc de cercle et sa corde.

Exercice

AB est un quart de cercle de rayon 1 et de centre O ; OC un demi-cercle de centre A et de même rayon. Soit I le point d'intersection du quart de cercle et du demi-cercle.

a. Calculer l'aire de la lunule déterminée par la corde IA sur le cercle de centre O.

b. Calculer l'aire de la surface hachurée.

Concours EPF - 2002 - Anabac S 2003 - Hatier

Indications : a. Les trois côtés de OIA sont des rayons des cercles :
OA = OI = IA = r = 1, OIA est équilatéral, son aire est r² = .
Le cercle de centre O a une aire égale à πr² = π. Le secteur angulaire, d'angle 60°, compris entre l'arc de ce cercle et les rayons [OA] et [OI] correspond à du cercle, son aire est .
L'aire de la lunule déterminée par la corde IA est − ≈ 0,09.

b. Le secteur angulaire, d'angle 120°, compris entre l'arc du cercle de centre A et les rayons [AI] et [AC] correspond à du cercle,
son aire est .

La surface hachurée, formée de ce secteur auquel on enlève la lunule, a pour aire − ( − ) = + ≈ 0,96.

c. Méthode des aires

En introduisant le point D, milieu de l'arc , on obtient un triangle équilatéral ADI d'aire et un secteur angulaire, d'angle 60°, compris entre l'arc du cercle de centre A et les rayons [AD] et [AC] correspondant à du cercle, son aire est .
Les lunules déterminées par la corde IA sur le cercle de centre O et celle déterminée par la corde ID sur le cercle de centre A ont même aire, car les cordes ont même longueur et les cercles même rayon.
En enlevant au triangle équilatéral la lunule déterminée par la corde IA et en ajoutant celle déterminée par la corde ID on obtient, avec le secteur angulaire DAC, la surface hachurée d'aire + .

Télécharger la figure GéoPlan lunule.g2w
Voir : lunules d'Hippocrate de Chios
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Technique GéoPlan

Pour créer la surface hachurée, colorier le demi-cercle de diamètre [CO] avec le motif, colorier l'arc AB avec la couleur de fond et redessiner le demi-cercle de diamètre [CO].

Voir : arc de cercle

2. Cercles et triangle équilatéral

Classe de seconde

a. Triangle équilatéral

Construction d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, avec un deuxième cercle de même rayon

Les cercles (c₁) de centre O₁ et (c₂) de centre O₂ ont même rayon R ; le centre de l'un appartient à l'autre.
Le point C est le symétrique de O₁ par rapport à O₂.
Les deux cercles se coupent en A et B.

• Montrer que le triangle ABC est équilatéral de côté R .

Indications :
les triangles AO₁O₂ et BO₁O₂ sont équilatéraux (configuration d'Euclide). L'angle au centre AO₂B est égal à 120°. L'angle inscrit ACB mesure 60°.
Le triangle ABC, ayant la droite (CO₁) comme axe de symétrie, est isocèle.
Un triangle isocèle ayant un angle de 60° est équilatéral.

Voir le cercle circonscrit au triangle équilatéral pour le calcul R de la longueur du côté.

b. Périmètre

• Quels sont le périmètre et l'aire de la surface hachurée formée par les deux segments circulaires (ou lunules) de part et d'autre de la corde [AB] ?

Indications : la surface hachurée est limitée par les deux arcs de cercle AO₁B et AO₂B, arcs de longueur égale. Sur le cercle (c₂), l'arc AO₁B intercepte l'angle au centre AO₂B de 120°, égal au de 360°. La longueur de l'arc est donc est égale à du périmètre 2πR du cercle, soit πR.

Le périmètre de la surface hachurée est alors de πR.

c. Aire comme réunion de deux segments circulaires

La surface hachurée est la réunion de deux segments circulaires, de même aire, délimités par la corde [AB] et les deux arcs de cercle.
L'aire du segment circulaire AO₁B est égale à l'aire du secteur angulaire AO₂B diminué de l'aire du triangle AO₂B.
L'aire du secteur angulaire AO₂B est égale à de l'aire πR² du cercle, soit πR².
Le point O₂ est le centre du triangle équilatéral ABC, de côté AB = R, de hauteur HC = R et d'aire AB × HC = R × R = 3R².
Les triangles AO₂B, BO₂C et CO₂A, d'aire égale, partagent le triangle ABC en trois. L'aire du triangle AO₂B est donc × 3R² soit R².
L'aire du segment circulaire AO₁B est : πR² − R² = ( − )R².
L'aire de la surface hachurée est égale à ( − )R².

Télécharger la figure GéoPlan tri_2cer.g2w

Application : construction d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle

Dans un cercle (c₂) de centre O₂, tracer un diamètre [O₁B].
Soit H le milieu H de [O₁O₂].
Par H, tracer la médiatrice de [O₁O₂] qui coupe le cercle en A et B.

• Le triangle ABC est équilatéral.

d. Découpage avec deux triangles équilatéraux et quatre segments circulaires

La surface est la réunion des deux triangles équilatéraux AO₁O₂ et BO₁O₂ et quatre segments circulaires O₁A, AO₂, O₁B et BO₂.

Les triangles équilatéraux de côté R et de hauteur h = R ont pour aire :
O₁O₂× h = R × R = R².

Le secteur angulaire O₁O₂A a une aire égale au sixième de l'aire du cercle (c₂),
soit πR².
L'aire du segment circulaire O₁A est égale à l'aire du secteur angulaire moins l'aire du triangle équilatéral, soit πR² − R².

L'aire de la surface totale est alors 4 (πR² − R²) + 2 R² = ( − )R².

Télécharger la figure GéoPlan 2_lunules.g2w

L@ feuille à problèmes

ABCD est un rectangle de centre O.
Sur [AB] et [CD] placer deux points M et N,
tels que AM = CN.

Les deux triangles verts ont la même aire.

L'aire du parallélogramme rouge est égale à celle des deux triangles.

Télécharger la figure GéoPlan aire_rectangle.g2w

Indications pour la solution

C est l'image de A dans la symétrie de centre O. = − : les points M et N sont symétriques par rapport à O.
Par la symétrie de centre O, la droite (AN) a pour image (CM), (DM) a pour image (BN). Les points d'intersection I et J sont donc symétriques par rapport à O et MINJ est un parallélogramme.

Le triangle CBI est symétrique du triangle ADJ, ils ont même aire.

La translation de vecteur transforme M en M’ et J en J’, le triangle ADJ en BCJ’, triangles de même aire.
Par composition de la symétrie et de la translation on montre que BJ’CI est un parallélogramme, d'aire égale à celle des deux triangles.
Par symétries ou translation, les triangles en jaune sont d'aires égales.

Les parallélogrammes NCMA et NCM’B ont même aire égale NC × CB.
En enlevant les triangles jaunes, on voit que les parallélogrammes MINJ et BJ’CI ont même aire.
L'aire du parallélogramme MINJ est égale à celle des deux triangles CBJ’ et DBI, donc celles de ADJ et DBI.

1. Léonard est géomètre. Il veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire selon le schéma ci-dessus.

Quelle valeur doit-il donner à x pour arriver à ses fins ?

L'aire du triangle rectangle de petits côtés 1 et x est x/2.
La solution est x = .

Télécharger la figure GéoPlancarre_olymp.g2w

2. Mais Léonard est aussi esthète. Ne trouvant pas élégante sa construction,il décide de supprimer la zone triangulaire hachurée.
Ainsi, les trois parties restantes sont triangulaires.
Peuvent-elles avoir la même aire ?

L'aire du triangle CIJ est (1 - x)²/2.
D'où l'équation 1 - (1 - x)²/2 = 3 x/2 qui a pour solution positive l'inverse du nombre d'or
x = = .

Télécharger la figure GéoPlancarre_olymp2.g2w

3. Et Léonard est mathématicien.
Ayant réalisé grossièrement (ci-dessous) la construction de la question 2, il mène du point J la perpendiculaire (IH) à la droite (CD).
Il a l'impression que les droites (JH), (AI) et (BD) sont concourantes. Qu'en est-il ?

Dans le repère (D,,) le point K d'intersection des droites (JH) et (BD) a pour coordonnées
(, ). Vérifier que ces coordonnées satisfont à l'équation de la droite (AI) :
y - 1 = - x.

Télécharger la figure GéoPlancarre_olymp3.g2w

Calculs d'aire en 1S
Olympiades

GéoPlan
Cercle - Angle inscrit

Construction au compas

Démonstrations de Pythagore

Théorème de Thalès

Construction du pentagone régulier

Sommaire

1. Lunule
2. Cercles et triangle équilatéral
3. La bille
4. Calculs d'aire dans un rectangle
5. Un partage équitable - Olympiades 2008 de première

Faire de la géométrie dynamique

Accueil

Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.