Résolution d'un triangle par la donnée de trois des éléments (côté, hauteur, médiane, rayon du cercle circonscrit…).
Résolution d'un triangle |
Classe de première L |
En géométrie, la résolution d'un triangle consiste en la détermination des différents éléments d'un triangle (longueurs des côtés, mesure des angles…) à partir de certains autres. Historiquement, la résolution des triangles fut motivée
La donnée de trois des éléments du triangle (côté, hauteur, médiane, rayon du cercle circonscrit…), dont au moins un côté, est nécessaire et en général suffisante à la résolution du triangle. On se pose en particulier le problème de l'unicité, les cas de résolution pouvant admettre plusieurs solutions. Ces casse-tête géométriques sont en principe toujours solubles, parfois au prix de calculs ardus qui font intervenir les relations classiques dans le triangle comme le théorème d'Al-Kashi, la loi des sinus, la somme des angles et la trigonométrie. 1. Construire un triangle connaissant un côté et le rayon du cercle circonscritConstruire un triangle connaissant le côté [AB] et le rayon r du cercle circonscrit. Tracer les cercles de centres A et B de rayon r. Soit O et O’ les points d'intersection de ces deux cercles lorsqu'ils existent (2r > AB). Les cercles circonscrits sont les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ passant par A. En choisissant n'importe quel point C sur un de ces deux cercles (sauf les points A et B) on obtient une solution.
Télécharger la figure GéoPlan cote_rayon_cir.g2w 2. Construire un triangle connaissant deux côtés et le rayon du cercle circonscritConstruire un triangle connaissant le côté [AB], la longueur b du côté [AC] et le rayon r du cercle circonscrit. Tracer les cercles de centres A et B de rayon r. Soit O et O’ les points d'intersection de ces deux cercles, lorsqu'ils existent (2r > AB). Les cercles circonscrits sont les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ passant par A. Le cercle, de centre A et de rayon b, peut couper les cercles circonscrits aux points C, C1, C2 et C3, permettant de trouver jusqu'à quatre triangles solutions, symétriques par rapport à (AB).
Télécharger la figure GéoPlan 2cotes_rayon_cir.g2w Sommaire 3. Construire un triangle connaissant un côté et l'angle opposéConstruire un triangle connaissant le côté [BC] et l'angle BÂC = xÎy. Reporter l'angle xÎy le long de [BC) et on trouve une tangente au cercle circonscrit. La perpendiculaire en B à cette tangente rencontre la médiatrice de [BC] en O centre du cercle circonscrit. Le point A appartient aux arcs capables, d'où l'on « voit » le segment [BC] suivant l'angle xÎy.
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Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs a et b des deux médianes issues de A et B. Le centre de gravité G du triangle ABC est un des points d'intersection, lorsqu'il existe, des cercles de centre A, de rayon a et de centre B, de rayon b. Télécharger la figure GéoPlan cote_2medianes_a.g2w |
Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs a et c des deux médianes issues de A et C. Le centre de gravité G du triangle ABC est un des points d'intersection des cercles de centre A, de rayon a et de centre C’, milieu de [AB], de rayon c. Télécharger la figure GéoPlan cote_2medianes_b.g2w |
Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs a et b des deux hauteurs issues de A et B. Le pied H de la hauteur issue de A est un des points d'intersection, lorsqu'il existe, du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre A et de rayon a. Le sommet C est l'intersection des côtés (AK) et (BH). Il y a jusqu'à quatre solutions symétriques, deux à deux, par rapport à (AB). Télécharger la figure GéoPlan cote_2hauteurs_a.g2w |
Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs b et c des deux hauteurs issues de B et C. Le pied H de la hauteur issue de B est un des points d'intersection, lorsqu'il existe, du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre B et de rayon b. Le sommet C est l'intersection du côté (AH) et d'une des parallèles à (AB) située à une distance c de (AB). Il y a jusqu'à quatre solutions symétriques, deux à deux, par rapport à (AB).
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Connaissances |
Capacités |
Exemples d'activités, commentaires |
Construction de triangles et inégalité triangulaire. |
Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire. Construire un triangle connaissant : Sur papier uni, reproduire un angle au compas. |
Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC ≥ AC. Le cas de l'égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC]. Ces constructions permettent un premier contact (implicite) avec les trois cas d'isométrie des triangles (théorèmes rencontrés en classe de seconde). |
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