I2G

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Faire de la géométrie dynamique

Projet européen I2G : Géométrie Interopérable et Interactive pour l'Europe

Participation en 2007-2008 au projet européen Inter2Géo.

Le premier objectif d'Inter2Géo est de rendre le contenu pour l'enseignement des mathématiques à l'aide de la géométrie interactive plus accessible, plus simple à utiliser et plus exploitable, partout en Europe.

Inter2Géo va…
a) offrir des ressources étiquetées par des métadonnées pédagogiques sur un serveur avec un moteur de recherche performant.
b) permettre aux enseignants d'utiliser le logiciel de leur choix en définissant un format de fichier commun adoptant des standards ouverts.

Une réalisation

Construire un cercle tangent à trois droites

Les trois bissectrices intérieures d'un triangle ABC sont concourantes en I.
Le point I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, tangent aux trois côtés de ce triangle.

Programme de la classe de quatrième

Droites remarquables d'un triangle : construire les bissectrices, les hauteurs, les médianes, les médiatrices d'un triangle ;
en connaître une définition et savoir qu'elles sont concourantes.

Construction

Avec GéoPlan, il existe des commandes pour tracer la bissectrice d'un angle, le cercle inscrit et le centre de ce cercle.

Il est aussi possible de réaliser la « construction à la règle et au compas » comme suit :

Tracer la bissectrice de l'angle BAC en utilisant la configuration du losange :
Placer un point M sur le côté (AB).
Tracer le cercle de centre A passant par M qui coupe le deuxième côté (AC) en N.
Tracer les deux cercles de centre M et N passant par A.
Ces deux cercles se recoupent en P.
La droite (AP) est la bissectrice cherchée.
Elle coupe le côté [BC] au point A’.

Commande GéoPlan : touche A.

De même, tracer une deuxième bissectrice, celle de l'angle ABC.

La bissectrice (AS) coupe le côté [AC] en B’.

Commande : touche B.

Ces deux bissectrices se coupent en I.
La droite (CI) est la troisième bissectrice.
Elle coupe [AB] en C’.

Commande : touche C.

Par projection orthogonale du point I, par exemple sur le côté (AB),
on obtient un point en C₁qui permet de construire le cercle inscrit.

GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction :
« Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ».

Commande : touche D.

Scénario GéoPlan : taper C, A, A, B, B, C, D :

Charger la figure des trois bissectrices, taper C pour les effacer et retrouver uniquement le triangle ABC,
taper A pour tracer la bissectrice en A, retaper A pour l'effacer,
taper B pour tracer la bissectrice en B, retaper B pour l'effacer,
taper C pour retrouver les trois bissectrices,
terminer par D pour obtenir le cercle inscrit.

Au lycée, on construira aussi les trois cercles exinscrits du triangle avec les bissectrices extérieures, voir : géométrie du triangle

Télécharger la figure GéoPlan bissectr.g2w
Télécharger la figure Cabri bissectrices.fig

Les figures de base

Les triangles

Triangles isocèles (axe de symétrie), triangles équilatéraux (figure d'Euclide), triangles rectangles (inscrits dans un demi-cercle).

Programme de sixième : construire, à la « règle et au compas », un triangle connaissant les longueurs de ses côtés.

Droites remarquables dans le triangle (sixième ou seconde): médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice, cercle d'Euler

Programme de sixième :
Utiliser différentes méthodes pour tracer :

• la médiatrice d'un segment ;
• la bissectrice d'un angle.

Les quadrilatères usuels

Parallélogramme, rectangle, losange ; carré ; cerf-volant.

Pentagone - Construction de Ptolémée

Télécharger la figure GéoPlan penta_f1.g2w
Télécharger la figure GeoGebra penta_f1.ggb

Télécharger la figure Cabri penta_f1.fig
Télécharger la figure GeoLabo penta_f1.glb (Logiciel libre de géométrie : GeoLabo)

Dessiner un hexagone

Télécharger la figure GéoPlan hexagone.g2w
Télécharger la figure GeoGebra hexagone.ggb
Télécharger la figure Cabri hexagone.fig

Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : hexagone

Octogone

Cercles

Problème de tangence

Définition : tangentes à un cercle
      • en un point du cercle (quatrième)
      • passant par un point donné (troisième-seconde)

Tangentes communes à deux cercles : collège - lycée

Cercle tangent à deux droites passant par un point donné : collège - seconde - lycée

Le cercle

Cercle passant par trois points

Cercle tangent à trois droites

Cercles et triangle équilatéral

Montrer que le triangle ABC est équilatéral de côté R .

Télécharger la figure GéoPlan tri_2cer.g2w

Paragraphe extrait de la page : triangle équilatéral

Calcul d'angle

Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle

L'angle aigu BÂC du triangle est égal à somme x + y, vaut 45°.

Paragraphe extrait de la page : le carré au collège

 Télécharger la figure GéoPlan mon_199s.g2w

Aires

Les médianes d'un triangle sont concourantes.

Démonstration basée sur la transitivité de l'égalité :

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, le point G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).

On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.

Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales.

Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.

Prolongement : voir barycentre
Extrait de la page : aire et triangle

Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w

Alignement

D, I et J sont alignés.

 Télécharger la figure GéoPlan carre_tr_equi.g2w

Paragraphe importé de la page angles rotations

Problèmes de concours

Centre de gravité d'un quadrilatère

Télécharger la figure GéoPlan quad_f16.g2w
Télécharger la figure Cabri quadrilatere_milieux.fig

Extrait de la page barycentre

  • Le théorème de Pythagore

  • Le théorème de Thalès

Figure de Desargues

Figure de Pappus

Le théorème du papillon

Angles inscrits en troisième : angles inscrits égaux et supplémentaires, théorème limite de cocyclicité, milieux d'arcs et bissectrices, quadrilatères inscriptibles.
Fichiers GéoPlan : quadrilatères croisé ou convexe

Barycentres

Exemples de figures (cette page)

Parabole

Pyramide : l'espace en quatrième : pyramide, volume, patron - Partition d'un cube en trois ou six pyramides.

Théorème de Pythagore

Polygones réguliers

Quadrilatères

Théorème de Thales

Vecteurs

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Page créée le 21/11/2007, modifiée le 29/1/2009