Des idées de situations pour faire et enseigner des mathématiques avec un logiciel de géométrie dynamique.
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Aires au collègeCalculs d'aires par découpage Aires du parallélogramme et du trapèze Méthode des aires : démonstration utilisant la propriété d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ». Démonstrations avec la méthode des aires : Calcul de l'aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur Transformer un quadrilatère en triangle de même aire - Olympiades 2008 |
Aires au lycéeClasse de seconde Calculs d'aires par découpage Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes Classe de première Calcul d'aire minimum : minimum-maximum Carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire (olympiades) Un partage équitable - Olympiades 2008 Terminale S :
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Faire de la géométrie dynamiqueSuggestions, remarques, problèmes : me contacter. Page créée le 9/10/2009, modifiée le 12/5/2010 |
Calculs d'aire - FormulaireTriangleL'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté. Aire(ABC) = base × hauteur b × h = AC × BH avec la base BC = b et la hauteur issue de A : AH= h. Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi Aire(ABC) = bc sin A. Formule de Héron d'Alexandrie en fonction des longueurs des trois côtés : p = (a + b + c) désigne le demi-périmètre : Aire(ABC) = . GéoPlan calcule directement l'aire du triangle avec le menu : « Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle ». Cas particuliers : aire d'un triangle rectangle QuadrilatèreCarré : l'aire du carré de côté a est a2. Rectangle : l'aire du rectangle de longueur L et de largeur l est Ll. Parallélogramme : l'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. L'aire d'un parallélogramme est aussi égale au double de l'aire d'un des triangles, formé par une diagonale et les deux côtés consécutifs correspondants. Trapèze : l'aire d'un trapèze est le produit de la moyenne des bases par sa hauteur. Quadrilatère croisé : Le décomposer en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des diagonales. Quadrilatère et diagonales L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment. Cerf-volant : l'aire d'un cerf-volant est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales. Quadrilatère orthodiagonal : l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal, non croisé, est égale au demi-produit des longueurs des diagonales. Quadrilatère convexe quelconque : le décomposer en deux triangles le long d'une des diagonales, ou bien transformer ce quadrilatère en un triangle (figure de droite) Pentagone : calcul de l'aire du pentagone par découpages (figure de gauche) Polygone convexePour trouver l'aire d'un polygone convexe, le découper en triangles, ou bien transformer le polygone en triangle CercleCercle : l'aire du cercle de rayon r est πr2. Segment circulaire (segment de cercle ou lunule) : l'aire du segment circulaire orienté AB, sur un cercle de centre O, est celle du secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OB) et l'arc AB à laquelle selon les cas, on ajoute ou on retranche l'aire du triangle OAB. Aire maximale d'un triangleGéoPlan permet la mise en place de situations qui pourraient paraître complexes, mais auxquelles la dynamique de la figure permet de donner du sens. Certains de ces exercices seront alors abordables au collège en classe de troisième. Utilisation du logiciel GéoPlan pour une recherche Dans ces exercices est utilisée une seule figure avec deux cadres : un cadre pour le triangle, un cadre pour la fonction représentative de l'aire. La recherche d'un triangle d'aire maximale se fait en deux étapes. Dans un premier temps, en déplaçant un des sommets du triangle, on trouve en général une première condition d'optimisation du problème, assez fréquemment un triangle isocèle. On validera cette hypothèse par une méthode analytique (maximum de fonction lu graphiquement avec GéoPlan ou calculé avec une dérivée) ou par des considérations géométriques. Dans un deuxième moment, on reprend la figure assujettie à cette hypothèse et on recommence la recherche avec deux points fixes et un point variable. Souvent l'énoncé proposera d'emblée cette situation avec un seul point libre. Références Aire maximale d'un triangle inscrit dans un carré Triangle inscrit dans un rectangle : Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle Aire maximum d'un triangle de périmètre fixé : Rectangle Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle rectangle - démonstration par l'étude d'une parabole - démonstration géométrique Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005 Calculs de VolumeVolume d'un parallélépipède rectangle : Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE. Volume d'un prisme droit : Aire de la base × hauteur Volume d'un cylindre : Aire de la base × hauteur Volume d'une pyramide (ou du cône) : V = × Sbase × hauteur Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) |