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Calculs et découpage d'aires, angles et trigonométrie avec un logiciel comme GéoPlan

Des idées de situations pour faire et enseigner des mathématiques avec un logiciel de géométrie dynamique.

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Aires au collège

Calculs d'aires par découpage

Aires et triangles

Aires du parallélogramme et du trapèze

Triangle rectangle

Quadrilatère

Méthode des aires : démonstration utilisant la propriété d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès
      théorème de Pythagore

Calcul de l'aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur

Transformer un quadrilatère en triangle de même aire - Olympiades 2008

Problèmes de partage

Aires au lycée

Classe de seconde

Calculs d'aires par découpage
    Multiplication de l'aire d'un triangle
    Aire formée par deux segments circulaires
    Aires dans un rectangle

Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes

Optimisation d'aires

Classe de première

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1L-TL

Carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire (olympiades)

Un partage équitable - Olympiades 2008

Terminale S :
calculs d'aires et de volumes

Intégration par la méthode des rectangles ou des trapèzes

Volume maximal

Calculs du volume d'une cuve

Avec GeoGebra

Optimisation d'aires en seconde

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Page créée le 9/10/2009, modifiée le 12/5/2010 

Calculs d'aire - Formulaire

Triangle

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Aire(ABC) = 1/2 base × hauteur 1/2 b × h = 1/2 AC × BH avec la base BC = b et la hauteur issue de A : AH= h.

Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi Aire(ABC) = 1/2 bc sin A.

Formule de Héron d'Alexandrie en fonction des longueurs des trois côtés :

p = 1/2(a + b + c) désigne le demi-périmètre : Aire(ABC) = rac(p(p - a)(p - b)(p - c)).

GéoPlan calcule directement l'aire du triangle avec le menu : « Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle ».

Cas particuliers : aire d'un triangle rectangle
l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est rac(3)/4 a2.

Quadrilatère

Carré : l'aire du carré de côté a est a2.

Rectangle : l'aire du rectangle de longueur L et de largeur l est Ll.

Parallélogramme : l'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

L'aire d'un parallélogramme est aussi égale au double de l'aire d'un des triangles, formé par une diagonale et les deux côtés consécutifs correspondants.

Trapèze : l'aire d'un trapèze est le produit de la moyenne des bases par sa hauteur.

Quadrilatère croisé : Le décomposer en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des diagonales.

Quadrilatère et diagonales

L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.

Cerf-volant : l'aire d'un cerf-volant est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.

Quadrilatère orthodiagonal : l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal, non croisé, est égale au demi-produit des longueurs des diagonales.

Transformation d'un quadrilatèreQuadrilatère convexe quelconque : le décomposer en deux triangles le long d'une des diagonales, ou bien transformer ce quadrilatère en un triangle (figure de droite)

Décomposition du pentagone en 3 trianglesPentagone : calcul de l'aire du pentagone par découpages (figure de gauche)

Polygone convexe

Pour trouver l'aire d'un polygone convexe, le découper en triangles, ou bien transformer le polygone en triangle

Cercle

Cercle : l'aire du cercle de rayon r est πr2.

Segment circulaire (segment de cercle ou lunule) : l'aire du segment circulaire orienté AB, sur un cercle de centre O, est celle du secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OB) et l'arc AB à laquelle selon les cas, on ajoute ou on retranche l'aire du triangle OAB.

Aire maximale d'un triangle

GéoPlan permet la mise en place de situations qui pourraient paraître complexes, mais auxquelles la dynamique de la figure permet de donner du sens. Certains de ces exercices seront alors abordables au collège en classe de troisième.

Utilisation du logiciel GéoPlan pour une recherche

Dans ces exercices est utilisée une seule figure avec deux cadres : un cadre pour le triangle, un cadre pour la fonction représentative de l'aire.

La recherche d'un triangle d'aire maximale se fait en deux étapes.

Dans un premier temps, en déplaçant un des sommets du triangle, on trouve en général une première condition d'optimisation du problème, assez fréquemment un triangle isocèle. On validera cette hypothèse par une méthode analytique (maximum de fonction lu graphiquement avec GéoPlan ou calculé avec une dérivée) ou par des considérations géométriques.

Dans un deuxième moment, on reprend la figure assujettie à cette hypothèse et on recommence la recherche avec deux points fixes et un point variable. Souvent l'énoncé proposera d'emblée cette situation avec un seul point libre.

Références

Aire maximale d'un triangle inscrit dans un carré

Triangle inscrit dans un rectangle :
   pliage du coin d'une feuille, un devoir qui ne fait pas un pli !
   maxi-mini

Aire maximale d'un triangle inscrit dans un cercle

Aire maximum d'un triangle de périmètre fixé :
    optimisation en troisième
    aire maximale d'un triangle isocèle à l'épreuve pratique de TS

Rectangle

Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle rectangle - démonstration par l'étude d'une parabole - démonstration géométrique
Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un trapèze

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005

Calculs de Volume

Volume d'un parallélépipède rectangle : Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

Volume d'un prisme droit : Aire de la base × hauteur

Volume d'un cylindre : Aire de la base × hauteur

Volume d'une pyramide (ou du cône) : V = 1/3 × Sbase × hauteur

Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône)