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Règle à bords parallèles

Constructions uniquement avec une règle, non graduée, à bords parallèles.

Sommaire

1. Configuration du losange
2. Partage d'un segment en n parties égales
3. Milieu d'un segment
       a. Sans compas
       b. Milieu d'une corde
4. Retrouver le centre
5. Tiers d'un segment
6. Parallèle à une droite
7. Symétrique d'un point par rapport à une droite
8. Triangle équilatéral dans une bande rectangulaire

Le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par cette intersection inaccessible

Construction, avec la règle à bords parallèles, d'une bissectrice d'un angle de sommet inaccessible

Construction, à la règle et l'équerre, d'une perpendiculaire ou d'un carré passant par un point inaccessible

Page no 171, déplacée le 13/5/2011

Faire de la géométrie dynamique

Construction au compas seul

Problèmes de construction
au collège

Constructions à l'équerre

Mathématiques.net
Couper un segment
en trois

Tiers d'un segment

Règle MSF Avec la règle à bords parallèles seule, on peut construire la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On a la structure affine du plan : on peut construire le milieu d'un segment.

Avec GéoPlan, nous simulerons la règle, de largeur l = 1, avec la macro « règle à bords parallèles » qui, à partir d'un des bords (d1), tracera l'autre bord une droite (d2) avec l'instruction :

d2 deuxième bord de la règle d1.

L'orientation induite par GéoPlan sur la droite (d1) déterminant le côté où la règle sera tracée.

Construction de la règle passant par deux points situés sur les deux bords
Lorsque A et B sont deux points, à placer sur les bords opposés, nous tracerons le cercle de diamètre [AB] et, par exemple, le cercle de centre A et de rayon l.

Si AB ≥ l, un des points d'intersection de ces deux cercles est situé sur le bord de la règle. L'autre bord s'obtient par parallélisme.
Si AB > l, le cercle de centre B permet d'obtenir un deuxième tracé.

 1. Configuration du losange

  L'intersection de deux bandes parallèles de même largeur est toujours un losange.

Bissectrice d'un angle BÂC

a. Bissectrice d'un angle BÂC.

Placer la règle sur chaque côté de l'angle.
Les deux droites tracées se coupent en I formant
un losange de diagonale [AI].

(AI) est donc la bissectrice de BÂC.

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Voir aussi : constructions de la bissectrice

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Faire de la géométrie dynamique

Médiatrice de [AB]

b. Médiatrice de [AB]

Soit [AB] un segment de longueur supérieure à la largeur de la règle.

Construction d'un losange de diagonale [AB] :
On incline la règle de telle façon que A et B soient situés chacun sur un bord de la règle. Les deux couples de parallèles ainsi créés se rencontrent en C et D. ACBD est un losange.
(CD) est la médiatrice de [AB].
[AB] coupe [CD] en son milieu (Problème 12 de l'IREM de Grenoble).

Cette figure permet aussi de trouver le milieu de [AB] intersection des deux diagonales du losange ACBD.

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 2. Partage d'un segment en parties égales

Cette méthode, plus théorique que pratique, permet de partager un segment de longueur supérieur à n fois la largeur de la règle. Dans la pratique, pour diviser le segment [AB], utiliser n règles identiques formant un réseau de droites parallèles et faire pivoter un des bords du réseau autour de A, jusqu'à ce que l'autre bord rencontre B.

Partage d'un segment

Avec GéoPlan, trouver B’ un des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre A et de rayon n fois la largeur de la règle.

Le réseau de parallèles à (BB’) partage [AB].

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Partage d'un segment

Lorsque le segment est trop petit, à partir d'un point A’, tracer un faisceau de n + 1 parallèles qui partage [A’B’], parallèle à [AB], en n parties égales.
Rabattre la division à partir du point O, intersection de (AA’) et (BB’).

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 3. Milieu d'un segment

a. Construction de Hilbert

Grundlagen der Geometrie

Avec une simple règle, sans compas on ne peut pas déterminer précisément le milieu d'un segment.
Tout change si la règle non graduée est à bords parallèles.
Elle permet alors non seulement de tracer une droite, mais aussi une parallèle à cette droite.

Avec une règle à bords parallèles, comment est-il possible de construire le milieu d'un segment donné ?

Milieu d'un segment Pour construire le milieu, lorsque le segment est trop court, à défaut de la construction du losange, on a les constructions suivantes :

Cas général :
tracer une parallèle à [AB] et placer un point C (presque quelconque)

 Commande GéoPlan : touche 1

  – Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB)
      et placer un point C à l'extérieur de ces deux droites.
  – Mener deux sécantes (CA) et (CB) qui coupent (d) en E et F.
  – Tracer (BE) et (AF) qui se coupent en K.
  – Le point I, intersection de (AB) et (CK), est le milieu de [AB].

Cas particulier :
tracer une parallèle à [AB] et placer un point C (tel que la distance de C à cette parallèle soit égale à la distance des deux droites : on a alors les trois médianes de ABC)
 Collège - Commande GéoPlan : touche 2


  – Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB), et une deuxième parallèle (d2) à (d).
  – Le point C est placé sur cette deuxième parallèle.
  – E et F sont alors les milieux de [AC] et [BC]. Les médianes (BE) et (AF) du triangle ABC se coupent en K son centre de gravité.
  – La troisième médiane (CK) rencontre [AB] en son milieu I.

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Construction du milieu, avec le compas seul
Réciproque : construire une parallèle avec règle et milieu

b. Milieu d'une corde

Milieu d'une corde Trouver le milieu d'une corde [AB] d'un cercle suffisamment grand, avec une règle à bords parallèles.

  – Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB).

  – Si la droite (d) coupe le cercle en deux points E et F et si les droites (AE) et (BF) se coupent en C ; réaliser la construction analogue à la figure précédente.

  – Tracer les segments (BE) et (AF) qui se coupent en K.

  – La droite (CK) coupe [AB] en son milieu I.

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4. Retrouver le centre

Le centre perduNapoléon Bonaparte est censé avoir découvert comment à l'aide exclusive d'un compas, on pouvait retrouver le centre d'un cercle.
Voici comment obtenir le même résultat avec, pour tout instrument, une règle à bords sont parallèles ?

Solution

La construction ci-contre permet de tracer un diamètre si la largeur de la règle est inférieure au diamètre du cercle.

On place la règle sur le cercle et on trace les deux parallèles (en bleu) le long de ses deux bords. Le premier bord rencontre le cercle en A, le deuxième à l'opposé en B.

On déplace la règle et on fait pivoter le bord inférieur autour de B jusqu'à ce que le bord supérieur rencontre le point A. On trace (en rouge) les deux parallèles le long des bords de la règle.

Les points d'intersection ainsi déterminés sont sur un diamètre du cercle (médiatrice de [AB]).

Il suffit d'un deuxième diamètre pour obtenir le centre.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mon_079.g2w
Voir aussi : retrouver le centre avec deux médiatrices

5 Tiers d'un segment

Tiers d'un segment À l'aide de la règle, construire un réseau de losanges identiques, une diagonale d'un des losanges ayant pour sommets A et B.

En traçant les segments [DD1] et [DD2] reliant les sommets de ce réseau, on trouve les milieux P et Q des côtés du losange ACBD, et on en déduit les points C1 et C2 partageant le segment [AB] en trois parties égales.

On retrouve le partage en trois de la diagonale du parallélogramme ACBD par les droites (DD1) et (DD2) joignant D aux milieux des côtés opposés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan regle_diviser_3.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri regle_diviser_3.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo regle_diviser_3.glb
      (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Autres méthodes :

Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages en troisième
Tiers d'un segment avec la règle à bords parallèlles

6. Parallèle à une droite

Parallèle à une droitePour tracer la parallèle à la droite (AB) passant par un point P il suffit de tracer un faisceau de trois droites parallèles à (AP) qui coupent (AB) en A, C et E.

P, A et E sont les trois premiers sommets d'un parallélogramme de centre O intersection de la deuxième parallèle et de (PE).

La droite (AO) coupe la troisième parallèle en Q, quatrième sommet du parallélogramme.

La droite (PQ) est la parallèle à (AB) cherchée.

g2w Télécharger la figure GéoPlan regle_parallele.g2w

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Voir : construction à la règle seule d'une parallèle à deux droites parallèles

7. Symétrique d'un point par rapport à une droite

Symétrique d'un point par rapport à une droiteOn donne une droite (d), un point A non situé sur (d),
construire le point A’ symétrique de A par rapport à (d), en utilisant la règle à bords parallèles.

Solution

Le point A sur un des bords de la règle, on trouve les points B et C intersections des bords de la règle avec (d). On retourne la règle de telle façon que B et C soient situés chacun sur l'autre bord de la règle. On obtient un tracé symétrique des deux positions de la règle en rouge avec un losange de diagonale [BC].

On recommence avec deux autres points D et E et obtient deux autres tracés en bleu où ces deux points sont sur les bords de la règle, en traçant le losange de diagonale [DE].

A’ est le symétrique de A : c'est l'intersection des droites (BA’) et (DA’) symétriques de (BA) et (DA) par rapport à (d).

Remarque : cette construction permet aussi de trouver la perpendiculaire abaissée du point A sur la droite (d) : la droite (AH).

g2w Télécharger la figure GéoPlan regle_sym_point.g2w

Voir aussi : symétrique d'un point par rapport à une droite

 8. Construction d'un triangle équilatéral par pliage d'une bande rectangulaire

a. Construction d'un triangle ayant pour côté, la largeur de la bande

Triangle ayant pour côté, la largeur de la bande

Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de largeur a = AB suivant la médiatrice (A1B1) du rectangle.

Plier l'angle en B en rabattant le coin A, sur la médiatrice (A1B1), en C.
Le coin BAD se trouve alors en BCD.

C est équidistant de A et B, soit BC = AC = a.
Par le pliage BC = BA = a. Les trois côtés sont de même longueur.
ABC est un triangle équilatéral de côté a.

Avec GéoPlan, construire le point C intersection de [A1B1] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [AC] coupe (AA’) en D.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bande_equi.g2w

Retrouver ces paragraphes dans : constructions par pliages

b. Construction d'un triangle ayant pour hauteur, la hauteur de la bande

Triangle ayant pour hauteur, la hauteur de la bande

Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de hauteur h = AB suivant la médiatrice (A1B1) du rectangle.

Plier l'angle en B pour amener le coin A, sur la médiatrice (A1B1), en H.

On obtient le pied H de la hauteur [BH] du triangle. Le pli marque le côté [BC]. Marquer enfin le pli (CH) pour obtenir le côté [CD].

H est équidistant de A et B. Par le pliage BH = BA = h. H est le milieu de [CD] du triangle équilatéral BCD de hauteur h.

Avec GéoPlan, construire le point H intersection de [A1B1] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [AH] coupe (AA’) en C et la droite (CH) coupe (BB’) en D, troisième sommet du triangle équilatéral BCD.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bande_equi_1.g2w

Triangle équilatéral - Règle à bords parallèles

c. Règle à bords parallèles

Sur une bande rectangulaire de largeur AB = 2l, placer A sur un bord de la règle et B sur l'autre bord, ce deuxième bord coupe le rectangle en C, reporter deux fois la règle pour obtenir le point D. BCD est équilatéral.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bande_equi_2.g2w

Patron du tétraèdre régulier

d. Patron du tétraèdre régulier

Pour construire un tétraèdre régulier avec cette bande, compléter la construction par quatre triangles équilatéraux.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bande_equi_3.g2w

 e. Construction à partir de deux cercles

Construction à partir de deux cercles

La règle à bords parallèles de largeur l permet de tracer un triangle équilatéral de hauteur AB = 2 l.

Avec GéoPlan, tracer deux cercles de rayon l ; l'un de diamètre [AB] et l'autre de centre A. Ces deux cercles se coupent en E et F.

AE/AB = l/2l = 1/2 ; c'est le sinus de l'angle ABE = 30°. L'angle EBF vaut 60°.

Les droites (BE) et (BF) et leurs parallèles passant par A forment un losange AIBJ.

En plaçant un bord de la règle sur [IJ], l'autre passe par A ou B. Pour A on obtient la perpendiculaire à (AB) qui coupe (BE) en C et (BF) en D.

BCD, ayant (AB) comme axe de symétrie et l'angle au sommet CBD de 60°, est un triangle équilatéral.

g2w Télécharger la figure GéoPlan regle_equilateral.g2w

Construction à partir de deux cercles

La règle à bords parallèles de largeur l permet la construction complète d'un triangle équilatéral d'axe (AB’).

Première étape : construction de la médiatrice (KL) de [AB’].
Comme ci-contre, tracer le cercle de diamètre [AB’] et le cercle c2 de centre A et de rayon l ; ces cercles se coupent en I et J. Les bords de la règle placés sur A et (BI), puis sur (BJ) forment le losange AKB’L.

Deuxième étape : construction de (AN) parallèle à (KL) passant par A.
Comme au 2.3 avec la règle tracer la troisième parallèle à (KA) et (B’L) qui coupe (KL) en M. On complète le parallélogramme de sommet A, K, M et de centre O par le point N.

Troisième étape : avec les bords de la règle construire les parallèles à (AN). Sur [AB’) on obtient les points P puis B tels que AP = l et PB = l.

Quatrième étape : terminer comme ci-contre.

g2w Télécharger la figure GéoPlan regle_equilateral2.g2w
Voir : construction d'un triangle équilatéral par pliage d'une feuille rectangulaire

 

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