Références historiques sur le site MIAM.

Histoire des mathématiques

Grands mathématiciens

Abul-Wafa

Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan connu pour ses apports en trigonométrie et pour ses constructions à la règle et au compas.
Il est né en 940 à Buzjan dans la région de Khorasan. À l'âge de vingt ans, il part pour Bagdad où il restera jusqu'à sa mort en 998.

Voir : problème d'Abul-Wafa - triangle équilatéral inscrit dans un carré
Carré d'aire trois fois plus grande

Apollonius (fin du I^er siècle) : théorème de la médiane, cercle

Archimède

arbelos d'Archimède
quadrature d'Archimède
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes au même point.

Babylone

Calcul approché de
Puzzle de Pythagore

Bevan

Bioche - Histoire des Mathématiques

Charles Bioche

Notice dans Bulletin of Americain Mathematical Society

Brahmagupta (mathématicien indien du VII^e siècle)
Théorème : si les diagonales d'un quadrilatère inscriptible sont perpendiculaires l'une à l'autre et se coupent en un point O, une droite passant par O et perpendiculaire à l'un quelconque des côtés coupe le côté opposé en son milieu.

Brocard

Giovanni Céva : mathématicien italien 1648-1734
Théorème de Céva

Théodore de Cyrène
Spirale

Desargues

Girard Desargues (Français 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours et birapport.

René Descartes

René Descartes, généralement connu pour son œuvre philosophique, fut aussi un grand mathématicien.
Son apport principal dans ce domaine est la numérisation de la géométrie.

La géométrie

Professeur de l'ancien lycée René Descartes de Bouaké, je voulais présenter l'œuvre mathématique de cet auteur.
Je propose donc des extraits et commentaires de la géométrie à propos du théorème de Thalès, des problèmes du second ou du troisième degré.
Voir aussi, dans le problème de Pappus, les coniques comme lieux de points (niveau bac + 2).

Le café pédagogique : Il y a quelques années, nous vous avions recommandé le site de P. Debart. Depuis, il a bien évolué : nous vous incitons à aller explorer le travail relatif à Descartes. La lecture des textes mathématiques du célèbre philosophe y est accompagnée de figures interactives du meilleur effet.

La Géométrie sur le net

WikiSource :
mode page : Fac-similé,
mode texte en continu.
Œuvres de Descartes, édition Victor Cousin (tome V)

WikiPédia
it : La geometria
en : La géométrie
fr : Théories scientifiques de Descartes

Relation de Descartes

Quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si, et seulement si, on a la relation : .

Tangentes et normales

Descartes donne une méthode pour déterminer la normale à certaines courbes.
Pour cela, il cherche le centre d'un cercle touchant la courbe selon un point double. Le cercle sera alors tangent à la courbe et son centre placé sur la perpendiculaire à la tangente. Il procède ainsi pour la conchoïde de Nicomède.
Il utilise également cette méthode pour ses ovales, en rapport avec la fabrication de lentilles optiques de qualité.
Il détermine également quelle est la tangente en un point de la cycloïde.

Extrait de Wikipédia : René Descartes

Théorème de Descartes

Ce théorème, découvert par René Descartes en 1643, établit une relation entre les rayons de quatre cercles tangents entre eux.
Il peut être utilisé pour construire un quatrième cercle tangent à trois autres.

Voir Wikipédia : Théorème de Descartes

Dürer

« Albert Dürer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Dürer maniait très habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques. Le pentagone de Dürer est un pentagone, construit avec une seule ouverture de compas ; mais d'autres géomètres ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative. »

Source : Ferdinand Hoefer, Histoire des mathématiques, Paris, Hachette, 1874, p. 337

Éléments d'Euclide

(Alexandrie 300 avant Jésus-Christ)

Les treize livres d'Euclide constituent une synthèse remarquable des mathématiques grecques.
Ils ont fondé la méthode synthétique qui, à partir des propriétés géométriques établies précédemment, permet de déduire la propriété cherchée.
Toutes les constructions s'y effectuent uniquement à la règle et au compas.

Euler

Cercle et droite d'Euler
relations d'Euler : polyèdre, triangle

Méthode d'Euler

Méthode de résolution numérique d'une équation différentielle où on remplace la dérivée par l'approximation au premier ordre obtenue à partir d'une valeur de la fonction et de celle au pas de temps suivant.

Voir : méthode d'Euler

Wikipédia : Méthode d'Euler

Relations d'Euler

Quatre relations d'Euler (1707-1783) :

Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Relation entre le nombre de faces, de sommets et d'arêtes d'un polyèdre convexe.

La formule d'Euler la plus célèbre concerne les polyèdres convexes : f + s = a + 2 où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.

Dans le triangle

Relation vectorielle d'Euler

Si O est le centre du cercle circonscrit et H l'orthocentre d'un triangle ABC, alors = + + .

Relation d'Euler

Si O est le centre du cercle circonscrit d'un triangle, H l'orthocentre et G le centre de gravité, les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler.

GH = 2 GO (relation d'Euler : G est au tiers de [OH] ).

Relation d'Euler

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit

Si le cercle circonscrit d'un triangle a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, la relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI² = R² - 2Rr.

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Fagnano (mathématicien italien 1682-1766)

Problème de Fagnano : dans un triangle, trouver un triangle inscrit de périmètre minimum.

Fermat

Feuerbach (1800-1834)

Théorème : dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.
Le point de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit s'appelle le point de Feuerbach.
Théorème découvert en 1822 par Feuerbach, puis démontré par M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893.

Fibonacci : suites, nombre d'or
Une histoire couple de lapins qui donnent naissance à un couple d'animaux qui à la génération suivante donne naissance à un nouveau couple et ainsi de suite… (livre de l'abaque «Liber Abaci» de Léonard de Pise dit Fibonacci paru en 1202).

Fraction égyptienne

Les anciens Égyptiens ne connaissaient, comme fractions, que les inverses d'entiers de numérateur 1.
Ils écrivaient les rationnels de ] 0 ; 1 [ comme sommes d'inverses d'entiers strictement croissants.

Gergonne Joseph (mathématicien français 1771-1859)
Théorème de Gergonne (Coordonnées barycentriques d'un point dans un plan)
Point et triangle de Gergonne (Points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit)

Grands problèmes de la géométrie grecque :

Points et nombres constructibles
Quadrature du cercle : π et le papyrus Rhind
Duplication du carré et du cube
Trisection de l'angle : la quadratrice de Dinostrate

Héron d'Alexandrie (I^er siècle)
relations métriques du triangle
Calcul approché de

Hippocrate de Chios vers 450 avant J.-C. (- 470 ?, - 410 ?)

ABC étant un triangle rectangle en C, les lunules d'Hippocrate sont les deux croissants compris entre les demi-cercles de diamètres [AC] et [CB] (construits extérieurement au triangle) et les arcs AC et CB du demi-cercle de diamètre [AB] circonscrit au triangle.
Au V^e siècle avant J.-C., Hippocrate de Chios prouva la « quadrature » des lunules : l'aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires de deux lunules.

Lemoine Émile

mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle, 1840 - 1912.
Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle.

Liu Hui

Chine, époque Han, III^e siècle

Preuves du théorème de Phytagore : puzzle de Gougu,
puzzle de Bhaskara

Marolois Samuel

La quadrature du rectangle (1617)
Construction du carré à partir d'un côté

Ménélaüs d'Alexandrie

Mathématicien grec de la fin du I^er siècle, auteur de trois livres : les sphériques consacrées aux triangles sur une sphère.

Miquel

Quadrilatère complet, point de Miquel et points cocycliques : angle-rotation
Configuration du quadrilatère complet, point de Miquel : plan projectif
Autres cercles concourants, démontré par Miquel, voir : triangles de Napoléon

Nagel

Napoléon

Triangles de Napoléon : constructions avec des triangles équilatéraux
Triangles attribués à l'empereur. D'après Henri Lebesgue, Lagrange lui aurait dit : « Mon Général, nous nous attendions à tout de vous, sauf à des leçons de géométrie ».
Problème de Napoléon, retrouver le centre d'un cercle au compas seul.

Newton

Philosophe et mathématicien allemand, né à Leipzig en 1646, mort à Hanovre en 1716.

Théorème de Newton dans un quadrilatère complet : les milieux des diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton du quadrilatère.
Droite de Newton d'un triangle.
Relation de Newton pour une division harmonique : [A, B, C, D] = −1 si et seulement si IA² = IB² = . où I est le milieu de [AB].

Nicomède
Mathématicien grec du II^e siècle avant J.-C., avec la conchoïde, il fut le premier a réaliser une construction mécanique d'une courbe plane (autre que le cercle).

Œnopide de Chios (V^e siècle avant J.-C.) : construction de la médiatrice
Eudème, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (V^e siècle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. » (Histoire des mathématiques - Colette - 1973 - page 55).

La parabole chez les Anciens

Pappus

Théorème de Pappus : plan projectif
Parallélogramme de Pappus : homothétie
Figure de Pappus : Thalès

Problème de Pappus

Étant donné quatre droites, le problème est de trouver le lieu géométrique des points dont les segments menés de ce point à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux.
Le problème de Pappus a permis à Descartes d'expliciter, dans sa géométrie, ses théories sur les solutions « à la règle et au compas » et « la nature des courbes planes ».

Platon (428 à 348 avant J.-C.)

Duplication du carré
Solides de Platon, polyèdres
Platon affirmait que toute la connaissance réside dans le nombre d'or.

Poncelet Mathématicien français (1788-1867)

Ptolémée (milieu du II^e siècle) : pentagone, quadrilatère inscriptible
Inventeur de la cartographie.

Pythagore : démonstrations géométriques du théorème

Sierpinski

Socrate
Duplication du carré

Sulbasutras

Construction du carré à partir d'une médiatrice
Constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés
La quadrature du rectangle

Taylor

Terquem

Thalès

théorème de Thalès : Cabri, GéoPlan
polygone : construction dite « de Thalès »

Evangelista Torricelli (1608-1647), parabole

Tücker

Varignon

Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli, est surtout connu pour avoir assis en France les idées de Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de Newton.

Colette Jean-Paul - Histoire des mathématiques - Éditions du renouveau pédagogique - 1973
Voir : Varignon - Marc Blanchard - Plot n^o 58 - 1992

Vecten

Wantzel Pierre-Laurent, mathématicien français, a montré en 1837 qu'un nombre constructible est algébrique sur Q et son degré est une puissance de 2.
La réciproque est très utile pour montrer qu'un nombre n'est pas constructible.

Viète

Apollonius Gallus : problème des trois cercles

Léonard de Vinci

Duplication du carré

Wallis

Construction d'une moyenne géométrique
Calcul d'une racine carrée

Faire de la géométrie dynamique

Accueil : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart

Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.

Page créée le 29/10/2007, mise à jour le 25/11/2009

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