Sommaire

I. Construction uniquement à la règle

1.1. Figure constructible à la règle seule
1.2. Symétrique d'un point par rapport à une droite
1.3. Affaire de logique n^o 484 : compas interdit
1.4. Parallèle à deux droites
1.5. La règle trop courte

II. La règle et un cercle

2.1. Parallèle ou perpendiculaire à une droite sécante au cercle
2.2. Perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite

 Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan

Page n^o 101, créée le 4/1/2007, mise à jour le 7/11/2009

III. Règle à bords parallèles

3.1. Configuration du losange
3.2. Partage d'un segment en n parties égales
3.3. Milieu d'un segment
       a. Sans compas - Affaire de logique n^o 479
       b. Milieu d'une corde
3.4. Le centre perdu
        Affaire de logique n^o 79
3.5. Tiers d'un segment
3.6. Parallèle à une droite
3.7. Symétrique d'un point par rapport à une droite
3.8. Triangle équilatéral dans une bande rectangulaire

Le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par cette intersection inaccessible

Construction, à la règle et l'équerre, d'une perpendiculaire ou d'un carré passant par un point inaccessible

Faire de la géométrie dynamique

Construction au compas seul

Constructions élémentaires

Problèmes de construction
au collège

Construction à la règle et au compas

Constructions à l'équerre

Des points de base étant donnés, un point est constructible à la règle s'il est point d'intersection de deux droites, chacune de ces deux droites passant par deux points qui sont des points de base ou des points déjà construits.

Pour les constructions à la « règle et au compas », deux points de base suffisent.
À la règle seule, avec deux ou trois points de base, il n'est pas possible d'obtenir de nouveaux points.

Construction avec quatre points de base

Première étape

On choisit quatre points A, B, C, D formant un quadrilatère autre qu'un trapèze.

On trace les six droites que ces quatre points permettent de définir.

On obtient trois nouveaux points d'intersection : E, F, G.

Deuxième étape

À partir des quatre points de base et des trois points d'intersection obtenus, on trace les trois nouvelles droites possibles.

On obtient six nouveaux points d'intersection : H, I, J, K, L, N.

Troisième étape

Les six points H, I, J, K, L, N sont alignés, trois à trois, sur quatre droites formant un quadrilatère complet.

Et ainsi de suite…

Première étape

Télécharger la figure GéoPlan quatre_pt_base_1.g2w

Deuxième étape

Télécharger la figure GéoPlan quatre_pt_base_2.g2w

Troisième étape

Télécharger la figure GéoPlan quatre_pt_base_3.g2w

Les propriétés d'une figure constructible à la règle sont conservées par projection centrale. Ce n'est pas le cas pour les milieux, les parallèles ou les symétries.
Il en découle qu'il est impossible, avec seulement une règle, de construire le milieu d'un segment ou de mener, par un point, une parallèle à une droite.

Les figures de la géométrie projective : quadrilatère complet, polaire, figures des théorèmes de Pappus et Desargues… sont constructibles à la règle seule ; mais pas la droite de Newton, nécessitant la notion de milieu.

1.2. Symétrique d'un point par rapport à une droite

On donne une droite (d), les points A et B, non situés sur (d), ainsi que le point A’ symétrique de A par rapport à (d).

Construire le point B’ symétrique de B, par rapport à (d), en utilisant la règle seule.

Solution

La droite (AB) coupe (d) en I, (A’B) en J.
Les droites (IA’) et (JA) se coupent en B’.
La droite (IA) a pour symétrique (IA’), la droite (JA’) a pour symétrique (JA).

Le point B, intersection de (IA) et (JA’) a pour symétrique l'intersection des images (IA’) et (JA), soit le point B.

Remarques : cette solution nécessite que les droites (AB) et (AB’) ne soient pas parallèles à (d).

La construction permet aussi de trouver la perpendiculaire abaissée du point B sur la droite (d) : la droite (BB’).

Télécharger la figure GéoPlan sym_point.g2w
Symétrique d'un point par rapport à une droite : voir règle à bords parallèles

1.3. Compas interdit
Affaire de logique n^o 484 : Le Monde 13 juin 2006

Sur un carré ABCD on place les points P et Q comme sur la figure de manière que AP = BQ.

Comment construire la perpendiculaire à (PQ) issue de D à l'aide d'une simple règle non graduée en un minimum de tracés ?

Élisabeth Busser et Gilles Cohen
© POLE 2006
200 nouveaux problèmes du Monde - n^o 377, pages 64 et 83 - POLE 2007

Commandes GéoPlan :
Taper S pour la Solution,
puis taper D pour la Démonstration.

Télécharger la figure GéoPlan mon_484.g2w

Voir : reconnaître un orthocentre - configurations en seconde
Voir aussi : Labomath
Affaire de logique n^o 464 : règle ou compas ?
Affaire de logique n^o 479 : milieu d'un segment sans compas

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Faire de la géométrie dynamique

Solution

3 tracés suffisent :
les droites (AQ) et (CP) se coupent en H.

(DH) est perpendiculaire à (PQ).

Démonstration

La rotation de centre O, centre du carré, et d'angle 90°, dans le sens rétrograde, transforme P en Q, la droite (DP) en (AQ) ; ces deux droites sont perpendiculaires.
De même, la droite (CP) est perpendiculaire à sa transformée (DQ).
(AQ) et (CP) sont deux hauteurs du triangle DPQ qui se coupent en son orthocentre H.
(DH), troisième hauteur du triangle, est perpendiculaire à (PQ).

Si on donne le tracé deux droites parallèles, alors le tracé de la parallèle à ces deux droites, passant par un point extérieur, est possible uniquement avec la règle.

On donne deux droites parallèles distinctes (d) et (d’) et un point P extérieur.
Construire la droite parallèle à (d) et (d’) passant par le point P, en n'utilisant que la règle.

P entre les deux droites

P à l'extérieur des deux droites

Solution

Méthode du faisceau de droites passant par un point I, avec la polaire du point P par rapport à (d) et (d’).

À partir de deux points A et B différents sur (d), tracer deux sécantes (AA’) et (BB’) passant par P avec A’ et B’ sur (d’).
Soit I le point d'intersection des droites (AB’) et (BA’).

Placer un point C, distinct de A et B, sur (d) et soit C’ l'intersection de (IC) avec (d’).
Les droites (BC’) et (CA’) se coupent en Q.

La droite (PQ) parallèle à (d) et (d’) est construite à la règle seule.

Remarques : si le point P est équidistant de (d) et (d’), les droites (AB’) et (BA’) sont parallèles et leur intersection est vide. Il faut tracer une autre parallèle : pourquoi pas la parallèle à (AB’) et (BA’) passant par C, point de (d) à l'extérieur du segment [AB]. Cette parallèle coupe (d’) en C’. Le centre Q du parallélogramme BCC’B’ permet de trouver la parallèle (PQ).

Avec la règle à bords parallèles seule, cette méthode permet de construire la parallèle à une droite donnée passant par un point donné : en plaçant un des bords de la règle sur la droite donnée (d), le deuxième bord permet de tracer (d’). Terminer la construction de la parallèle (PQ) passant par le point donné P comme ci-dessus.

Télécharger la figure GéoPlan para_2_droites.g2w

Construction par polaires réciproques : intersection inaccessible
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1.5. La règle trop courte

Joindre deux points d'une droite avec une règle trop courte.

Pour tracer une droite (MN), avec une règle de longueur inférieure à MN, l'idée est de construire un point intermédiaire I grâce à une configuration de Desargues que l'on déjà rencontrée dans la construction d'une droite menée à partir du point de concours inaccessible.

Pour cela, placer un point O, un point A et un point A’ sur la droite (OA).

On choisit un point B sur le segment [MA]. La droite (OB) coupe le segment [MA’] en B’.

On choisit un point C sur le segment [NB]. La droite (OC) coupe le segment [NB’] en C ’.

Le point I intersection des droites (BC) et (B’C’) est le point cherché situé sur la droite (MN).

Remarque : pour une règle de longueur l, cette construction permet tracer la droite (MN) pour l < MN < 2l.
Si les points M et N sont plus espacés que le double de la longueur de la règle, en théorie il est possible de réitérer la construction de façon récursive en appliquant le procédé à des points intermédiaires I, K… etc.

Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan

La démonstration est facile en imaginant les deux triangles ABC et A’B’C’ comme deux triangles de l'espace non situés dans le même plan. O est le centre d'une perspective transformant ABC en A’B’C’.
Les plans (ABC) et (A’B’C’) se coupent suivant une droite (d). Par construction, les droites (AB) et (A’B’) se coupent en M, les droites (BC) et (B’C’) se coupent en N. La droite d'intersection (d) est donc la droite (MN).
Les droites (AC) et (A’C’) situées dans le plan (OAC) sont concourantes en un point I. Le point I situé sur (AC) appartient au plan (ABC). I aussi situé sur (A’C’) appartient au plan (A’B’C’). Le point I contenu dans les plans (ABC) et (A’B’C’) est donc un point de leur droite (d) d'intersection. Le point I est donc bien situé sur le segment [MN].

II. La règle et un cercle

Théorème de Poncelet-Steiner : en se donnant un cercle et son centre, avec uniquement une règle, on peut construire tout point constructible à la « règle et au compas », c'est-à-dire que l'on a la structure euclidienne.

2.1. Parallèle ou perpendiculaire à une droite sécante au cercle

On donne une droite (d), un point P et un cercle (c) de centre O. La droite (d), ne passe pas par le centre O et coupe le cercle en M et N.
Tracer la parallèle à (d) passant par P ou bien la perpendiculaire à (d) passant par P.

Solution

À l'aide des droites (OM) et (ON), on construit à la règle le rectangle MNM’N’.
Le tracé de la droite (PQ) passant par P, parallèle aux côtés parallèles du rectangle, se fait alors comme au paragraphe 3 ci-dessus.

Parallèle à (d) passant par P

Si le point P est équidistant de (MN) et (M’N’) la droite (PO) est parallèle à (d),

sinon il est possible de construire le point I et la droite (PQ), parallèle aux deux droites (MN) et (M’N’), est parallèle à (d).

Télécharger la figure GéoPlan para_regle.g2w
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Perpendiculaire à (d) passant par P

Si le point P est équidistant de (MN’) et (NM’) la droite (PO) est perpendiculaire à (d),

sinon il est possible de construire le point I et la droite (PQ), parallèle aux deux droites (MN’) et (NM’), est perpendiculaire à (d).

Télécharger la figure GéoPlan perpen_regle.g2w

b. Point P situé sur le cercle

Si le point P est situé sur le cercle, il est confondu avec R et S, ce qui ne permet pas de réaliser la construction précédente, à partir du point P.

Mais à partir d'un point K situé sur la droite (AP), distinct de P, comme ci-dessus construire une perpendiculaire intermédiaire (KL), troisième hauteur du triangle ABK d'orthocentre L. Cette perpendiculaire coupe le cercle en M et N et compléter le rectangle MNM’N’.

Si le point P est équidistant de (MN) et (M’N’) la droite (PO) est perpendiculaire à (d),
sinon (AP) et (BP) coupent (M’N’) en K’ et L’ ; le point I, intersection de (KL’) et de (LK’), permet de construire à la règle le point Q ;
la droite (PQ), parallèle aux deux droites (MN) et (M’N’), est perpendiculaire à (d).

Télécharger la figure GéoPlan perpen_regle_2.g2w

c. Repère orthonormé

Si (d) est le diamètre [II’] du cercle (c), pour construire la perpendiculaire à (d) élevée du centre O, placer un point P sur le cercle, distinct du milieu du demi-cercle II’.
Comme ci-contre, à partir d'un point K situé sur la droite (AP), construire deux droites intermédiaires (KL) et (PH), perpendiculaires à (d).

À partir des deux droites parallèles (KL) et (PH), il est possible de trouver le point I₁ intersection de (LH) et de (TL₁) permet de construire à la règle le point Q ; la droite (OQ), parallèle aux deux droites (MN) et (PH), est perpendiculaire à (d).

Cette construction fournit le point J de (c) et un repère orthonormé (O, I, J) du plan.

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Voir aussi la méthode de K. Von Staudt : équation du second degré
Construire une droite passant par un point de concours situé hors de la feuille : intersection inaccessible

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III. Règle à bords parallèles

Avec la règle à bords parallèles seule, on peut construire la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On a la structure affine du plan : on peut construire le milieu d'un segment.

Avec GéoPlan, nous simulerons la règle, de largeur l = 1, avec la macro « règle à bords parallèles » qui, à partir d'un des bords (d₁), tracera l'autre bord une droite (d₂) avec l'instruction :

d2 deuxième bord de la règle d1.

L'orientation induite par GéoPlan sur la droite (d₁) déterminant le côté où la règle sera tracée.

Construction de la règle passant par deux points situés sur les deux bords
Lorsque A et B sont deux points, à placer sur les bords opposés, nous tracerons le cercle de diamètre [AB] et, par exemple, le cercle de centre A et de rayon l.

Si AB ≥ l, un des points d'intersection de ces deux cercles est situé sur le bord de la règle. L'autre bord s'obtient par parallélisme.
Si AB > l, le cercle de centre B permet d'obtenir un deuxième tracé.

a. Bissectrice d'un angle BÂC.

Placer la règle sur chaque côté de l'angle.
Les deux droites tracées se coupent en I formant
un losange de diagonale [AI].

(AI) est donc la bissectrice de BÂC.

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b. Médiatrice de [AB]

Soit [AB] un segment de longueur supérieure à la largeur de la règle.

Construction d'un losange de diagonale [AB] :
On incline la règle de telle façon que A et B soient situés chacun sur un bord de la règle. Les deux couples de parallèles ainsi créés se rencontrent en C et D. ACBD est un losange.
(CD) est la médiatrice de [AB].
[AB] coupe [CD] en son milieu (Problème 12 de l'IREM de Grenoble).

Cette figure permet aussi de trouver le milieu de [AB] intersection des deux diagonales du losange ACBD.

Télécharger la figure GéoPlan regle_losange.g2w

Cette méthode, plus théorique que pratique, permet de partager un segment de longueur supérieur à n fois la largeur de la règle. Dans la pratique, pour diviser le segment [AB], utiliser n règles identiques formant un réseau de droites parallèles et faire pivoter un des bords du réseau autour de A, jusqu'à ce que l'autre bord rencontre B.

Avec GéoPlan, trouver B’ un des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre A et de rayon n fois la largeur de la règle.

Le réseau de parallèles à (BB’) partage [AB].

Télécharger la figure GéoPlan regle_diviser.g2w

Lorsque le segment est trop petit, à partir d'un point A’, tracer un faisceau de n + 1 parallèles qui partage [A’B’], parallèle à [AB], en n parties égales.
Rabattre la division à partir du point O, intersection de (AA’) et (BB’).

Télécharger la figure GéoPlan regle_petit_diviser.g2w

a. Sans compas - Affaire de logique n^o 479 - Le Monde 9 mai 2006

Avec une simple règle non graduée, sans compas on ne peut pas déterminer précisément le milieu d'un segment tracé.
Tout change si la règle est à bords parallèles.
Elle permet alors non seulement de tracer une ligne droite, mais une parallèle à cette ligne.
Comment, avec le seul soutien d'une règle non graduée à bords parallèles, est-il possible de construire le milieu d'un segment donné ?

Pour le milieu, lorsque le segment est trop court, on a la construction suivante :

Cas général - Commande GéoPlan : touche 1

- Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB)
et placer un point C à l'extérieur de ces deux droites.
- Mener deux sécantes (CA) et (CB) qui coupent (d) en E et F.
- Tracer (BE) et (AF) qui se coupent en K.
- Le point I, intersection de (AB) et (CK), est le milieu de [AB].

Cas particulier - Collège - Commande GéoPlan : touche 2

- Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB), et une deuxième parallèle (d₂) à (d).
- Le point C est placé sur cette deuxième parallèle.
- E et F sont alors les milieux de [AC] et [BC]. Les médianes (BE) et (AF) du triangle ABC se coupent en K son centre de gravité.
- La troisième médiane (CK) rencontre [AB] en son milieu I.

Cas général - Classe de seconde - Affaire de logique

- L'homothétie de centre C qui transforme A en E et B en F transforme le milieu I de [AB] en le milieu J de [EF]. Les points C, I et J sont alignés.
- L'homothétie de centre K qui transforme A en F et B en E transforme également I en J. Les points K, I et J sont alignés.
- Ainsi, les quatre points C, K, I et J sont alignés.
- En joignant C à K, on construit du même coup le milieu de [AB] et celui de [EF].

Il est aussi possible de trouver le milieu de [AB] par intersection des deux diagonales du losange de la figure 3.1.b.

Élisabeth Busser et Gilles Cohen
© POLE 2006
200 nouveaux problèmes du Monde - n^o 376, pages 64 et 83 - POLE 2007

Télécharger la figure GéoPlan regle_milieu.g2w
Affaire de logique : jeux géométriques du Monde
Construction du milieu, avec le compas seul

b. Milieu d'une corde

Trouver le milieu d'une corde [AB] d'un cercle suffisamment grand, avec une règle à bords parallèles.

- Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB).

- Si la droite (d) coupe le cercle en deux points E et F et si les droites (AE) et (BF) se coupent en C ; réaliser la construction analogue à la figure précédente.

- Tracer les segments (BE) et (AF) qui se coupent en K.

- La droite (CK) coupe [AB] en son milieu I.

Télécharger la figure GéoPlan milieu_corde.g2w

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3.4. Le centre perdu

Affaire de logique n^o 79 - Le Monde 21-28 juillet 1998

Napoléon Bonaparte est censé avoir découvert comment à l'aide exclusive d'un compas, on pouvait retrouver le centre d'un cercle.
Sauriez-vous parvenir au même résultat avec, pour tout instrument, une règle non graduée dont les deux bords sont parallèles ?

Solution

La construction ci-contre permet de tracer un diamètre si la largeur de la règle est inférieure au diamètre du cercle.

On place la règle sur le cercle et on trace les deux parallèles (en bleu) le long de ses deux bords. Le premier bord rencontre le cercle en A, le deuxième à l'opposé en B.

On déplace la règle et on fait pivoter le bord inférieur autour de B jusqu'à ce le bord supérieur rencontre A. On trace (en rouge) les deux parallèles le long des bords de la règle.

Les points d'intersection ainsi déterminés sont sur un diamètre du cercle (médiatrice de [AB]).

Il suffit d'un deuxième diamètre pour obtenir le centre.

Élisabeth Busser et Gilles Cohen
© POLE 1998
100 jeux mathématiques du Monde volume 1 -n^o 16, pages 54, 67 - Éditions POLE 1999

Dans ce volume Robert Buvat de saint Jean de Luz et D. Limat de Besançon proposent la construction d'un diamètre à partir de trois parallèles coupant le cercle.

Dans le cas où le diamètre du cercle est inférieur à la largeur de la règle, dans ce même volume, on trouve une belle construction de Georges Glaeser de Strasbourg.
Comme dans la figure suivante, par un point A du cercle, il trace un réseau de losanges ACBD et ACD₁D₃. (AB) et (AD₁) sont alors deux bissectrices perpendiculaires des angles en A. Elles recoupent le cercle selon un diamètre.

Télécharger la figure GéoPlan mon_079.g2w
Voir aussi : retrouver le centre avec deux médiatrices
affaire de logique n^o 464 : règle ou compas ?

3.5 Tiers d'un segment

À l'aide de la règle, construire un réseau de losanges identiques.
En reliant des points convenablement choisis dans ce réseau, on peut alors partager le segment [AB] en trois parties égales.

Télécharger la figure GéoPlan regle_diviser_3.g2w
Télécharger la figure Cabri regle_diviser_3.fig
Télécharger la figure GeoLabo regle_diviser_3.glb
      (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Autres méthodes :

Partage d'un segment en trois : constructions élémentaires
Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages en troisième.

Voir aussi : bâtisseurs de cathédrales - partage du demi-cercle en trois, en cinq…

3.6. Parallèle à une droite

Pour tracer la parallèle à la droite (AB) passant par un point P il suffit de tracer un faisceau de trois droites parallèles à (AP) qui coupent (AB) en A, C et E.

P, A et E sont les trois premiers sommets d'un parallélogramme de centre O intersection de la deuxième parallèle et de (PE).

La droite (AO) coupe la troisième parallèle en Q, quatrième sommet du parallélogramme.

La droite (PQ) est la parallèle à (AB) cherchée.

Télécharger la figure GéoPlan regle_parallele.g2w

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Voir : construction à la règle seule d'une parallèle à deux droites parallèles

3.7. Symétrique d'un point par rapport à une droite

On donne une droite (d), un point A non situé sur (d),
construire le point A’ symétrique de A par rapport à (d), en utilisant la règle à bords parallèles.

Solution

Le point A sur un des bords de la règle, on trouve les points B et C intersections des bords de la règle avec (d). On retourne la règle de telle façon que B et C soient situés chacun sur l'autre bord de la règle. On obtient un tracé symétrique des deux positions de la règle en rouge avec un losange de diagonale [BC].

On recommence avec deux autres points D et E et obtient deux autres tracés en bleu où ces deux points sont sur les bords de la règle, en traçant le losange de diagonale [DE].

A’ est le symétrique de A : c'est l'intersection des droites (BA’) et (DA’) symétriques de (BA) et (DA) par rapport à (d).

Remarque : cette construction permet aussi de trouver la perpendiculaire abaissée du point A sur la droite (d) : la droite (AH).

Télécharger la figure GéoPlan regle_sym_point.g2w

Voir aussi : symétrique d'un point par rapport à une droite

a. Construction d'un triangle ayant pour côté, la largeur de la bande

Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de largeur a = AB suivant la médiatrice (A₁B₁) du rectangle.

Plier l'angle en B en rabattant le coin A, sur la médiatrice (A₁B₁), en C.
Le coin BAD se trouve alors en BCD.

C est équidistant de A et B, soit BC = AC = a.
Par le pliage BC = BA = a. Les trois côtés sont de même longueur.
ABC est un triangle équilatéral de côté a.

Avec GéoPlan, construire le point C intersection de [A₁B₁] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [AC] coupe (AA’) en D.

Télécharger la figure GéoPlan bande_equi.g2w

Retrouver ces paragraphes dans : constructions par pliages

b. Construction d'un triangle ayant pour hauteur, la hauteur de la bande

Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de hauteur h = AB suivant la médiatrice (A₁B₁) du rectangle.

Plier l'angle en B pour amener le coin A, sur la médiatrice (A₁B₁), en H.

On obtient le pied H de la hauteur [BH] du triangle. Le pli marque le côté [BC]. Marquer enfin le pli (CH) pour obtenir le côté [CD].

H est équidistant de A et B. Par le pliage BH = BA = h. H est le milieu de [CD] du triangle équilatéral BCD de hauteur h.

Avec GéoPlan, construire le point H intersection de [A₁B₁] et du cercle de centre A passant par B.
La médiatrice de [AH] coupe (AA’) en C et la droite (CH) coupe (BB’) en D, troisième sommet du triangle équilatéral BCD.

Télécharger la figure GéoPlan bande_equi_1.g2w

c. Règle à bords parallèles

Sur une bande rectangulaire de largeur AB = 2l, placer A sur un bord de la règle et B sur l'autre bord, ce deuxième bord coupe le rectangle en C, reporter deux fois la règle pour obtenir le point D. BCD est équilatéral.

Télécharger la figure GéoPlan bande_equi_2.g2w

d. Patron du tétraèdre régulier

Pour construire un tétraèdre régulier avec cette bande, compléter la construction par quatre triangles équilatéraux.

Télécharger la figure GéoPlan bande_equi_3.g2w

La règle à bords parallèles de largeur l permet de tracer un triangle équilatéral de hauteur AB = 2 l.

Avec GéoPlan, tracer deux cercles de rayon l ; l'un de diamètre [AB] et l'autre de centre A. Ces deux cercles se coupent en E et F.

AE/AB = l/2l = ; c'est le sinus de l'angle ABE = 30°. L'angle EBF vaut 60°.

Les droites (BE) et (BF) et leurs parallèles passant par A forment un losange AIBJ.

En plaçant un bord de la règle sur [IJ], l'autre passe par A ou B. Pour A on obtient la perpendiculaire à (AB) qui coupe (BE) en C et (BF) en D.

BCD, ayant (AB) comme axe de symétrie et l'angle au sommet CBD de 60°, est un triangle équilatéral.

Télécharger la figure GéoPlan regle_equilateral.g2w

La règle à bords parallèles de largeur l permet la construction complète d'un triangle équilatéral d'axe (AB’).

Première étape : construction de la médiatrice (KL) de [AB’].
Comme ci-contre, tracer le cercle de diamètre [AB’] et le cercle c₂ de centre A et de rayon l ; ces cercles se coupent en I et J. Les bords de la règle placés sur A et (BI), puis sur (BJ) forment le losange AKB’L.

Deuxième étape : construction de (AN) parallèle à (KL) passant par A.
Comme au 2.3 avec la règle tracer la troisième parallèle à (KA) et (B’L) qui coupe (KL) en M. On complète le parallélogramme de sommet A, K, M et de centre O par le point N.

Troisième étape : avec les bords de la règle construire les parallèles à (AN). Sur [AB’) on obtient les points P puis B tels que AP = l et PB = l.

Quatrième étape : terminer comme ci-contre.

Télécharger la figure GéoPlan regle_equilateral2.g2w
Voir : construction d'un triangle équilatéral par pliage d'une feuille rectangulaire
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