Construction au compas seul
Sommaire1. Bissectrice d'un angle |
Humeur et tableau noir - Plot no 25 | ||||
Construction à la règle et au compas |
Problèmes de construction |
Cabri-Géomètre en sixième |
Faire de la géométrie dynamique | ||
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Le théorème de Mohr-Mascheroni, montré par Georg Mohr, puis par Lorenzo Mascheroni en 1797, affirme que si une construction géométrique est possible à la « règle et au compas », alors elle est possible au compas seul. MédiatriceVoir construction de la médiatrice avec règle, compas et équerre 1. Bissectrice d'un angle
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle. Tracer le cercle de centre O passant par A qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B. [OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires. Voir : construction avec la règle à bords parallèles
2. Parallèle à une droite passant par un point donnéAngles alternes-internes
La droite (d) et la parallèle (d’) à (d) passant par un point M doivent faire avec une sécante (AM) des angles alternes-internes BMA et MAP égaux entre eux. Pour cela : Tracer le cercle (c1) de centre M passant par le point A de la droite (d), puis le cercle (c2) de centre A passant par M. Le cercle (c2) coupe la droite (d) en B. Pour reporter l'angle BMA en A, reporter l'arc MB de (c2) sur le cercle (c1). Tracer le cercle (c3) de centre A et de rayon BM. Choisir pour P, le point d'intersection des cercles (c1) et (c3) situé du même côté que A par rapport à (d). La droite (MP) est la parallèle cherchée. Paragraphes extraits de l'article parallèle à une droite passant par un point donné
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3. Constructions de tangentes
Classe de quatrième Tangente en un point du cercleD'un point A situé sur un cercle de centre O on peut mener une tangente à ce cercle, en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].
Construction à la « règle et au compas » (sans équerre). Tracer le point B symétrique de O par rapport à A et puis la médiatrice de [BO].
Paragraphes extraits de la page cercle au collège Sommaire |
Classe de troisième Tangentes à un cercle, passant par un point donné
D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle; elles touchent le cercle en A et B et on a MA = MB. Construction d'Euclide Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].
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Triangle équilatéral
Voir : triangle équilatéral avec GéoPlan
4. Hexagone
Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon r de ce cercle.
Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus.
Construction
Placer deux points O et A,
tracer le cercle (c) de centre O passant par A.
Le cercle de centre A passant par O coupe le cercle (c) en B et F,
le cercle de centre B passant par O recoupe le cercle (c) en C,
le cercle de centre C passant par O coupe le cercle (c) en D, etc.
Effacer les cercles et tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF.
Télécharger la figure GéoPlan hexagone.g2w
Télécharger la figure GeoGebra hexagone.ggb
Télécharger la figure Cabri hexagone.fig
Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : hexagone
Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral
polygones réguliers
5. Symétrique d'un point par rapport à un autre
Classe de cinquième
Pour construire le symétrique d'un point A par rapport à un point O, il suffit de tracer successivement trois triangles équilatéraux OAB, OBC, OCA’ à partir du segment [AO].
Le cercle de centre A passant par O coupe le cercle (c) en B et F,
le cercle de centre B passant par O recoupe le cercle (c) en C,
le cercle de centre C passant par O coupe le cercle (c) en A’.
Le point A’ est le symétrique de A par la symétrie de centre O.
Télécharger la figure GéoPlan point_sym_centrale.g2w
Faire de la géométrie dynamique
6. Symétrique d'un point par rapport à une droite
Le symétrique d'un point M par rapport à une droite (AB) se construit en traçant les deux cercles de centrés sur la droite en A et B et passant par M.
Le point M’, deuxième point d'intersection des deux cercles, est le symétrique de M.
Télécharger la figure GéoPlan pt_symetrique.g2w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
7. Angle droit
À partir de deux points O et I, pour tracer un angle droit IÔJ, tracer comme ci-dessus le cercle (c) de centre O passant par I et le symétrique C de I par rapport à O.
Le triangle IAC est un triangle rectangle en A ayant un angle AÎC = 
.
Donc, CA = 
CI = 
OI et IB = CA.
Les cercles de rayon OI centrés en I et C passant par B et A se coupent en D.
La propriété de Pythagore dans le triangle IOD permet de calculer OD ;
OD2 = ID2 - OI2 = 3 OI2 - OI2 = 2 OI2 et OD = 
OI.
OD est la longueur du côté du carré inscrit dans le cercle (c).
Le point J cherché est une des intersections du cercle (c) avec le cercle de centre I et de rayon OD.
Télécharger la figure GéoPlan angle_droit.g2w
8. Parallélogramme
(Méthode la plus précise avec papier et crayon)
Tracer les cercles de centre B de rayon AD et de centre D de rayon AB.
Nommer C le point d'intersection de ces deux cercles situé dans l'angle BÂD.
Télécharger la figure GéoPlan paralel3.g2w
Télécharger la figure Cabri parallelogramme3.fig
Télécharger la figure GeoLabo parallelogramme_3.glb
Voir : TP avec Cabri-Géomètre en sixième
9. Milieu d'un segment
Le milieu I d'un segment [AB] est constructible au compas.
Soit C le symétrique de A par rapport à B. C est constructible d'après le paragraphe 7.
Les cercles de centre A passant par B et de centre C passant par A se coupent en D et E.
Les cercles de centres D et E passant par A se recoupent en I milieu du segment [AB].
Preuve
En effet, soit A’ le symétrique de A par rapport à C et H l'intersection de (AB) et (DE).
Comme H est le pied de la hauteur du triangle rectangle ADA’ on a :
AD2 = AH × AA’, soit AD2 = AH × 4 AB.
On obtient donc AH = 
et ainsi AI = 
.
Télécharger la figure GéoPlan milieu_segment.g2w
Voir : construction du milieu avec une règle à bords parallèles
10. Le centre retrouvé - Problème de Napoléon
Affaire de logique no 344
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A et B sont deux points sur le cercle initial (c). |
Étape 3 : le cercle (c4) coupe (c1) en E et F. Avec GéoPlan, charger la figure : taper 3, puis 2 et 1 pour effacer les constructions ; taper 1, puis 2 et 3 pour voir les trois étapes de la solution. |
En effet, dans le triangle rectangle ABA’, le carré du côté AB est moyenne proportionnelle avec l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse : Élisabeth Busser et Gilles Cohen Démonstration d'après Napoléon Dans le cercle (c), ACB et AÂ’B sont deux angles inscrits égaux interceptant l'arc AB. Les triangles rectangles AHC et ABC’ ayant même angle aigu sont semblables : Un calcul similaire avec le cercle (c4) et les points A, E, F et O permet de montrer que OA = r12/r4.
Retrouver le centre avec deux médiatrices Bibliographie : Théorie des corps : la règle et le compas - J.-C. Carrega - Hermann 2001 |
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Page no 100, créée le 4/1/2007 |
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