Illustration avec GéoSpace du passage d'une situation géométrique à une situation d'analyse en utilisant deux figures qui communiquent entre elles.

Parallélépipède dans une pyramide
Volume minimal

Remarque technique

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3. Parallélépipède dans une pyramide

Géométrie dans l'espace au bac STI (AA) - bac national 1999

Commandes : cliquer sur la figure de droite ; touche T pour garder la Trace du point M, touche S pour Sortir du mode trace,
Cliquer sur la figure de gauche et modifier la taille de la pyramide avec les flèches du clavier.
Touche W : retour à la vue initiale.

Un fabricant veut commercialiser un produit qui a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée, dans un emballage qui a la forme d'une pyramide régulière à base carrée (voir la représentation). Les carrés PQRT et BCC’B’ ont même centre I et leurs côtés sont deux à deux parallèles.

Partie A

On rappelle que le volume d'une pyramide est V = (B× h) où B est l'aire de sa base et h sa hauteur.

1. Entre quelles valeurs extrêmes le nombre x peut-il varier ?

2. Exprimer h en fonction de x . (On pourra se placer dans le plan (OSO’).)

3. En déduire une expression du volume V(x) de la pyramide.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]8, 20] par f(x) = .

1. Démontrer que sur l'intervalle ]8, 20], la dérivée de f est définie par :

f’(x) = .

2. Étudier les variations de la fonction f.

3. Construire la courbe représentative de f dans un plan muni dans un repère (O, , ) (unités graphiques : 1 cm pour 1 cm en abscisse, 2 cm pour 100 cm³ en ordonnée).

Partie C

1. Montrer que pour tout x Î]8, 20] : V(x) = 2 f(x).

2. En déduire la valeur de x pour laquelle le volume de la pyramide est minimal ?

3. Quel est alors ce volume ? Quelle est la hauteur de la pyramide ? Quel est le volume à remplir entre le produit et l'emballage.

Éléments de correction

Partie A

1. Le côté de la base de la pyramide est supérieur au côté de celle du parallélépipède donc x > 8 et x Î ]8, 20].

2. Dans le triangle OSI, rectangle en I, du plan (OSO’) on a : tan O = .

De même, dans le triangle OMN, rectangle en N : tan O = = = .

De l'égalité (de Thalès) = on déduit = , soit h = .

3. Le volume de la pyramide V(x) = B × h = x² × = = 2 f(x).

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]8, 20] par f(x) = .

1. Sur l'intervalle ]8, 20], la dérivée de f est : f’(x) = .

f’(x) est du signe de (x - 12).

2. Tableau de variations de la fonction f : 

3. Courbe représentative de f : activer le mode trace dans les figures ci-dessus : 4 cm pour une unité sur (Ox) ; 100 cm3 par unité sur (Oy).

Partie C

1. On a montré question 3. de la partie A que pour tout x Î ]8, 20] : V(x) = 2 f(x).

2. Le volume de la pyramide est minimal pour x = 12.

3. Ce volume est V(12) = 864 cm³. La hauteur de la pyramide est alors h = 18 cm.

Le volume à remplir entre le produit et l'emballage est V(12) - 8² × 6 = 480 cm³.