MIAM

Géométrie dans l'espace en seconde avec GéoSpace.

Pyramide régulière de base octogonale

Sommaire

1. Construction d'un octogone régulier à partir d'un côté
2. Pyramide régulière de base octogonale
3. Maison
    solide formé par l'assemblage d'un prisme et d'une pyramide
4. Problème concret : abris de jardin

Tétraèdre orthocentrique

Coin de cube

Polyèdre

Page no 151, réalisée le 1/10/2009

avec
GéoSpace

GéoPlan
Constructions de l'octogone

GéoSpace 3ème
Sections cube, pyramide

GéoSpace 2nde
tétraèdre

GéoSpace
Activité

Faire de la géométrie dynamique en seconde

 1. Construction d'un octogone régulier à partir d'un côté

Octogone à partir d'un côté

Classe de première L

Du centre O du cercle circonscrit, on « voit » un côté [AB] suivant un angle de 45°.
Le point O est situé sur arc capable correspondant à un angle au centre de 90°.
Le centre I de l'arc capable est donc situé sur le cercle de diamètre le côté [AB].

Construction dans un plan (p)

Étant donné deux points A et B d'un plan (p), dans ce plan, tracer le cercle de diamètre [AB], la médiatrice de [AB] coupe ce cercle en un point I.

Technique GéoSpace : pour tracer la médiatrice de [AB], tracer un axe perpendiculaire au plan (p) en J milieu de [AB]. Le point A a pour image I par la rotation d'angle 90° par rapport à cet axe. La droite (JI) est la médiatrice de [AB].

Le cercle de centre I passant par A coupe la médiatrice en un point O, situé du même côté que I par rapport à (AB).

AÔB = 1/2 AÎB = 45°, le point O est le centre du cercle circonscrit à l'octogone.

On termine la construction de l'octogone ABCDEFGH en traçant un axe (d) perpendiculaire au plan (p) en O et en traçant les divers sommets par des rotations d'angle 45° autour de cet axe.

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 2. Pyramide régulière de base octogonale

Pyramide régulière de base octogonale

Reprendre la construction de l'octogone régulier ABCDEFGH ci-dessus.
Sur la droite (d) perpendiculaire en O, milieu de l'octogone, au plan (OAB), placer un point libre S et tracer le solide ABCDEFGHS.

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 3. Maison : solide formé par l'assemblage d'un prisme et d'une pyramide

maison octogonale

Reprendre la construction de la pyramide octogonale ABCDEFGHS ci-dessus.
Sur l'axe (OS) de la pyramide, placer un point libre O’.
Avec la translation transformant O en O’, tracer l'octogone A’B’C’D’E’F’G’H’,
terminer en traçant le solide A’B’C’D’E’F’G’H’ABCDEFGHS réunoin d'une pyramide octogonale et d'un prisme octogogonal A’B’C’D’E’F’G’H’ABCDEFGH.

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4. Problème concret : abris de jardin

Bonjour, je me permets de vous contacter, car je ne sais pas comment résoudre ce problème :

Comment calculer l'aire pour une toiture de forme octogonale sachant que celle-ci a un degré d'inclinaison de 45° ?
L'octogone est régulier, et fait 2,30 m pour chaque côté.
Je vous joins un dessin de la structure.

J'espère que vous prendrez le temps de vous poser sur mon problème.
Si c'est le cas, j aimerais que vous me donniez tous les détails de calculs pour pouvoir l'effectuer à l'avenir puisque ceci me sert professionnellement : mon métier est la construction d'abris de maison.

abris de jardin schéma abris de jardin

ABCDEFGH est un octogone régulier de côté AB = 2,3 m.

En fonction du rayon r = OA du cercle circonscrit, la longueur du côté est : 2 r sin 22,5° = r rac(2 - rac(2)) ≈ 0,765 r (calcul du sinus : angle trigonométrie).
En inversant on trouve le rayon en fonction du côté : r ≈ 1,306 AB, d'où r = OA = 3 m.

Si J est le milieu de [AB], l'apothème OJ = r cos 22,5° = rrac(2+rac(2))/2 ≈ 0,924 r, soit OJ = 2,77 m.

Lorsque OÂS = 45°, l'angle dièdre du toit et du plan horizontal est l'angle OJS alors égal à 47,3° ; on calcule la longueur JS par la relation de Pythagore dans le triangle rectangle OJS.

L'aire du triangle SAB est la moitié du côté AB multiplié par la hauteur JS = 2,77 m d'où 4,69 m2.
Soit une toiture de 37,5 m2.

Remarque :
ces calculs ne tiennent pas compte du débord de la toiture par rapport à la base. Pour un débord de k %, augmenter les aires de k2 %.

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