Sommaire

1. Sections planes d'un cube
      Sections planes d'un parallélépipède rectangle
2. Sections de pyramide
3. Tronc de pyramide - Solide composite
            Lanterne
            bac STI (AA) 1999
4. Sections planes de solides de révolution

Programmes de géométrie dans l'espace en 3^e

Page n^o 11, réalisée le 14/3/2001 - mise à jour le 12/7/2010

Sections planes du cube

Le cube en 2^nde
Intersection d'un plan et d'un cube (première)
TS : calculs d'aires et de périmètres

Pyramide

Partition d'un cube en trois ou six pyramides (quatrième)
Sections planes de pyramide (cette page)

Pyramide octogonale
Intersection de plans dans une pyramide (seconde)

…avec
GéoSpace

GéoSpace en 6^ème
Parallélépipède
Patrons

GéoSpace en 4^ème
Pyramide

GéoSpace en 2^nde
Règle d'incidence

Cabri-Géomètre
TP en troisième

Sections planes : En général, dans les exercices ci-dessous nous décrivons la construction point par point des sections, en explicitant les divers cas particuliers.

Avec GéoSpace, lorsque l'on s'intéresse uniquement au résultat, il est possible de créer facilement ces sections avec le menu :
Ligne>Polygone convexe>Section d'un polyèdre par un plan.
Dans ce cas, les points ne sont pas nommés, donc non réutilisables.

« L'utilisation de l'informatique permet une vision dynamique de la figure. Avec GéoSpace,faire tourner le cube pour mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “vraie grandeur”.
Les commandes “dessin en bloc” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur. »

Télécharger la figure GéoSpace de base : cube.g3w

Section du cube par un plan contenant une arête

Charger la figure GéoSpace cube.g3w.

Créer le point libre I, sur l'arête [BF] du cube.
Trouver le point J intersection du plan (ADI) avec la droite (CG).
Tracer les segments [AI], [IJ] et [JD] en tapant les noms des segments dans le menu :
ligne > segment.

Déplacer le point I.

Quelle est la nature de la section AIJD, du cube par le plan (ADI) ?

Télécharger la figure GéoSpace cube_se4.g3w

Dessiner le profil de la section plane du cube en vraie grandeur lorsque l'arête mesure 4 cm et FI = 1 cm.

Pour obtenir le segment [AI] en vraie grandeur, dans le menu vues, choisir l'option vue standard Oxy pour faire apparaître la face ABFG du cube.

Touche V avec GéoSpace.

Pour voir la section en vraie grandeur, dans le menu vues, valider l'option vue avec un autre plan de face et choisir le plan AIJ.

Touche F avec GéoSpace.

Revenir ensuite à la vue initiale avec les touches Ctrl + F1 ou la touche W.

La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré.

Télécharger la figure GéoSpace secube1.g3w

La section d'un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

Télécharger la figure GéoSpace secube2.g3w

… un autre rectangle.

Télécharger la figure GéoSpace secube3.g3w

Cube tronqué

Patron du cube tronqué

Télécharger la figure GéoSpace secube2_patron.g3w

Figure 3 : trapèze

Section du cube par un plan contenant un sommet

I et J sont deux points des arêtes [EF] et [FG] du cube ABCDEFGH.

Construire la section du cube par le plan (AIJ).

Comme les faces (ABCD) et (EFGH) du cube sont parallèles, le plan (AIJ) coupe le plan (ABC) suivant une droite (d) parallèle à (IJ).

La droite (d) coupe (BC) en K.

Lorsque K est à l'intérieur du segment [BC], [AK] est la trace du plan (AIJ) sur la face (ABCD).
[AI] et [JK] sont les deux autres côtés de la section AIJK qui est un trapèze de bases [AK] et [IJ].

Télécharger la figure GéoSpace cube_se2.g3w

Charger la figure GéoSpace cube.g3w.

Créer les points libres I, J et K sur les segments [AB], [EF] et [HG] (arêtes du cube).

Construction automatique avec GéoSpace

Avec l'option :
créer>plan>nommé défini par trois points
appeler P le plan (IJK).

Puis définir la section avec la commande :
créer>ligne>polygone convexe>section d'un polyèdre par un plan

Télécharger la figure GéoSpace cube_sec.g3w

Construction des autres sommets de la section « à la main »

Trouver le point L intersection du plan (IJK) avec la droite (CD).
Tracer les segments [IJ], [JK], [KL] et [IL].

Déplacer les points I, J ou K avec le menu piloter au clavier et faire apparaître le plus explicitement possible le parallélogramme IJKL.

Dans le cas où le point L ne serait pas à l'intérieur du segment [CD], trouver l'intersection du plan (IJK) avec l'autre face du cube, par exemple avec la face ADHE si le point B est sur la droite (CD) du côté de D.

Trouver l'intersection M du plan (IJK) avec [AD] et N avec [DH]. Tracer le pentagone IJKNM.

Théorème : une section plane qui rencontre quatre arêtes parallèles d'un parallélépipède est un parallélogramme.

Refaire comme pour la figure précédente, mais avec le point K sur [FG].

Lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

Déplacer les points I, J ou K.

lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], compléter la figure avec le sommet situé sur [CD] et trouver un pentagone.

Télécharger la figure GéoSpace cube_se1.g3w

Section par un plan parallèle à la face AEHD.

Section par un plan parallèle à l'arête [AD].

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face.

Télécharger la figure GéoSpace secpave1.g3w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Charger la figure GéoSpace pyramide.g3w contenant la pyramide régulière de base carrée ABCD et de sommet S.

Tracer les diagonales du carré de base et le milieu O.
Tracer la hauteur [OS].
Sur la hauteur [OS] placer un point libre O’.
Créer le plan Q parallèle à la base passant par le point O’.
Placer les intersections du plan Q avec les arêtes et les faces de la pyramide.

Quelle est la nature du solide SA’B’C’D’ ?

Pour visualiser au mieux la figure, déplacer la vue de la pyramide avec la souris en maintenant le bouton droit enfoncé.
Éventuellement, la recentrer en appuyant en plus sur la touche contrôle.

Télécharger la figure GéoSpace sec_pyr.g3w

Recommencer avec une pyramide ABCDS de base carrée ABCD (figure GéoSpace pyram_d.g3w) telle que l'arête [AS] soit une hauteur de la pyramide.

Placer le point libre A’ sur le segment [AS] et tracer la pyramide réduite SA’B’C’D’.

Télécharger la figure GéoSpace sec_pyr2.g3w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Commandes GéoSpace
Déplacer le point A’ avec les souris ou avec les flèches du clavier
Touche P : dessiner /effacer le haut de la Pyramide
Touche F : plan (ABS) de face
Touche W : vue initiale

Télécharger la figure GéoSpace tronc_py.g3w

Charger la figure GéoSpace pyramide.g3w contenant la pyramide régulière de base carrée ABCD et de sommet S. Tracer la pyramide réduite de sommet S et de base A’B’C’D’. Dans l'option style, choisir non dessiné et montrer la pyramide SABCD. Créer le solide (polyèdre convexe) tronc en le désignant par ses sommets ABCDA’B’C’D’.

Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) (hors programme)

En appelant B l'aire de la grande base ABCD et b l'aire de la petite base A’B’C’D’ et h la hauteur du tronc, le volume est alors :

V = [B + b + ].

Dans le cas d'un tronc de pyramide de base carrée, de côtés a et b les Égyptiens utilisaient une méthode revenant à l'emploi de la formule :

V = [a² + ab + b²].

Recommencer avec un tétraèdre régulier : dans le répertoire figures de base, choisir la figure GéoSpace tetreg.g3w.

À partir d'un point A’ situé sur l'arête [AD], trouver les traces (sur le tétraèdre) du plan passant par A’, parallèle au plan de base (ABC).
Tracer les points B’ et C’ intersections de ce plan avec les deux autres arêtes du tétraèdre.
Le tétraèdre réduit est-il régulier ?

Tracer le tronc de tétraèdre ABCA’B’C’.

Télécharger la figure GéoSpace tetreg1.g3w

Choisir la figure GéoSpace cube.g3w.

Tracer la médiatrice d'une des faces du cube (placer les points O au milieu de la face ABCD et H au milieu de la face A’B’C’D’, O et H sont les « milieux de diagonales »).
Placer le point S sur cette médiatrice (HO) et créer le solide l : A’B’C’D’ABCDS.

Pour le dessin du cube, l'option du menu style ne fonctionne pas.
Choisir dans le menu éditer le choix éditer texte figure.

Après la définition du cube modifier la phrase Dessin de cube: opaque
Rajouter «, non dessiné » :

Dessin de cube: opaque, non dessiné

Après la définition de l, insérer :

Dessin de l: opaque

Exécuter le script et valider ; sauvegarder la figure pour la réutiliser.

Télécharger la figure GéoSpace lanterne.g3w

Obélisque

De même, réaliser un obélisque : solide formé par l'assemblage d'un tronc de pyramide de bases carrées (ou d'un parallélépipède), surmonté d'une pyramide : le pyramidion.
Le volume se calcule grâce à la formule citée après la figure 1.

Problème bac STI (AA) 1999

Partie A

Une lanterne a la forme d'une pyramide régulière SABCD à base carrée, posée sur un cube ABCDA’B’C’D’.
La hauteur SH de la lanterne est de 30 cm. Soit h, en cm, la hauteur SO de la pyramide et x, en cm, la longueur de l'arête du cube.
On admet que 0 ≤ x ≤ 30.

1. Exprimer en fonction de x la hauteur de la pyramide.
2. Exprimer en fonction de x le volume V de la lanterne.

surface de la base × hauteur

On rappelle que le volume d'une pyramide est : V =  

3

Partie B

Étude de la fonction f(x) = …

Partie C

La longueur de l'arête du cube est de 24 cm. Déterminer alors :

1. le volume V de la lanterne ;
2. la hauteur h de la pyramide ;
3. la longueur SA.

Correction bac STI : parallélépipède dans une pyramide

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

(AB) est l'axe des cylindres. Les bases sont deux cercles de centres A et B, de rayon r, situés dans des plans perpendiculaires à l'axe.

Cylindre - plan horizontal

Section par un plan passant par un point M de l'intervalle [AB], perpendiculaire à l'axe du cylindre.

La section est un cercle de centre M.

Télécharger la figure GéoSpace seccyl1.g3w (touche 1)

Cylindre - plan vertical

Section par un plan parallèle à l'axe du cylindre, passant par deux points R et S, situés sur un des cercles de base.

La section est le rectangle RSTU.

Indication : la translation de vecteur transforme le cercle de base (c) de centre A en (c’), cercle de base de centre B. Les points R et S en U et T : RSTU est un parallélogramme. Les côtés [RU] et [ST], parallèles à l'axe (AB) sont perpendiculaires à la base : un angle droit, d'où un rectangle.

Figure GéoSpace seccyl1.g3w (touche 2)

Sphère

(S) est une sphère de centre O et de rayon R, (P) un plan.
H est le pied de la perpendiculaire à (P) menée par O.
OH est la distance de O à P notée d.

On suppose que M est un point commun au plan et à la sphère et on note HM = r.

Dans le triangle OHM, rectangle en H, de la propriété de Pythagore :
HM² + OH² = OM²,
on déduit r² = R² − d².

Si d < R, l'ensemble des points d'intersection entre la sphère (S) et un plan (P) situé à une distance d de O est le cercle, du plan (P), de centre H
et de rayon r = .

Si d = R, le plan est tangent à la sphère en H.

Si d > R, le plan ne coupe pas la sphère.

Télécharger la figure GéoSpace sphere.g3w

Cône de révolution

La figure représente un cône de révolution. L'axe du cône est (OS). Sa hauteur OS sera notée h.
O est le centre du cercle (c) de base et A un point de ce cercle de rayon r = OA.
Soit M un point de [OS] situé à distance h’ de S. On coupe ce cône par un plan (P) perpendiculaire à son axe en M.
Soit A’ le point du plan qui se trouve sur la génératrice [SA].
La propriété de Thalès dans le triangle SOA permet d'écrire  = ,
soit  =  d'où A’M = r × .
L'ensemble des points qui sont à la fois dans le plan et sur la surface latérale du cône est un cercle (c’) de centre M et de rayon r’, rayon donné par la formule :
r’ = r × = rk, où k =  est le rapport de réduction du cône de base (c’), de hauteur h’ avec le cône de base (c), de hauteur h.

Télécharger la figure GéoSpace secone1.g3w

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

L'espace en 3^ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Bulletin Officiel du 28 août 2008

Géométrie dans l'espace

Les objectifs des travaux géométriques demeurent ceux des classes antérieures du collège. L'étude et la représentation d'objets usuels du plan et de l'espace se poursuivent ainsi que le calcul de grandeurs attachées à ces objets. Les travaux sur les solides permettent de mobiliser largement les résultats des classes antérieures. À ce titre, il convient d'aborder la géométrie dans l'espace suffisamment tôt dans l'année scolaire. […]
Le recours à des logiciels de construction géométrique (par les élèves ou de manière collective) est intégré aux séquences d'enseignement, dans l'approche d'une notion ou dans la résolution de problèmes.

Objectifs

La résolution de problèmes a pour objectifs :
• de connaître les objets usuels du plan et de l'espace, de calculer les grandeurs attachées à ces objets ;
• de développer les capacités heuristiques, les capacités de raisonnement et les capacités relatives à la formalisation d'une démonstration ;
• d'entretenir la pratique des constructions géométriques (aux instruments et à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique) et des raisonnements sous-jacents qu'elles mobilisent ;
• de solliciter dans les raisonnements les propriétés géométriques et les relations métriques associées vues dans les classes antérieures ;
• de familiariser les élèves aux sections de solides de l'espace.

CONNAISSANCES

CAPACITÉS ATTENDUES

COMMENTAIRES

3.2 Configurations dans l'espace

Problèmes de sections planes de solides.

- Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête.

- Connaître et utiliser la nature des sections du cylindrede révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.

- Connaître et utiliser les sections d'un cône de révolution et d'une pyramide par un plan parallèle à la base.

L'utilisation de logiciels de géométrie dans l'espace permet de conjecturer ou d'illustrer la nature des sections planes.

C'est aussi l'occasion de faire des calculs de longueur et d'utiliser les propriétés rencontrées dans d'autres rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont également confrontés au problème de représentation d'objets à 3 dimensions, ainsi qu'à celle de la représentation en vraie grandeur d'une partie de ces objets dans un plan (par exemple : section plane, polygone déterminé par des points de l'objet…).

Sphère, centre, rayon.

Sections planes d'une sphère.

[Thèmes de convergence]

- Connaître la nature de la section d'une sphère par un plan.

- Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère.

- Représenter la sphère et certains de ses grands cercles.

Les grands cercles de la sphère et les couples de points diamétralement opposés sont mis en évidence.

Le fait que le centre du cercle d'intersection est l'intersection du plan et de la perpendiculaire menée du centre de la sphère à ce plan est admis.
Le cas particulier où le plan est tangent à la sphère est également étudié.

Aucune difficulté n'est soulevée sur ces représentations. Le rapprochement est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour le repérage sur la sphère à l'aide des méridiens et des parallèles.

…avec
GéoSpace

GéoSpace
Polyèdres

Construction du pentagone régulier

Problèmes de construction

GéoSpace
Pyramide octogonale

Sommaire

1. Sections planes d'un cube
2. Sections de pyramide
3. Tronc de pyramide - Solide composite
4. Sections planes de solides de révolution

Géométrie dans l'espace : programmes du collège

Figures interactives en troisième avec jMath3D :
   Sections d'un cube
   Sections d'une pyramide

Faire de la géométrie dynamique

Accueil

Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.