Géométrie dans l'espace en terminale S et ES

Les logiciels les plus fréquemment utilisés par les professeurs présents, en dehors de Excel, sont les logiciels Sinequanon et GéoPlan-GéoSpace.
Le traceur de courbes Graphmatica et le logiciel de géométrie GeoGebra le sont parfois.
Le logiciel de géométrie plane GeoGebra, outre son téléchargement facile et gratuit, serait plus convivial pour les élèves.

Nous nous sommes ensuite penchés sur le tableau mettant en parallèle la géométrie dans l'espace en terminale S et la géométrie de première.

L'analyse de ce tableau avait trois objectifs :

Mettre en évidence les « Savoirs » et les « Savoir-Faire » à acquérir en première S pour pouvoir s'approprier le mieux possible le programme de terminale.
Repérer les difficultés des élèves dans chaque partie du programme, particulièrement de 1^re S.
Proposer des pistes de solution pour remédier à ces difficultés.

1. Les « Savoirs » et « Savoir-faire » :

En géométrie dans l'espace, en fin de première S, on peut les résumer dans le tableau suivant :

Ce qu'un élève doit connaître, doit savoir

Ce qu'un élève doit savoir faire

Les règles d'incidence ;
Quelques solides : cube, pavé, tétraèdre, pyramide, prisme, sphère, cylindre de révolution, cône de révolution ;

Coordonnées d'un point dans l'espace ;
Distance entre deux points en repère orthonormal ;

Quelques équations : plans parallèles aux plans de coordonnées, sphère centrée à l'origine, cône de sommet l'origine et d'axe un axe du repère, cylindre d'axe un axe du repère ;

Vecteurs coplanaires ;

Barycentre, associativité ;

Translations et homothétie. Effet de ces transformations sur l'alignement, le barycentre, les aires, les volumes, l'image d'une figure.

« Voir » dans l'espace ;
Tracer ou reconnaître des sections planes de cube ou de tétraèdre ;

Calculer, lire les coordonnées d'un point, représenter un point ;

Être conscient de l'importance des marques de construction pour une bonne lisibilité des figures.

Calculer des distances, des aires, des volumes d'objets familiers ;

Calculer ou déterminer certaines équations ;

Montrer que trois vecteurs sont coplanaires ou ne le sont pas ; Montrer l'alignement de points, que des droites sont concourantes ; Savoir résoudre un système de deux équations linéaires.

Dans l'ensemble, être capable de choisir un repère pour résoudre certaines questions. Être capable de prendre des initiatives.

En supplément de ce tableau, pour le produit scalaire, de même que pour le barycentre, les élèves de première doivent être entraînés à choisir la formule la mieux adaptée à une situation donnée.

Les professeurs de terminale remarquent que leurs élèves s'appuient essentiellement sur les formules. On fait davantage de géométrie analytique dans ce chapitre de terminale que de géométrie pure.

2. Les difficultés des élèves et des pistes de solution

Savoir s'approprier le vocabulaire adéquat (colinéaires, coplanaires).
Comprendre ce que signifie « une équation d'un ensemble ».
Plus généralement le « cloisonnement » opéré par les élèves lors des différents apprentissages.
Nous avons évoqué quatre groupes de difficultés et proposé quelques pistes.

Difficultés

Pistes de solution

Comprendre la nécessité de faire et de laisser les marques de construction lors du tracé :

• D'une section ;
• D'un point dans un repère de l'espace.

• Un exercice du Terracher de première S : Un cube est dessiné en perspective cavalière dans un quadrillage, un point M est placé à l'intersection de deux lignes du quadrillage. La question est : où se trouve le point M par rapport au cube ?
• Distribuer une section déjà construite. Demander aux élèves de tracer les points « hors solide » qui ont permis d'obtenir cette section. Autrement dit, leur faire faire des exercices sur les sections dans les deux sens.

Passer du cadre géométrique au cadre algébrique et inversement ; faire le choix d'une résolution en utilisant la géométrie pure ou la géométrie analytique. À propos de ces changements de cadre, les difficultés des élèves sont de natures diverses :
• « Voir » un plan, un objet donné par une équation ;
• Inversement, identifier un objet de l'espace en termes algébriques. Les réels x, y… restent des nombres, les équations, même une équation de droite, sont des objets déroutants, non totalement compris ;
• Ils ne pensent pas, le plus souvent, à se servir d'un repère qui faciliterait une résolution ;
• Si, inversement, ils travaillent dans un repère, les difficultés déjà évoquées ci-avant les freinent pour un raisonnement de géométrie pure.

Il a été proposé sur cette partie de réfléchir, pour la prochaine rencontre, à des exercices mettant en jeu des changements de cadre :

Équation <−> objet

Géométrie pure <−> géométrie analytique

En ce qui concerne le chapitre sur le barycentre :
• La notion de colinéarité vue en seconde se renforce, mais reste isolée par rapport à la notion de barycentre : Ils ont du mal à interpréter une relation de colinéarité en termes de barycentre ;

• La relation fondamentale, dite aussi relation de réduction, est mal maîtrisée, voire évitée par les élèves qui ont des difficultés à s'approprier les raisonnements que permettent une propriété « vraie pour tout point…»

• L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique peut aider à favoriser la perception des élèves : La construction d'un point défini par une relation de colinéarité peut être faite de plusieurs manières avec GéoPlan ou GéoSpace. En particulier, en interprétant la relation en terme de barycentre.

• Références aux travaux de sciences physiques

• Les problèmes de lieux doivent permettre de faire travailler les élèves sur la relation fondamentale. Il est proposé que des exemples d'exercices soit apportés lors de la prochaine séance.

Dans le chapitre du produit scalaire, on observe :

• Les mêmes difficultés qu'en algèbre en ce qui concerne les calculs (carré d'une somme par exemple…) ;
• Des confusions entre distance et vecteurs ;

• Les difficultés à faire le choix de la formule la plus efficace dans une situation donnée ;

• Les difficultés dues à la quantité de formules à apprendre (Al Kashi, médiane, sinus…)

• Il a été proposé de réfléchir à des exercices permettant de remédier aux difficultés de calcul des élèves en particulier sur le fait que « le carré scalaire de la somme n'est pas la somme des carrés scalaire ».

• Savoir interpréter le carré d'une distance comme un carré scalaire d'un vecteur permet de retrouver les formules des applications du produit scalaire. Les élèves doivent savoir que ces formules existent, mais il n'est pas nécessaire qu'ils les apprennent par cœur. Dans la page produit scalaire, l'exercice 2 a pour objectif de faire comprendre aux élèves, qu'avec trois données, on peut connaître toutes les autres mesures d'un triangle (angles, longueurs, aires…) peut être mis en œuvre pour travailler dans ce sens.

Plus globalement, les chapitres de géométrie sont nombreux en première.
Le temps manque pour réinvestir plusieurs fois une notion.
Les élèves ne sont testés la plupart du temps qu'une seule fois sur les savoirs ou les savoir-faire de cette partie du programme. En conséquence, les difficultés rencontrées par les élèves persistent.
Les exercices à « prise d'initiative » peuvent apporter des pistes de solution.

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Groupe de mutualisation

2.1. Perdu dans l'espace, les ambiguïtés de la perspective cavalière

On représente en perspective cavalière un cube ABCDEFGH et un point M selon la figure ci-contre.
Le point M est-il à gauche ou sur la droite du cube ci-contre ?

Indications

Comme dans la figure ci-dessous le point M peut représenter un point situé sur la droite (CD), à gauche.

Mais en dessinant deux cubes devant le cube initial, la figure en bas à droite montre que M peut représenter un point de la droite (GF), sur le côté droit du cube !

Si M₁ est le point de l'espace situé sur (CD) et M₂ est le point de l'espace situé sur (GF), le point M peut représenter n'importe quel point de la droite (M₁M₂).

Télécharger la figure GéoSpace perdu_espace.g3w

Voir : activités

2.2. Solides définis par leurs équations

Exemples d'exercices pour l'articulation « première terminale » en série S

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal.

Déterminer les solides définis par les équations suivantes :

a) x² + y² + z² = 4

b) x² + y² = 4

2.3. Distribuer une section déjà construite

Demander aux élèves de tracer les points « hors solide » qui ont permis d'obtenir cette section. Autrement dit, leur faire faire des exercices sur les sections dans les deux sens.

a. Section d'un cube par le plan (PQR)

Section du cube par le plan (PQR)

À partir du plan (PQR), trouver la section plane.

Dans l'autre sens, à partir de la section plane, retrouver les points P, Q et R situés sur les prolongements des côtés.

Section du cube par le plan (PQR) et (UST)

On peut ensuite trouver les points S, T et U situés sur les prolongements des trois autres côtés.

Télécharger la figure GéoSpace section_cube.g3w

Commandes GéoSpace

Touche 1 : afficher /effacer le plan (PQR)
Touche 2 : afficher /effacer le plan (STU)
Touche 3: afficher /effacer la section plane

b. Section triangulaire

Moins facile.

À partir du plan (PQR), trouver la section plane STU.

Dans l'autre sens, à partir de la section plane STU, retrouver les points P, Q et R situés sur les prolongements des côtés.

Voir correction dans Avec GéoSpace

Télécharger la figure GéoSpace section_cube2.g3w

Terminale ES

3.1. Droites et plans dans l'espace

Bac ES National 1999 : Exercice II Géométrie (spécialité en mathématiques)

droites L'espace est muni d'un repère orthonormal (O, , , ) représenté ci-après.
Le plan (R) est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées ; il a pour équation : x + z = 2.

On donne les points A, B, C, définis par leurs coordonnées respectives : A(6 ; 0 ; 0) B(0 ; 3 ; 0) et C(0 ; 0 ; 6)

a. Placer les points A, B, C dans le repère (O, , , ) et tracer le triangle ABC.
b. Calculer les coordonnées des vecteurs et .

c. Soit le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1).
Montrer que le vecteur est normal au plan (P) passant par A, B et C.

Vérifier que le plan (P) a pour équation x + 2y + z = 6.
On a placé dans le repère les points G, E, et F à coordonnées entières.

Le point G est situé sur l'axe (O,), le point E dans le plan (O, , ) et le point F dans le plan (O, , ).
Le plan (Q) passant par les points G, E, et F est parallèle au plan (O, , ) ;

a. Donner l'équation du plan (Q).
b. Donner les coordonnées des points G, E et F.
c. Parmi les points E, F et G quels sont ceux situés sur le plan (P) ?

d. Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système :

Représenter cet ensemble sur la figure ci-dessous.
On considère le système S de trois équations à trois inconnues x, y, z :

Quel est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont solutions du système S ?

3.2. Plan et droite dans un pavé

Bac ES Amérique du Nord 1999

L'espace est rapporté au repère orthonormal (O ; , , ).
ABCDOFGH est un pavé défini par OH = 3, 0F = 4 et OA = 3 .
Soit L le milieu de [CG].

pavé
1. On considère l'ensemble P des points dont les coordonnées x, y et z vérifient :
4x - 3y + 8z - 12 = 0.
a. Parmi les points A, B, O, G, H, L lesquels appartiennent à P ?
b. Justifier que l'ensemble P est le plan (BLH).

2. a. Donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan (BLH).
b. Soit D la droite passant par A et de vecteur directeur .
Montrer que D est l'ensemble des points M tels que AM.BH=0 et AM.BL=0
En déduire un système d'équations caractérisant la droite D.

c. Montrer que le point de coordonnées appartient à D et à P.

Indications

Les coefficients de l'équation de P permettent de trouver les coordonnées : (4, -3, 8).

orthogonal au plan P, est orthogonal aux deux vecteurs et non colinéaires contenus dans ce plan.
M appartient à la droite D si et seulement si est orthogonal à et , dons si les produits scalaires . et . sont nuls.
(x, y, z-3) (3, -4, -3) ; . = 0 conduit à l'équation 3x - 4y - 3(z-3) = 0.
(3, 0, -) ; . = 0 conduit, après simplification, à l'équation 2x - (z-3) = 0.

Le système formé par ces deux équations 3x - 4y - 3z + 9 = 0 et 2x - z + 3 = 0 caractérise la droite D, intersection des deux plans correspondant à ces deux équations.

Télécharger la figure GéoSpace pave_droite_plan.g3w

…avec
GéoSpace

GéoSpace en TS
Produit scalaire

GéoSpace en TS
Paraboloïde

GéoPlan en TS
Épreuve pratique

GéoPlan en TS
Plan complexe

GéoPlan en TS
Géométrie plane

Sommaire

Géométrie dans l'espace en terminale S

1. Les « Savoirs » et « Savoir-faire »
2. Les difficultés des élèves et des pistes de solution

Groupe de mutualisation

2.1. Les ambiguïtés de la perspective cavalière
2.2. Solides définis par leurs équations
2.3. Distribuer une section de cube déjà construite

Terminale ES

3.1.Droites et plans dans l'espace
Bac ES national 1999 - spécialité
3.2. Plan et droite dans un pavé
Bac ES Amérique du Nord 1999

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