Géométrie dans l'espace en seconde

Sommaire

1. Règle d'incidence
    Montrer un alignement
    Intersection d'une droite et d'un plan
    Théorème des trois perpendiculaires
2. Droites parallèles
    Droite parallèle à un plan
3. Traces d'un plan
    Intersection de plans (dans une pyramide)
4. Octaèdre régulier
5. Intersection de deux plans

Page n^o 63, réalisée le 21/2/2004 - mise à jour le 22/5/2010

Solides de Platon

Programme de géométrie dans l'espace en seconde

Tétraèdre

Cube

Pyramide

Partition d'un cube en trois ou six pyramides
Sections planes de pyramide

Pyramide octogonale
Intersection de plans dans une pyramide

…avec
GéoSpace

GéoSpace 3^ème
Sections cube, pyramide

GéoSpace
Activité

GéoSpace
Polyèdres

Objectifs

  – Développer la vision dans l'espace des élèves en entretenant les acquis du collège concernant les solides usuels ;
  – Introduire les notions de plans et droites de l'espace et leurs positions respectives ;
  – Fournir des configurations conduisant à des problèmes aptes à mobiliser d'autres champs des mathématiques (géométrie plane, fonctions, probabilités) ou de la physique.

Comment ?

  – L'utilisation d'un logiciel de visualisation et de construction est un élément déterminant dans « l'apprentissage de l'espace ».
  – Les élèves doivent être capables de représenter en perspective parallèle (dite aussi cavalière) une configuration simple et d'effectuer des constructions sur une telle figure.
  – Ils doivent être capables de mobiliser pour des démonstrations les théorèmes de géométrie plane.

1. Règle d'incidence

Pour prouver l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

A, B et C sont trois points non alignés n'appartenant pas à un plan (p).
La droite (AB) coupe le plan (p) en C’,
la droite (AC) coupe le plan (p) en B’,
la droite (BC) coupe le plan (p) en A’.

Les points A’, B’ et C’ sont alignés.

En effet, ils appartiennent à la droite d'intersection des deux plans sécants (ABC) et (p).

Télécharger la figure GéoSpace alignement.g3w

Montrer un alignement

Exercice

Dans l'espace, soit trois demi-droites distinctes (d₁), (d₂), (d₃) d'origine O.
Sur chaque demi-droite on place deux points : A₁ et B₁ sur (d₁) ; A₂ et B₂ sur (d₂) ; A₃ et B₃ sur (d₃).
Les droites (A₁A₂) et (B₁B₂) se coupent en I, (A₂A₃) et (B₂B₃) en J et (A₁A₃) et (B₁B₃) en K

Que peut-on dire des points I, J et K ?

Étudier les situations de parallélisme : (A₁A₂) // (B₁B₂) par exemple.

Indication

Considérer les plans (A₁A₂A₃) et (B₁B₂B₃).

Télécharger la figure GéoSpace align_2.g3w

Intersection d'une droite et d'un plan

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I et J sont deux points des faces (ABFE) et (BCGF).
Trouver le point d'intersection (éventuel) de la droite (IJ) avec le plan (EFG).

Indication

Trouver un plan (p) contenant la droite (IJ). Si ce plan n'est pas horizontal, il coupe le plan (EFG) selon une droite (d). Lorsqu'il existe le point M intersection des droites (d) et (IJ) est le point où la droite (IJ) rencontre le plan de la face supérieure du cube.

Par exemple, trouver un plan vertical contenant (IJ) :

Soit I’ la projection orthogonale de I sur la droite (EF) et J’ la projection de J sur (FG). (II’) et (JJ’) sont deux droites parallèles, les points I, J, I’ et J’ sont coplanaires dans un plan (p). Les plans (p) et (IJ) se coupent selon la droite (I’J’).

Si les droites (IJ) et (I’J’) sont parallèles, la droite (IJ) est parallèle à la face (EFGH), sinon les droites se coupent en M qui est le point d'intersection de la droite (IJ) avec le plan (EFG).

Télécharger la figure GéoSpace cube_droite.g3w

Théorème des trois perpendiculaires

Soit (d) est une droite contenue dans un plan (p) et M un point de l'espace.

Si H est le projeté orthogonal de M sur (p) et K est le projeté orthogonal de H sur (d), alors K est le projeté orthogonal de M sur (d).

Indication

La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car il contient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).

Télécharger la figure GéoSpace 3_perpen.g3w

Point fixe

A, B, P et P’ sont trois points d'un plan (p), les droites (AP) et (BP’) n'étant pas parallèles.

Selon la figure ci-contre, sur la demi-droite (d) passant par le point P, perpendiculaire au plan (p), on place un point M variable.

Le plan (ABM) coupe la demi-droite (d’), passant par P’ perpendiculaire au plan (p), au point M’.

Les droites (AM) et (BM’) se coupent en I, et (AM’) et (BM) en J.

Lorsque l'on déplace le point M, quel est le lieu géométrique de I ? de J ?
Montrer que la droite (IJ) passe par un point fixe.

Télécharger la figure GéoSpace point_fixe.g3w

2. Droites parallèles

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I est le milieu de [EF] et J le milieu de [FG].

• La droite (BI) coupe (AE) en M et la droite (BJ) coupe (CG) en N.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles.

• Les points I et J sont placés sur les segments [EF] et [FG] de telle façon que EI = JG.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont encore parallèles.

Télécharger la figure GéoSpace cube_dr_paralleles.g3w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Droite parallèle à un plan

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre I, J et K sont les milieux respectifs de [AD], [BC] et [FG].

Montrer que AIGK est un parallélogramme.

Montrer que la droite (AK) est parallèle au plan (HIJ) :

Démontrer que le vecteur est combinaison linéaire de et , puis avec le parallélogramme, montrer que la droite (AK) est parallèle à (IG) qui est incluse dans le plan (HIJ).

Télécharger la figure GéoSpace cube_parallelogramme.g3w
Voir : activités

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Trois plans sécants (p₁), (p₂) et (p₃) se coupent en O.
La droite (d₁) est l'intersection des plans (p₂) et (p₃),
(d₂) est l'intersection des plans (p₁) et (p₃),
(d₃) est l'intersection des plans (p₁) et (p₂).

Trois points distincts A, B et C sont respectivement dans les plans (p₁), (p₂) et (p₃).

Trouver les traces du plan (ABC) sur chacun des trois plans.

Si (BC) est parallèle au plan (p₁), la trace dans (p₁) est la parallèle à (BC) passant par A, sinon la droite (BC) coupe le plan (p₁) en M et la trace sur (p₁) est la droite (AM).

La droite (AM) coupe éventuellement (d₃) en I et (d₂) en J. Les traces sont alors les droites (IB) et (JC) ; en général, la trace du plan (ABC) est le triangle IJK.

Dans les cas particuliers, utiliser des parallèles passant par des sommets du triangle ABC.

SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD, de côté AB = 4 cm, telle que le triangle ASC soit équilatéral.

a. Soit O le centre du carré ABCD. Déterminer l'intersection des plans (SAC) et (SBD).
Étudier les triangles SAC et SBD, en déduire que (SO) est la hauteur de la pyramide.

b. Calculer AC et OS.
Soit I le point de la hauteur OS équidistant de A et de S. Calculer la longueur SI.

Indications : a = AB = 4 ; AC = AS = a ; OS =
et SI = (le point I est le centre de gravité du triangle SAC).

Télécharger la figure GéoSpace pyramide.g3w

c. Déterminer l'intersection des plans (SAB) et (SCD).

Télécharger la figure GéoSpace pyramide_inter_plan.g3w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Soit A, B, C, D, E et F les centres des faces d'un cube. Le polyèdre ayant pour sommets ces six centres est un octaèdre formé de deux pyramides accolées, de même base carrée ABCD. Les huit faces sont des triangles équilatéraux.

a. Démontrer que les faces (ABE) et (CDF) sont parallèles.

Utiliser le théorème :
Deux plans sont parallèles si deux droites sécantes de l'un sont respectivement parallèles à deux droites de l'autre.

(AE) et (CF) sont parallèles, car toutes deux parallèles à une des diagonales de la face du cube contenant B.

(BE) et (DF) sont parallèles, car parallèles à une des diagonales de la face du cube contenant A.

Le plan (ABE) contenant les deux sécantes (AE) et (BE) est parallèle au plan (CDF) contenant les sécantes (CF) et (DF).

b. Déterminer la distance entre les faces (ABE) et (CDF), c'est-à-dire la plus courte distance d'un point du plan (ABE) à un point du plan (CDF). (Olympiades académiques - Orléans-Tours - 2002)

On suppose que AB = 1.
En notant I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD], les segments [EI], [EJ], [FE] et [FJ] sont alors les hauteurs d'un triangle équilatéral de côté 1 : ils mesurent tous . Par suite, EIFJ est un losange.

Le losange est dans le plan médiateur des segments [AB] et [CD], la distance entre les deux plans (ABE) et (CDF) est aussi une hauteur h du losange.

Or les diagonales du losange mesurent IJ et EF = (c'est la diagonale du carré AECF) :
il a donc pour aire A = EF × IJ = EI × h, ce qui donne h = .

Télécharger les figures GéoSpace octaedre.g3w et octaedre_2.g3w

5. Intersection de deux plans

Ouvrir la figure parall.g3w
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle de côtés de longueurs a, b et h.

Avec GéoSpace
• Placer I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD],
• Construire K un point du segment [EF] tel que EK = EF,
• Construire L un point du segment [GH] tel que HL = GH,
• Construire la droite (d), intersection des plans (IJK) et (ADE).

Un travail peut s'engager sur

• justifier l'appartenance du point L au plan (IJK),
• justifier la construction,
• conjectuer ou utiliser le théorème du toit pour démontrer que (IJ) // (AD) // (MN).

Variantes

I et K sont deux points libres sur les côtés [AB] et [EF].
J est le point d'intersection du côté [CD] et de la parallèle à (AD) passant par I.
L est le point d'intersection du côté [GH] et de la parallèle à (EH) passant par K.

Si I est le milieu de [AB], montrer que J est le milieu [CD].
Si l'abscisse de K sur la droite repérée (E, F) est 1/4, montrer que l'abscisse de L sur la droite repérée (H, G) est 1/4.

Voir : sections planes d'un parallélépipède rectangle. En modifiant les longueurs a, b et h des côtés avec a = b = h, tracer un cube et examiner la section du cube par un plan parallèle à une arête.

  Télécharger les figures GéoSpace parall_section.g3w

Activité B2i

Domaine B2i

Item lycée validable

GéoSpace en 2^nde

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.

3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles).

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Activité

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2. Droites parallèles
    Droite parallèle à un plan
3. Traces d'un plan
    Intersection de plans (dans une pyramide)
4. Octaèdre régulier
5. Intersection de deux plans

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Cube en seconde

Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoSpace

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