Géométrie en quatrième avec GéoSpace

Pyramide : volume, patron - Partition d'un cube en trois ou six pyramides.

Sommaire

1. Coin de cube
2. Trois pyramides dans un cube
3. Six pyramides dans un cube
4. Pyramide équilatérale de base carrée
5. Patrons de pyramides
6. Patron d'un cône

Programmes de géométrie dans l'espace en 4^ème

Figures interactives : visualisation de ces exemples avec jMath3D

Pyramide

Sections planes de pyramide

Pyramide octogonale

Intersection de plans dans une pyramide

Page n^o 85, réalisée le 5/9/2005, mise à jour le 23/4/2010

…avec
GéoSpace

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Parallélépipède rectangle

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Prisme
Cylindre

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Sections planes :
cube, pyramide

Faire de la
géométrie
dynamique

Pyramide : le cours

Une pyramide est un solide composé :
• d'une base polygonale,
• de faces latérales triangulaires, ayant un sommet commun, le sommet de la pyramide.

La pyramide est régulière si la base est un polygone régulier et si la hauteur, perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, a son pied au centre du polygone de base.

Au collège les pyramides étudiées auront une base rectangulaire, souvent carrée, ou bien une base triangulaire, dans ce dernier cas le solide est aussi nommé tétraèdre.

Le volume d'une pyramide (ou d'un cône de révolution) est donné par la formule :

aire de la base × hauteur

Démocrite (460-370 avant J.-C.) fut le premier à formuler l'énoncé et Eudoxe (IV^ème siècle) le premier à en trouver la démonstration.

Télécharger la figure GéoSpace pyramide.g3w

Voir : tronc de pyramide

1. Coin de cube

On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle BEGF formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet F, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

« Figure fil de fer ».

En bleu : « coin de cube ».

« Cube tronqué ».

En classe de quatrième, savoir visualiser le « coin de cube » à partir de la « Figure fil de fer » et le « cube tronqué » auquel on a enlevé le coin de cube.

Télécharger les figures GéoSpace coin_cube.g3w, cube_tronque.g3w et la figure de base : cube.g3w
Voir aussi : « cube tronqué » aux huit sommets.

2. Trois pyramides dans un cube

Visualiser la partition d'un cube en trois pyramides à bases carrées ayant donc le même volume.

Pour cela, on va partir du cube initial ABCDEFGH et définir les trois pyramides de même sommet E et de bases respectives les faces ABCD ; BCGF et HDCG du cube.

On vérifie que le volume de chaque pyramide est bien V = × a³ = × a² × a = × S_base × hauteur.

Télécharger la figure GéoSpace trois_pyra.g3w

3. Six pyramides dans un cube

Dans un cube de centre I, visualiser la partition six pyramides régulières de bases carrées, de sommet I, ayant le même volume.

On retrouve encore le volume de la pyramide V = × a³ = × a² × a = × S_base × hauteur.

Télécharger la figure GéoSpace six_pyra.g3w

4. Pyramide équilatérale de base carrée

Pyramide équilatéral de base carrée

SABCD est une pyramide régulière de face carrée ABCD.
Les quatre autres faces sont des triangles équilatéraux.

Quel est l'angle des arêtes (SA) est (SC) ?

Construction avec GéoSpace

Construire un carré de côté a. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en H. La hauteur (d) est la droite issue de H, perpendiculaire au plan ABC. S est un des points d'intersection de la hauteur (d) et de la sphère de centre A et de rayon a.

Télécharger le fichier GéoSpace pyramyde_equi.g3w

Plan diagonal

Pyramide équilatérale - plan diagonal

Une vue de face du plan ASC (touche F avec GéoSpace) permet de conjecturer que l'angle ASC est droit.

En effet, si a est la longueur d'une des arêtes de la pyramide, on remarque que ABC est un triangle rectangle isocèle de petits côtés a et d'hypoténuse AC.

Le triangle ASB a deux côtés de longueur a et un troisième côté AC.
Il est isométrique à ABC : ASB est rectangle en S.

5. Technique GéoSpace : patron d'un polyèdre (menu « Créer>Solides>Patron d'un polyèdre »)

On obtient, parmi tous les patrons possibles, un patron choisi par le logiciel en fonction de l'ordre dans lequel ont été donnés les sommets du polyèdre lors de sa création.

En pratique si le polyèdre est une pyramide ABCDS, donner (lors de la création) en premier la liste des sommets de la future base principale ABCD, dans cet ordre.

Patron d'une pyramide et d'un tétrèdre

Patron de pyramide à base carrée

Télécharger les fichiers GéoSpace pyramyde.g3w et pyramide_patron.g3w

Patron d'un tétraèdre

Télécharger les fichiers GéoSpace tetraedre.g3w et tetra_patron.g3w

Le coefficient d'ouverture du patron est une variable réelle libre m, comprise entre 0 et 1 ; si elle est égale à 1 le patron est plan, si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le polyèdre.
Pour ouvrir un patron par étapes, il suffit de piloter cette variable au clavier.

6. Patron d'un cône

Avec GéoSpace, il n'est pas possible de créer un patron de cône.
Par contre, on peut créer un polyèdre qui l'approxime, avec la même méthode que celle du patron de cylindre, vue en classe de 5^ème.

On obtient ainsi le polyèdre suivant :

Polyèdre approximation d'un cône

Commandes GéoSpace
touche C : effacer/afficher le cône,
touche P : afficher/effacer le patron du cône.

Télécharger la figure GéoSpace cone_patron.g3w

Avec la touche F7 placer le plan yOz de face.
La figure est pilotable au clavier : appuyez sur les flèches de déplacement pour ouvrir le patron en faisant varier le coefficient d'ouverture m de 0 vers 1.

Activité B2i	Domaine B2i	Item collège validable
L'espace en 4^ème	1 – S'approprier un environnement informatique de travail.	1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Programme de quatrième de géométrie dans l'espace

Bulletin Officiel du 28 août 2008

Connaissances

Capacités

Commentaires

3.2 Configurations dans l'espace

Pyramide et cône de révolution

– Réaliser le patron d'une pyramide de dimensions données.

L'observation et la manipulation d'objets constituent des points d'appui indispensables.
Ces activités doivent être complétées par l'observation et la manipulation d'images dynamiques données par des logiciels de géométrie.
Les activités sur les pyramides exploitent des situations simples.
L'objectif est toujours d'apprendre à voir dans l'espace, ce qui implique un large usage des représentations en perspective et la réalisation de patrons.
Ces travaux permettent de consolider les images mentales relatives à des situations d'orthogonalité.

4.1 Volumes

Calculs de volumes

Calculer le volume d'une pyramide et d'un cône de révolution à l'aide de la formule
V = B × .

L'objectif est, d'une part, d'entretenir les acquis des classes antérieures et, d'autre part, de manipuler de nouvelles formules, en liaison avec la pratique du calcul littéral.

Programme de géométrie plane en quatrième

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