L'espace en cinquième Figures interactives de géométrie dans l'espace : prisme et cylindre.

Faire de la géométrie dynamique

Prisme - Définition

Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

1. Prisme de base triangulaire

a. Prisme droit de base triangulaire

b. Technique GéoSpace - Patron d'un prisme

On obtient, parmi tous les patrons possibles, un patron choisi par GéoSpace en fonction de l'ordre dans lequel ont été donnés les sommets du polyèdre lors de sa création.
Les trois premiers sommets appartenant à une même face du polyèdre définissent la face principale du patron et le plan dans lequel sera situé le patron lorsqu'il sera complètement ouvert ; les autres faces s'articulent autour de cette face.

En pratique pour un prisme, commencer par les sommets d'une face latérale pour obtenir un patron habituel. Le prisme ABCDEF de base triangulaire ABC sera nommé ABEDCF en commençant par la face ABED, noms des sommets écrits dans cet ordre.

Dans le menu « Créer>Solides », choisir l'option « patron d'un polyèdre ». Le coefficient d'ouverture du patron est une variable réelle libre, m dans mes exemples, comprise entre 0 et 1 ; si elle est égale à 1 le patron est plan, si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le prisme. Pour ouvrir un patron par étapes, il suffit de piloter cette variable au clavier.

Télécharger la figure GéoSpace prisme_patron.g3w

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2. Prisme dont la base est un parallélogramme - Parallélépipède rectangle

(Extrait de GéoSpace en 6^e)

Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont toutes des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles.
C'est un prisme dont la base est un parallélogramme.

Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces qui sont toutes des rectangles. C'est un prisme droit dont la base est un rectangle.

Commandes GéoSpace

Cliquer dans la figure et faire varier la taille du parallélépipède avec les flèches du clavier.

Taper sur A pour modifier la longueur a,
B pour modifier la largeur b,
et H pour modifier la hauteur h.

Faire pivoter le solide avec la souris,
la touche W permet de revenir à la vue initiale.

Volume

Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur
      = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

Patron du prisme droit dont la base est un parallélogramme - voir : GéoSpace en 6^e

Télécharger la figure GéoSpace parallelepipede.g3w

3. Cylindre

Pour un cylindre de révolution, l'axe (AB) est perpendiculaire aux plans des cercles de base. La longueur de la hauteur [AB] est égale à la distance entre les deux bases.

Volume

Si le cercle de base a pour rayon r, l'aire de la base est πr² ; la hauteur [AB] a pour longueur h.

Volume = aire de la base × hauteur = πr² × AB = πr²h.

Aire latérale

L'aire latérale d'un cylindre de révolution est égale au périmètre de la base multiplié par la hauteur :
2πr × AB = 2πrh.

Télécharger la figure GéoSpace cylindre.g3w

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4. Une maison avec GéoSpace

La reproduction d'une maison a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
La longueur du parallélépipède est de 7 cm, sa largeur de 5 cm et sa hauteur de 4 cm.
La hauteur totale de cette maison est de 6 cm.

Le volume v est alors de 175 cm³.

Commandes GéoSpace

Faire varier la taille du parallélépipède avec les flèches du clavier.

Taper sur la touche A pour modifier la longueur a,
sur B pour modifier la largeur b,
sur C pour modifier la hauteur c du parallélépipède et
sur H pour modifier la hauteur h de la maison.

Dans le patron taper sur M pour modifier m et développer le polyèdre.

Faire pivoter le solide avec la souris,
la touche W permet de revenir à la vue initiale.

Volume

Calculer le volume compris entre les murs et ajouter celui du toit :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Volume(ABCDEFGH) + Volume(EFGHIJ)

Volume du parallélépipède : Volume(ABCDEFGH)
    = Aire(ABFE) × FG = AB × AE × FG = a × c × b,
Volume du prisme : Volume(EFGHIJ) = Aire(FEI) × FG
    = FE × (h-c) × FG = a × (h-c) × b.

Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFE) × FG + Aire(FEI) × F
    = [ Aire(ABFE) + Aire(FEI) ] × FG.

Volume(ABCDEFGHIJ) = a × c × b + a × (h-c) × b
    = a × [ c + (h-c)] × b = a × (h+c) × b.

Effectivement; la maison est un prisme de base pentagonale ABFIE
et avec Aire(ABFE) + Aire(FEI) = Aire(ABFIE) on retrouve :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFIE) × FG = Aire de la base × hauteur.

Télécharger les figures GéoSpace maison.g3w, maison_patron.g3w
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5. Cube tronqué

Cube aux « coins coupés ».

On a coupé un cube un « coin » du cube au tiers des arêtes.
Représenter en perspective le solide obtenu en coupant de même manière les huit « coins ».

Décrire le solide obtenu : nombre de faces, nombre d'arêtes, nombre de sommets.

Rallye Mathématiques Poitou-Charentes - 2007

Solide d'Archimède (287-212 av. J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet. Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

Commandes GéoSpace

Cliquer dans la figure et taper G puis P.

Touche G : afficher/effacer le « coin » de cube,
touche C : afficher/effacer le Cube,
touche P : afficher/effacer le Polyèdre obtenu en coupant de même manière les huit « coins ».

Coin de cube : b = ; b₁ pour des octogones réguliers.
Touche R : octogones Réguliers de côté b₁.

Télécharger la figure GéoSpace cube_tronque.g3w