L'espace en cinquième avec GéoSpace

Sommaire

1. Prisme de base triangulaire
      Patron d'un prisme
2. Prisme dont la base est un parallélogramme
3. Cylindre
      Patron de cylindre
4. Une maison avec GéoSpace
5. Cube tronqué

Programme de cinquième de géométrie dans l'espace

Figures interactives : visualisation de ces exemples avec jMath3D-version 3.0
    L'espace en cinquième - version 4.0.3 (avec quelques bugs)

Page n^o 94, réalisée le 9/10/2006, modifiée le 23/4/2010

…avec
GéoSpace

GéoSpace en 6^e
Parallélépipède rectangle

GéoSpace en 4^e
Pyramide

GéoSpace en 3^e
Sections planes : cube, pyramide

Faire de la
géométrie
dynamique

Prisme - Définition

Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit, les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

ABC et DEF sont les bases du prisme droit ABCDEF.

Les faces latérales ABED, BCFE et CADF sont des rectangles.

Les arêtes [AD], [BE] et [CF] sont perpendiculaires aux plans des bases. Leur longueur est la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

Télécharger la figure GéoSpace prisme.g3w

Volume du prisme

Volume(ABCDEF) = Aire de la base × hauteur
      = Aire(ABC) × AD.

Aire(ABC) = base × hauteur = AB × CH.

Volume(ABCDEF) = AB × CH × AD.

Base, hauteur

Il est difficile, pour les élèves, d'identifier base et hauteur, notions que l'on trouve aussi bien dans le prisme que dans le triangle.

Dans le sens commun, comme dans la figure de gauche, la base ABC du prisme est horizontale et la hauteur [AD] est verticale.

En géométrie, ces objets sont indépendants de leur position. Par exemple, dans la figure ci-dessus la base ABC du prisme est verticale et la hauteur [AD] est horizontale.

Pour le calcul de l'aire du triangle ABC, dans la figure de gauche la hauteur [CH] est horizontale, on retrouve le langage courant, dans la figure ci-dessus, avec la base [AB] horizontale et la hauteur [CH] verticale.

Aire latérale

L'aire latérale d'un prisme droit est égale au périmètre de la base multiplié par la hauteur : (AB + BC + CA) × AD.

Télécharger la figure GéoSpace prisme_h.g3w

b. Technique GéoSpace - Patron d'un prisme (menu « Créer>Solides>Patron d'un polyèdre »)

Les trois premiers sommets du polyèdre définissent la face principale du patron.

En pratique pour nommer un prisme, commencer par les sommets d'une face latérale pour obtenir un patron habituel. Le prisme ABCDEF de base triangulaire ABC sera nommé ABEDCF en commençant par la face ABED, noms des sommets écrits dans cet ordre.

2. Prisme dont la base est un parallélogramme - Parallélépipède rectangle

Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces qui sont toutes des rectangles. C'est un prisme droit dont la base est un rectangle.

Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle.

Volume

Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur
      = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

Patron du prisme droit dont la base est un parallélogramme - voir : GéoSpace en 6^e

Télécharger la figure GéoSpace parallelepipede.g3w,
Cas particulier : figure GéoSpace de base : cube.g3w

3. Cylindre

Pour ce cylindre, les bases sont deux cercles de centres A et B et rayon r.
L'axe (AB) du cylindre est perpendiculaire aux plans des cercles de base.

Volume

Pour un cercle de base de rayon r, l'aire de la base est πr² ;
la longueur h de la hauteur [AB] est égale à la distance entre les deux bases.

Volume = aire de la base × hauteur = πr² × AB = πr²h.

Aire latérale

L'aire latérale d'un cylindre de révolution est égale au périmètre de la base multiplié par la hauteur :

2πr × AB = 2πrh.

Télécharger la figure GéoSpace cylindre.g3w

Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Avec GéoSpace, il n'est pas possible de créer un patron de cylindre.
On doit créer un polyèdre qui approxime ce cylindre. il suffit ensuite d'en faire le patron.

Pour cela, après avoir placé les deux points A et B de l'axe, placer un point A₀ de la base du cylindre, le translaté B₀ de A₀ puis deux images A₁ et B₁ par la rotation d'axe (AB), d'angle 2π/n, où n est le nombre de points à placer sur le cercle (ici n = 20).

n = 20
t = 2pi/n
A0 point de coordonnées (r,0,-h/2) dans le repère Rxyz
B0 image de A0 par la translation de vecteur vec(A,B)
A1 image de A0 par la rotation d'axe (AB) et d'angle t (radian)
B1 image de B0 par la rotation d'axe (AB) et d'angle t (radian)

Les autres points des cercles de base s'obtiennent facilement par création itérative en appuyant 18 fois sur la touche S.

On obtient le polyèdre suivant :

Commandes GéoSpace
touche C : effacer/afficher le cylindre,
touche P : afficher/effacer le patron du cylindre.

Télécharger la figure GéoSpace patron_cylindre.g3w

Avec la touche F7 placer le plan yOz de face.
La figure est pilotable au clavier : appuyez sur les flèches de déplacement pour ouvrir le patron en faisant varier le coefficient d'ouverture m de 0 vers 1.

4. Une maison avec GéoSpace

La reproduction d'une maison a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
La longueur du parallélépipède est de 7 cm, sa largeur de 5 cm et sa hauteur de 4 cm.
La hauteur totale de cette maison est de 6 cm.

Le volume v est alors de 175 cm³.

Commandes GéoSpace

Faire varier la taille du parallélépipède avec les flèches du clavier.

Taper sur la touche A pour modifier la longueur a,
sur B pour modifier la largeur b,
sur C pour modifier la hauteur c du parallélépipède et
sur H pour modifier la hauteur h de la maison.

Patron

Le patron du polyèdre ABCDEFGHIJ est développé autour de la face principale ABCD.
Taper sur la touche M pour modifier la variable m et développer le polyèdre.

Faire pivoter le solide avec la souris,
la touche W permet de revenir à la vue initiale.

Volume

Calculer le volume compris entre les murs et ajouter celui du toit :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Volume(ABCDEFGH) + Volume(EFGHIJ)

Volume du parallélépipède : Volume(ABCDEFGH)
    = Aire(ABFE) × FG = AB × AE × FG = a × c × b,
Volume du prisme : Volume(EFGHIJ) = Aire(FEI) × FG
    = FE × (h-c) × FG = a × (h-c) × b.

Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFE) × FG + Aire(FEI) × FG
    = [ Aire(ABFE) + Aire(FEI) ] × FG.

Volume(ABCDEFGHIJ) = a × c × b + a × (h-c) × b = a × [ c + (h-c)] × b = a × (h+c) × b.

Effectivement, la maison est un prisme de base pentagonale ABFIE
et avec Aire(ABFE) + Aire(FEI) = Aire(ABFIE) on retrouve :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFIE) × FG = Aire de la base × hauteur.

Télécharger les figures GéoSpace maison.g3w, maison_patron.g3w
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Faire de la géométrie dynamique

On a coupé un « coin » du cube au tiers des arêtes.

Voir aussi : « coin du cube » et « cube tronqué » lorsque les côtés du « coin » sont des diagonales du cube.

Représenter en perspective le solide obtenu en coupant
de même manière les huit « coins » (les triangles ayant un côté de longueur inférieure à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube).

Décrire ce solide : nombre de faces, nombre d'arêtes, nombre de sommets.

Solide d'Archimède (287-212 av. J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet. Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

Commandes GéoSpace :

Touche G : afficher/effacer le « coin » de cube,
touche C : afficher/effacer le Cube,
touche P : afficher/effacer le Polyèdre obtenu en coupant de même manière les huit « coins ».

Touche R : les octogones sont Réguliers.

Télécharger la figure GéoSpace cube_tronque.g3w

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

L'espace en 5^ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

Connaissances

Capacités

Commentaires

Prismes droits, cylindres de révolution

  – Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions sont données, en particulier à partir d'un patron.
  – Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné.
  – Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides.
  – Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d'un prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.

Comme en classe de sixième, l'objectif est d'entretenir et d'approfondir les acquis :
représenter, décrire et construire des solides de l'espace, en particulier à l'aide de patrons. Passer de l'objet à ses représentations (et inversement) constitue encore l'essentiel du travail.
L'observation et la manipulation d'objets usuels sont des points d'appui indispensables.

L'usage d'outils informatiques (logiciels de géométrie dans l'espace) peut se révéler utile pour une meilleure découverte de ces solides.

Aires

Calculer l'aire d'une surface plane ou celle d'un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables.

Les élèves peuvent calculer l'aire latérale d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur.

Volumes

Prisme, cylindre de révolution.

  – Calculer le volume d'un parallélépipède rectangle.
  – Calculer le volume d'un prisme droit, d'un cylindre de révolution.
  – Effectuer pour des volumes des changements d'unités de mesure.

Une relation est établie entre les calculs de volume du prisme droit et du cylindre : dans les deux cas, l'aire de la surface de base du solide est multipliée par sa hauteur.
On travaillera les changements d'unités de volume dans des situations de la vie courante

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