Volume maximal Mode d'emploi pour l'étude de fonctions à partir de figures géométriques Illustration du passage d'une situation géométrique à une situation d'analyse en utilisant deux figures qui communiquent entre elles.

Faire de la géométrie dynamique

Remarque technique sur les activeX de GéoPlan/GéoSpace

Pour utiliser l'importation active dans figures interactives, n'utiliser qu'un exemple par page HTML. Les autres exemples se trouvent donc sur d'autres documents à charger séparément.

Communication entre figures - Importation active

Situation

On cherche le cylindre de volume maximal inscrit dans un cône. Dans la figure Cyl_Cone, un point H est variable sur le segment [oS]. Les variables x et V représentent respectivement la longueur oH et le volume du cylindre.

Télécharger Cyl_Cone	Télécharger Graphiq

Utilisation

Charger les deux figures (fermer éventuellement toutes les autres) et les placer en mosaïque (menu : Fenêtres). Les valeurs de x et de V (affichées dans graphiq) ne sont pas forcément les mêmes dans les deux figures. Pour actualiser ces valeurs, il faut rendre active la figure Cyl_Cone. Pour observer la courbe de la fonction telle que V soit l'image de x par cette fonction, il faut mettre la figure graphiq en mode « Trace ».

Le calcul de V en fonction de x utilise seulement le théorème de Thalès. C'est une fonction polynôme du troisième degré qui peut donc s'étudier en première.

Commentaire sur la réalisation

Dans Cyl_Cone, le point H est un point libre sur le segment [oS] et le cylindre est créé en utilisant le point d'intersection du plan passant par H et parallèle au plan de la base du cône avec une génératrice du cône.

Dans graphiq, on définit deux réels libres x et V puis le point M de coordonnées (x, V) dans le plan oxy muni de son repère canonique. La figure est importatrice (article « Importer » coché dans le menu « Piloter »). De plus, on a choisi la vue standard avec oxy de face et on a placé la figure en mode « Plan de face maintenu de face » pour simuler une figure plane.

Cliquer sur la figure de droite : touche T pour garder la Trace du point M, touche S pour Sortir du mode trace,
cliquer sur la figure de gauche et déplacer le point H avec la souris ou les flèches du clavier.

Modification éventuelle

On peut utiliser ces mêmes fichiers pour chercher le cylindre inscrit ayant la plus grande aire. Pour cela, dans Cyl_Cone, on redéfinit V comme aire du convexe C_yl. On diminue la taille de la figure en augmentant les valeurs u pour l'axe (ox) et v pour l'axe (oy). Ces deux variables indiquent le nombre d'unités de l'espace contenues dans les unités graphiques du plan oxy.

On peut aussi s'intéresser aux cylindres inscrits dans une pyramide comme le suggère la figure ci-contre.