Sections planes d'un tétraèdre, d'un cube ; barycentre d'un tétraèdre.
SommaireSections planes du tétraèdre1.1. Triangle 1.6. Barycentre : alignement Page no 18, réalisée le 14/3/2002 - mise à jour le3/7/2010 |
Sections planes du cube2.1. Trois points sur des arêtes concourantes |
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TétraèdreTétraèdre orthocentrique : tétraèdre en seconde Sections planes du cubeGéoSpace en troisième | |||||
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1.1. Soit trois points I, J et K sur les arêtes d'un tétraèdre.
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« L'utilisation de l'informatique permet une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “ vraie grandeur ”. 2.1. Soit trois points I, J et K sur les arêtes (concourantes en F) d'un cube
Indications Tracez les segments [IJ], [JK] et [IK] sur les faces du cube. Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (ABC). Tracez le point P intersection de (IK) et (AB) et le point Q intersection de (JK) et (BC), puis la droite (PQ), intersection de (IJK) avec le plan (ABC). La droite (PQ) coupe (DA) en R et (DC) en S. Les droites (PQ) et (IJ) sont parallèles. Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (CDH). Prolongez (IJ) jusqu'à son intersection L avec la droite (HG). La droite (LR) est, l'intersection de (IJK) avec le plan (ADE). Cette droite coupe le côté (HE) en M situé sur (IJ) et coupe le côté (AE) en U situé sur (IK). Les droites (LR) et (JK) sont parallèles.
2.2. Soit trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube(les trois arêtes ne sont pas concourantes.) ![]() – Tracer la section plane – Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (EFG). Indications – Tracer le point N, intersection de (IJ) avec (CB), puis le point P intersection de (IJ) avec (CD). La droite (KN) coupe le côté [BF] en L et la droite (KP) coupe le côté [DH] en M. IJLKM est la section du cube par le plan (IJK). – Construire le point Q intersection de (KP) avec (GH), puis le point R intersection de (KN) avec (FG). L'intersection de (IJK) avec le plan (EFG) est la droite (QR). Cette droite est parallèle à (IJ).
2.3. Soit trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube(aucune des trois arêtes ne sont concourantes.) Trouver la section du plan (IJK) sur le cube. Exercice assez difficile : il faut utiliser un plan auxiliaire (ICG) pour trouver le point N aligné avec I et K, situé dans le plan de base (EFG) du cube, puis terminer la construction comme pour l'exercice précédent. ![]() Indications Trouver l'intersection de la droite (IK) avec le plan horizontal (EFG). GéoSpace trouve facilement ce point. Pour une construction géométrique dans le plan auxiliaire (ICG), tracer la parallèle (I’G) à (IC) passant par G. Le point N est à l'intersection de cette parallèle avec (IK). Trouver ensuite le point d'intersection L de la droite (NJ) avec l'arête (FG) du cube, puis les points M et R avec les prolongements des faces latérales puis terminer comme ci-dessus en trouvant le point P intersection de (MI) et de (AE), puis le point Q sur (RK) et (CD). La section plane IPJLKQ est un hexagone ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.
2.4. Soit trois points I, J et K sur 3 faces d'un cube(faces ayant le sommet F en commun.)
Trouvez la droite d'intersection (LN) du plan (BIJ) avec la face EFGH. Les deux droites (LN) et (IJ) se coupant en N, point des plans (IJK) et (EFG), montrez que la droite (KN) est l'intersection de ces deux plans. Déduisez-en que sur cette droite d'intersection (KN), le point P de l'arête [EF] et le point Q de l'arête [FG] sont deux points du plan (IJK). Tracez le troisième point R sur l'arête [BE], en prolongeant les droites (PI) et (QJ). Les droites (PR) et (RQ) sont les intersections de (BEF) et (EFG) avec le plan (IJK).
Sommaire 2.5. Variation de la section par un plan perpendiculaire à une diagonaleTrouver l'intersection d'un cube ABCDEFGH avec le plan parallèle à (BDE), passant par un point M variable sur la diagonale (EG) du carré EFGH. |
Hexagone |
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Triangle |
Lorsque le point M se déplace, il défile une succession de triangles, hexagones puis triangles. En orientant différemment le plan sécant, on peut obtenir le défilement d'une succession de polygones : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, pentagone, quadrilatère, triangle. Les métamorphoses d'un type au type suivant ayant lieu lorsqu'un sommet du cube traverse le plan variable.
2.6. Problème de Bergson
Il est facile de démontrer que les six segments sont égaux (à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube) et parallèle deux à deux : a. En géométrie dans l'espace il faut montrer que les six points sont coplanaires : ils sont dans le plan (P) passant par O parallèle au plan (ACH). b. Une autre démonstration utilise le plan médiateur de [DF] comme plan (P) : IJKLMN contenu dans le plan (P) est un hexagone régulier.
c. Calcul vectoriel et analytique ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 19 Soit ABCDEFGH un cube. On choisit le repère orthonormal (D ; Déterminer les coordonnées des points I, K, M. Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires, dans un plan que l'on notera (P) (on donnera une équation du plan (P) dans le repère choisi). Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (DF) sont confondus en un même point. On rappellera O ce point. Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses côtés ont même longueur. On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point F. Indications Les coordonnées des milieux sont I(1, L'aire de l'hexagone formé de six triangles équilatéraux de côtés
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