Géométrie dans l'espace

Dans la face ABC, étudier l'intersection des droites (IJ) et (BC). On suppose que ces deux droites ne sont pas parallèles, leur point L d'intersection appartient aux plans (IJK) et (BCD).
De même dans la face ACD, étudier l'intersection des droites (JK) et (CD). Si ces deux droites sont parallèles, voir le cas particulier ci-dessous, sinon leur point M d'intersection appartient aux plans (IJK) et (BCD).

On en déduit alors que le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite (ML).

Enfin, trouvez le point N d'intersection des droites (KI) et (BD) situé dans la face ABD.
En général ces deux droites sont sécantes en N.

Règle d'incidence : Pour prouver l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

Les points L, M et N, lorsque qu'ils existent, sont alignés. Ces points appartiennent à la droite d'intersection des plans (IJK) et (BCD).

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Cas particulier : parallélisme des droites (JK) et (CD) par exemple.

section plane triangulaire d'un tétraèdre On suppose que le point I n'est pas dans un plan parallèle à la base BCD.

L est le point d'intersection des droites (IJ) et (BC),
N est le point d'intersection des droites (KI) et (BD).

(LN) est la droite d'intersection des plans (IJK) et (BCD).

D'après le théorème du toit, (LN) est parallèle à (CD).

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1.2. Quadrilatère

section quadrilatère I est un point de [AB], J de [AC] et K de [CD].

Section plane par le plan IJK :

Si (IJ) n'est pas parallèle à (BC), ces deux droites se coupent en M.

La droite (MK) coupe [BD] en L.

Le quadrilatère IJKL est la section du tétraèdre par le plan (IJK).

Voir le cas particulier du parallélogramme.

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1.3. Trapèze - Un exercice d'INTERSEP

section trapèze Cette activité est extraite du logiciel INTERESP, qui accompagne GéoSpace.

Sur un tétraèdre ABCD, soit I le milieu du segment [AD], J le milieu du segment [BD] et K un point de la face (ABC).

Construire la section du tétraèdre par le plan (IJK).

Solution

(IJ) droite des milieux du triangle ABD est parallèle à (AB). L'intersection du plan (IJK) et du plan (ABC) est la droite parallèle à (AB) passant par K. Cette droite rencontre (BC) en L et (AC) en M.

La section plane est le trapèze IJLM.

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1.4. Soit trois points I, J et K sur les faces d'un tétraèdre.

Intersection du plan (IJK) avec la base (BCD) Si le plan (IJK) est parallèle au plan de base (BCD), la section est un triangle aux côtés parallèles à ceux de ABC, contenant les trois points I, J K.

Sinon :

a) Trouver l'intersection du plan (IJK) avec la base (BCD).

Utilisez les plans (AIK) et (AJK).

Montrez que le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite (QR).

b) Trouver l'intersection du plan (IJK) avec les autres faces.

Tracez le point d'intersection S de la droite (QR) avec (BC) et déduisez-en l'intersection du plan (IJK) avec la face (ABC).

Si le point S est entre B et C, la section est un quadrilatère, sinon lorsque S est à l'extérieur de [BC] on obtient une section triangulaire.

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1.5. Rappel : théorème du toit

théorème du toit Si on a :

• deux droites parallèles d₁ et d₂,
• un plan P₁ contenant d₁,
• un plan P₂ contenant d₂,

alors la droite d d'intersection des deux plans P₁ et P₂ est parallèle aux droites d₁ et d₂.

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Voir : intersection de plans en seconde

Parallélogramme comme section plane d'un tétraèdre

Parallélogramme comme section ABCD est un tétraèdre non aplati.
Montrer que si l'intersection d'un plan et d'un tétraèdre est un parallélogramme, les côtés du parallélogramme sont parallèles à des côtés du tétraèdre.

Si la section IJKL est un parallélogramme, les droites (IJ) et (LK) sont parallèles, la droite (IJ) est contenue dans le plan (ABC), (LK) est contenue dans le plan (DBC). Ces plans se coupent selon la droite (BC), d'après le théorème du toit les droites (IJ) et (LK) sont parallèles à (BC).

De même, les droites (IL) et (JK) sont parallèles à (AD).

Recherche de ces sections planes

Soit I un point à l'intérieur du segment [AB].
Par I on peut tracer deux couples de droites d₁ et d₂ parallèles aux arêtes opposées (BC) et (AD), ou d₃ et d₄ parallèles aux arêtes opposées (AC) et (BD).
Les plans passant par I contenant les droites d₁et d₂ d'une part (cas de la figure), ou d₃ et d₄ d'autre part, coupent le tétraèdre suivant des parallélogrammes de sommet I.

Trois parallélogrammes comme sections Par un point M d'une face non situé sur une arête du tétraèdre, on peut faire passer trois droites parallèles aux côtés de cette face. Les sections des trois plans contenant ces droites et parallèles aux arêtes opposées sont des parallélogrammes contenant M.

Pour un point M de l'espace non situé sur les arêtes du tétraèdre, il existe trois plans passant par M coupant le tétraèdre suivant un parallélogramme.

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Parallélogramme et tétraèdre

Parallélogramme et tétraèdre ABCD est un tétraèdre, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD]

a) Montrer l'égalité vectorielle + = 2

b) Soit k un réel donné dans l'intervalle ]0, 1[.
On définit les points M, N, P, Q par :
= k ; = k ; = k ; = k .

Montrer que MNPQ est un parallélogramme. Soit K son centre.

Montrer = k , donc que K appartient au segment [IJ].

Pour k = , on trouve que K, centre de gravité du tétraèdre, est le milieu des trois segments dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées.

c) Démontrer qu'étant donné un point K du segment [IJ] il existe un unique point N de [AD] et un unique point Q de [BC] tel que K soit le milieu de [NQ].

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Projection orthogonale

Projection orthogonale d'un tétraèdre Montrer qu'un tétraèdre se projette orthogonalement sur un plan suivant un parallélogramme si et seulement s'il admet deux arêtes opposées dont les milieux sont sur une même perpendiculaire au plan de projection.

Indications

Les projections des deux arêtes opposées sont les diagonales du parallélogramme. Le point K, projection des milieux des arêtes, est le milieu des diagonales. Les diagonales se coupent en leur milieu, d'où parallélogramme.

Réciproquement, si la projection est un parallélogramme, la perpendiculaire au plan de projection passant par le milieu des diagonales intercepte les milieux des arêtes.

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1.6. Barycentre et tétraèdre : alignement dans l'espace

ABCD est un tétraèdre.
Soit I le milieu de l'arête [AD],
G le centre de gravité du triangle ABC,
E le point tel que le quadrilatère BDCE soit un parallélogramme.

alignement dans l'espace a) Déterminer des nombres entiers b, c et d tels que le point E soit le barycentre des points pondérés (B, b) ; (C, c) et (D, d).

La somme de vecteurs + est représentée par la diagonale du parallélogramme :
+ = + = .

+ - = , donc, en choisissant 1 pour b, les coefficients sont :
b = 1, c = 1 et d = − 1

b) Démontrer que + + - - = .

En ajoutant et en retranchant à l'égalité + - = ,
on montre que + + - - = .

c) Déduire, de la question précédente, que la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

G est le centre de gravité du triangle ABC on peut donc écrire l'égalité vectorielle de Leibniz :
3 = + + .
I est le milieu de l'arête [AD],
donc d'après le théorème de la médiane : 2 = - .

L'égalité de la question précédente devient : 3 - 2 = ,
les points E, G et I sont alignés et la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

d) Préciser la position de E par rapport aux points G et I.

D'après l'égalité de la question précédente, E est le barycentre de (G, 3) et (I, -2), donc : = − 2 .

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Centre de gravité d'un tétraèdre : barycentre de quatre points
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Travaux Pratiques n^o 2

Sections planes d'un cube

Intersection d'un plan avec une face du cube

« L'utilisation de l'informatique permet une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “ vraie grandeur ”.
Les commandes “ dessin en bloc ” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur ».

2.1. Soit trois points I, J et K sur les arêtes (concourantes en F) d'un cube

Trois points I, J et K sur les arêtes d'un cube Trouver l'intersection du plan (IJK) avec les six faces du cube.
Sur chacune des droites d'intersection, on trouvera les quatre points d'intersection avec les prolongements des côtés du carré.

Indications

Tracez les segments [IJ], [JK] et [IK] sur les faces du cube.

Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (ABC).

Tracez le point P intersection de (IK) et (AB) et le point Q intersection de (JK) et (BC), puis la droite (PQ), intersection de (IJK) avec le plan (ABC). La droite (PQ) coupe (DA) en R et (DC) en S. Les droites (PQ) et (IJ) sont parallèles.

Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (CDH).

Prolongez (IJ) jusqu'à son intersection L avec la droite (HG).
Ce point L est situé dans le plan (CDH). La droite (LS) est l'intersection de (IJK) avec le plan (CDH).
Cette droite (LS) est parallèle à (IK). Elle coupe (DH) en V et (CG) en T. T est aligné avec J, K et Q.

La droite (LR) est, l'intersection de (IJK) avec le plan (ADE).

Cette droite coupe le côté (HE) en M situé sur (IJ) et coupe le côté (AE) en U situé sur (IK). Les droites (LR) et (JK) sont parallèles.

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2.2. Soit trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube

(les trois arêtes ne sont pas concourantes.)

– Tracer la section plane

– Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (EFG).

Indications

– Tracer le point N, intersection de (IJ) avec (CB), puis le point P intersection de (IJ) avec (CD).

La droite (KN) coupe le côté [BF] en L et la droite (KP) coupe le côté [DH] en M.

IJLKM est la section du cube par le plan (IJK).

– Construire le point Q intersection de (KP) avec (GH), puis le point R intersection de (KN) avec (FG). L'intersection de (IJK) avec le plan (EFG) est la droite (QR). Cette droite est parallèle à (IJ).

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2.3. Soit trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube

(aucune des trois arêtes ne sont concourantes.)

Trouver la section du plan (IJK) sur le cube.

Exercice assez difficile : il faut utiliser un plan auxiliaire (ICG) pour trouver le point N aligné avec I et K, situé dans le plan de base (EFG) du cube, puis terminer la construction comme pour l'exercice précédent.

IPJLKQ est un hexagone ayant ses côtés opposés parallèles

Indications

Trouver l'intersection de la droite (IK) avec le plan horizontal (EFG). GéoSpace trouve facilement ce point. Pour une construction géométrique dans le plan auxiliaire (ICG), tracer la parallèle (I’G) à (IC) passant par G. Le point N est à l'intersection de cette parallèle avec (IK).

Trouver ensuite le point d'intersection L de la droite (NJ) avec l'arête (FG) du cube, puis les points M et R avec les prolongements des faces latérales puis terminer comme ci-dessus en trouvant le point P intersection de (MI) et de (AE), puis le point Q sur (RK) et (CD).

La section plane IPJLKQ est un hexagone ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.

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2.4. Soit trois points I, J et K sur 3 faces d'un cube

(faces ayant le sommet F en commun.)
Trouver les intersections du plan (IJK) avec les faces (BEF), (BFG) et (EFG) du cube.

Sections planes d'un cube Indications

Trouvez la droite d'intersection (LN) du plan (BIJ) avec la face EFGH.

Les deux droites (LN) et (IJ) se coupant en N, point des plans (IJK) et (EFG), montrez que la droite (KN) est l'intersection de ces deux plans. Déduisez-en que sur cette droite d'intersection (KN), le point P de l'arête [EF] et le point Q de l'arête [FG] sont deux points du plan (IJK).

Tracez le troisième point R sur l'arête [BE], en prolongeant les droites (PI) et (QJ).

Les droites (PR) et (RQ) sont les intersections de (BEF) et (EFG) avec le plan (IJK).

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2.5. Variation de la section par un plan perpendiculaire à une diagonale

Trouver l'intersection d'un cube ABCDEFGH avec le plan parallèle à (BDE), passant par un point M variable sur la diagonale (EG) du carré EFGH.

Hexagone
Sections planes d'un cube

Sections planes d'un cube
Plan (BDE) de face.

Triangle
Sections planes d'un cube

Lorsque le point M se déplace, il défile une succession de triangles, hexagones puis triangles.

En orientant différemment le plan sécant, on peut obtenir le défilement d'une succession de polygones : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, pentagone, quadrilatère, triangle. Les métamorphoses d'un type au type suivant ayant lieu lorsqu'un sommet du cube traverse le plan variable.

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APMEP Voir : l'espace à n dimensions - Maths en scène - APMEP Rouen 1998
Voir : GéoSpace en 3^e : sections planes d'un cube
Terminale S - Étude du plan BDE : produit scalaire

2.6. Problème de Bergson

Problème de Bergson I, J, K, L, M, N sont les milieux des arêtes du cube de centre O (cf. figure).
Quelle est la nature de l'hexagone IJKLMN ?

APM Donné au concours général de 1896 où Bergson eut le premier prix
(d'après Bernard Destainville - Enseigner la géométrie dans l'espace - brochure APMEP n^o 99).

Il est facile de démontrer que les six segments sont égaux (à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube) et parallèle deux à deux :
par exemple (IJ) // (AC) // (EG) // (LM).

a. En géométrie dans l'espace il faut montrer que les six points sont coplanaires : ils sont dans le plan (P) passant par O parallèle au plan (ACH).
Dans le rectangle ABGH, [IL] a pour milieu O est parallèle à [AH] donc [IL] est contenu dans le plan (P). Même démonstration pour [JM] et [KN]. IJKLMN est donc contenu dans le plan (P) : c'est un hexagone régulier.

b. Une autre démonstration utilise le plan médiateur de [DF] comme plan (P) :
IF = ID comme hypoténuses de triangles rectangles ayant pour petits côtés un côté du cube et l'autre égal au demi-côté du cube. I est donc dans (P). De même pour J, K…

IJKLMN contenu dans le plan (P) est un hexagone régulier.

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c. Calcul vectoriel et analytique

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 19
Banque de sujets 2007 - D'après le sujet 019 (enseignement obligatoire)

Soit ABCDEFGH un cube. On choisit le repère orthonormal (D ; , , ) avec = , = et = .
On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [EA].

Déterminer les coordonnées des points I, K, M.

Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires, dans un plan que l'on notera (P) (on donnera une équation du plan (P) dans le repère choisi).
Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (P).

Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (DF) sont confondus en un même point. On rappellera O ce point.
Déterminer la position du point O sur le segment [DF].

Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses côtés ont même longueur.

On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point F.
Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette pyramide ?

Indications

Les coordonnées des milieux sont I(1, , 0) ; K(0, 1, ) et M(, 0, 1).
Le plan (P) a pour équation x + y + z = , ce plan est orthogonal au vecteur de coordonnées (1, 1, 1) : le vecteur .
L'hexagone régulier est situé sur un cercle de centre O, milieu de [DF], de rayon . La longueur des côtés est aussi .

L'aire de l'hexagone formé de six triangles équilatéraux de côtés est S_base = 6 × .
La hauteur de la pyramide est OF = .
Le volume de la pyramide V est = × S_base × hauteur = × (6 × ) × = .