Géométrie dans l'espace au lycée avec GéoSpace : coin d'un cube - sections planes
Sommaire1. Coin d'un cube | Sections planes d'un cubeVoir : GéoSpace en troisième Page no 138, extraite de la page GéoSpace en seconde le 17/3/2009, | ||||
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« Le Cube » est une marque déposée par « Art 3000 », association qui gère un espace multimédia à Issy-les-Moulinaux. À quand des royalties pour faire un cours de mathématiques ? Télécharger la figure GéoSpace de base : cube.g3w |
On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle ABCD formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet A, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes. Soit H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Montrer que H est l'orthocentre du triangle BCD. (AD), perpendiculaire au plan (ABC), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite (BC). Les arêtes opposées du coin de cube sont orthogonales. Le point A est l'orthocentre de ce tétraèdre orthocentrique. BCD est un triangle équilatéral. Si I, J et K sont les milieux des côtés de triangle, IJK est aussi un triangle équilatéral et par exemple (JK) parallèle à (BC) est orthogonale à (AD). Calcul de la hauteur AH Dans la troisième figure, ABCD est un coin de cube de côté a = 4 cm et I le milieu de [BC]. (AH) est la hauteur abaissée sur la face (BCD). Méthode 1 : calculer la longueur AH en exprimant de deux façons le volume V de la pyramide ABCD. La pyramide de base ABC et de sommet D. La base égale à la moitié du côté du cube est a2 et la hauteur AD = a. V est aussi le volume de la pyramide de base BCD et de hauteur AH : V = SBCD × AH = × a2 × AH = a2 × AH. On obtient la longueur AH = a Méthode 2 : calcul d'inverses de carrés Dans le triangle ABC rectangle en A de hauteur (AI) exprimer de deux façons l'aire : D'où AI2 = et De même, dans le triangle AID rectangle en A de hauteur (AH) : On trouve finalement : Dans le cas particulier AB = AC = AD = a on retrouve la longueur AH = a Application : En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre montrer que : Aire2(BCD) = Aire2(ABC) + Aire2(ABD) + Aire2(ACD). En classe de première, il est possible de généraliser avec un coin de pavé droit. Télécharger les figures GéoSpace coin_cube.g3w et coin_cube_2.g3w |
ABCDEFGH est un cube de côté 4 cm. I est le milieu de la face BCGF et J celui de EFGH. a. Calculer la longueur AI. b. Trouver les traces du plan (AIJ) sur le cube. Section plane : trouver le point K intersection de la droite (IJ) et du plan (ABC). Le parallélogramme APQR est la section plane du plan (AIJ) sur le cube.
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Exemple de contenu de TP pour ce qui aurait pu être l'enseignement optionnel de mathématiques dans la nouvelle seconde Catherine Combelles & Pascale Pombourcq - Nouvelle seconde - Bulletin APMEP no 480 janvier-février 2009 Un point I est placé sur l'arête [AB] d'un cube ABCDEFGH. Par exemple tel que AI = AB. Il s'agit de construire, en papier Canson, les deux morceaux du cube découpé par le plan (IJK). |
Tracé de la figure en perspectiveCalcul de la position du point M. (Mise en équation utilisant le théorème de Thalès : MD = AD ), puis des points L, P et N. Télécharger la figure GéoSpace sec_cube2.g3w |
Dessin en vraie grandeur de la section planeTechnique GéoSpace : touche F pour obtenir une vue de Face du plan (IJK). Vérifier que N et P partagent [ML] en trois segments de longueur égale. Tracer le pentagone IJPNK. Vérifier que deux paires de côtés sont parallèles et que (NP) est parallèle à la diagonale (KJ). Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_vraie.g3w |
Les deux parties du cubeTélécharger la figure GéoSpace sec_cube_part1.g3w |
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Technique GéoSpace : patron d'un polyèdreLe polyèdre s1 est nommé FKNHGPBIJC afin que les trois premières lettres désignent la face FKNHG comme face principale du premier patron. Dans le menu « Créer>Solides », choisir l'option « patron d'un polyèdre ». Pour ouvrir un patron par étapes, il suffit de piloter au clavier le coefficient d'ouverture m de ce patron de 0 à 1. | |
Les patrons de chacune des partiesCommandes GéoSpace Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_patron1.g3w |
Commandes GéoSpace Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_patron2.g3w |
ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BF] Les côtés du quadrilatère AIGJ sont de même longueur. Le dessin suggère que les angles sont droits ? Télécharger la figure GéoSpace sec_cube4.g3w |
Avec une vue de face du plan (IAJ), GéoSpace montre Les fervents du calcul peuvent démontrer que les |
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