Activités dans l'espace

Sommaire

1. Droite parallèle à un plan
2. Intersection d'une droite et d'un tétraèdre
3. Intersection d'une droite et d'un cube

4. Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan
5. Construction dans l'espace utilisant une configuration du plan
6. Pyramide et tétraèdre
7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

Page n^o 34, réalisée le 26/2/2003 - mise à jour le 20/7/2005

…avec
GéoSpace

GéoSpace en 3^ème
Sections cube, pyramide

GéoSpace en 2^nde
Incidence

GéoSpace
Tétraèdre

GéoSpace en TS
Paraboloïde

Faire de la
géométrie
dynamique

1. Droite parallèle à un plan

Groupe de proximité des professeurs de mathématiques d'Aix-en-Provence.

Exemple de résolution d'un problème en utilisant diverses méthodes :

• Méthodes géométriques et règles d'incidence,
• Méthode vectorielle
• Méthode analytique

Sur les arêtes d'un cube de côté 4 cm, on place les points I et J tels que :

= et = .

Démontrer que la droite (HI) est parallèle au plan (EGJ).

Télécharger la figure GéoSpace cube_act.g3w

Pour s'en convaincre avec GéoSpace :

faire tourner la figure avec les touches CTRL + flèche droite jusqu'à ce que le plan (EGJ) soit vu parallèlement à l'axe de vision de l'observateur. On constate que (HI) est bien parallèle à la trace de ce plan.

Télécharger la figure GéoSpace cube_ac2.g3w

La parallèle à (HI) passant par G coupe (CD) en K. CK = CJ. Le triangle rectangle isocèle CJK a ses côtés parallèles à ceux du triangle HEG donc (JK) // (EG) est une droite du plan (EGJ). (HI) parallèle à la droite (GK) du plan (EGJ) est parallèle à ce plan.

Télécharger la figure GéoSpace cube_ac3.g3w

On peut faire une démonstration analogue plus difficile en montrant que la droite (IJ) est parallèle à la droite (EL) en utilisant le triangle BLJ égal aux trois quarts du triangle FEG.

Télécharger la figure GéoSpace cube_ac4.g3w

Utilisons comme dans la première méthode le point K tel que = = .

= + = = + .

Faire une introduction symbolique de pour trouver puis = −  :

= + ( − ) + = + − +

= − ( + ) = − = −

est parallèle au plan comme combinaison linéaire de deux vecteurs de ce plan ; la droite (HI) est bien parallèle au plan (EGJ).

Méthode analytique

Dans le repère (G, , ) soit le point P de coordonnées (, 0).

Le vecteur a pour coordonnées (− , 1) ; il est donc égal au vecteur donc à . On a donc = − + et on conclut comme ci-dessus.

Activités en première
Groupe géométrie de l'IREM de Bordeaux
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

Étant donné dans un plan trois droites (d₁), (d₂), (d₃) distinctes et concourantes en O et trois points A, B, C distincts n'appartenant pas à ces droites, construire un triangle MNP tel que chaque côté contienne un des trois points et que chaque sommet soit sur une des trois droites.

Démonstration « par le relief »

La figure ci-contre peut-être considérée comme la représentation d'un trièdre de sommet O et d'arêtes (d₁), (d₂), (d₃). Les points A, B, C appartenant respectivement aux plans (d₁, d₂), (d₂, d₃), (d₁, d₃). La construction demandée revient à déterminer l'intersection du plan (ABC) et du trièdre (O, d₁, d₂, d₃).

Pour cela, à partir d'un point G, on va montrer que le triangle MNP peut être considéré comme la vue en perspective d'un triangle GHK, situé dans le plan (GAB), les plans de ces deux triangles ayant la droite (AB) en commun.
Sur cette droite le point I est l'intersection des plans des deux triangles avec le plan (d₁, d₃).

G étant un point de (d₁), on trace (GA) qui coupe (d₂) en H, puis (HB) qui coupe (d₃) en K.
Les points A et B situés sur les droites (GH) et (KH) appartiennent au plan (GHK), ainsi que la droite (AB). Les droites (AB) et (GK) du plan (GHK) se coupent en I.
Les points G et K situés sur les droites (d₁) et (d₃) appartiennent au plan (d₁, d₃), la droite (GK) est dans ce plan et en particulier le point I. Par hypothèse C aussi un point du plan (d₁, d₃), la droite (CI) située dans ce plan coupe (d₁) en M et coupe (d₃) en P, qui sont deux des sommets du triangle cherché. Le troisième sommet N sur (d₂) s'obtient en traçant (MA) et (PB).

Télécharger la figure GéoSpace pb_plan.g3w

Perspective et résolution de problèmes plan

Droite menée à partir d'un point de concours inaccessible
Joindre deux points d'une droite avec une règle trop courte

Théorème de Desargues : plan projectif

Tiers d'un segment
Théorème de Pohlke : problème à un euro

Groupe géométrie de l'IREM de Bordeaux
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

Dans un plan (p), tracer la perpendiculaire à une droite (d) à partir d'un point A.

Solution

Dans une perspective cavalière, le plan (p) est figuré par l'image d'un rectangle sous forme d'un parallélogramme. Les côtés (Δ) et (Δ’) sont perpendiculaires.
On suppose que dans le plan (p) on connaît l'image de deux droites perpendiculaires (d₁) et (d₂), non parallèles à (Δ) et (Δ’), représentées en général par des segments non perpendiculaires.

La construction utilise les hauteurs et l'orthocentre d'un triangle.
On mène par le point A les parallèles à (Δ) et (d₁) qui coupent la droite (d) respectivement en B et C.
La parallèle à (Δ’) passant par C est une hauteur du triangle ABC, de même la parallèle à (d₂) passant par B. Ces deux hauteurs se coupent en H, orthocentre du triangle ABC. La droite (AH), troisième hauteur du triangle, est la perpendiculaire à (d) menée par A.

Télécharger la figure GéoSpace dr_perpendiculaire.g3w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

6. Pyramide et tétraèdre

Travaux pratiques en première S
IREM de Strasbourg
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

On dispose d'une pyramide à base carrée d'arêtes de longueur a et d'un tétraèdre régulier de même longueur d'arêtes. On colle ces deux solides en faisant coïncider deux de leurs faces triangulaires.
On obtient ainsi un nouveau polyèdre.

Combien a-t-il de faces ?
Quelle est la nature de ce polyèdre ?

Indications

Soit I et J les milieux des côtés [AB] et [CD] de la base (ABCD) de la pyramide SABCD de sommet S.
Montrer que le sommet O du tétraèdre OCDS appartient au plan médiateur (IJS) de la pyramide.
En déduire que le quadrilatère IJOS est un parallélogramme ; les points O, S, A et D sont coplanaires, ainsi que les points O, S, B et C.

Le polyèdre a cinq faces : trois losanges et les deux triangles équilatéraux SAB et ODC. C'est un prisme oblique.

Télécharger la figure GéoSpace pyr_tet.g3w
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

Les droites (IH) et (JC) sont-elles sécantes ?

Télécharger le fichier et vérifier ce que dit GéoSpace si l'on voulait construire un point d'intersection.

Télécharger la figure GéoSpace cub_secante.g3w

Que dire du quadrilatère IJKL ?

Rien, c'est une figure gauche non située dans un plan. Surtout pas un parallélogramme.

Télécharger la figure GéoSpace cub_quadri.g3w

Les droites (d₁) et (d₂), sécantes en A, coupent le plan (p) en B et C, et le plan (p’) en B’ et C’.
Ce dessin n'est pas exact. Le point C’, par exemple, est mal placé.

Retrouver sa position sur (d₂) à partir du point I intersection de la droite (BC) et de la droite frontière de (p) et (p’).

Télécharger la figure GéoSpace dr_secantes.g3w

Dans le plan (ABF), la droite (LM) est-elle horizontale ?
La droite (PQ) est-elle verticale ?

Tracer une droite horizontale de ce plan.
Peut-on trouver une droite verticale dans ce plan ?

Télécharger la figure GéoSpace pave_demi_droit.g3w

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Tétraèdre

GéoSpace
Fonctions

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1. Droite parallèle à un plan
2. Intersection d'une droite et d'un tétraèdre
3. Intersection d'une droite et d'un cube
4. Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan
5. Construction dans l'espace utilisant une configuration du plan
6. Pyramide et tétraèdre
7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

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