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Triangles remarquables

Isocèle, équilatéral, médian, orthique, tangentiel…

Sommaire

Triangle acutangle
Triangle obtusangle
Triangle scalène

Triangle rectangle
   Triangle égyptien ou triangle des arpenteurs
   Demi-carré
Triangle isocèle
Triangle équilatéral (ou régulier)

Triangle bisocèle
Triangle d'argent
Triangle d'or

Triangle médian
Triangle orthique
Triangle pédal
Triangle podaire
Triangle tangentiel

Triangle de Bevan
Triangle de Feuerbach
Triangle de Gergonne
Triangle de Nagel
Triangle de Napoléon

 

Page no 143, créée le 13/5/2009, mise à jour le 13/1/2010

La géométrie
du triangle

GéoPlan en 3e
Théorème de Thalès

Démonstrations géométriques de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de trois droites remarquables

GéoPlan en 5e
Construction de triangles

Cabri-Géomètre
T. P. en sixième

Triangle acutangle

Triangle quelconqueen : acute-angled

Triangle (non rectangle) dont les trois angles sont aigus

Triangle obtusangle

Triangle ayant un angle obtus.


Triangle d'argent

Un triangle d'argent est un triangle isocèle ayant un angle 108°, les deux autres angles étant égaux à 36°.
Figure : voir triangle d'or

Triangle de Bevan

Pour un triangle, le triangle de Bevan a pour sommets les centres des cercles exinscrits au triangle.

Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.

Triangle équilatéral

Triangle équilatéral - Construction d'EuclideUn triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés (soit pi/3 radians).

Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.
Elles ont même longueur, égale à arac(3)/2, où a est la longueur du côté du triangle.
L'aire du triangle est égale à rac(3)/4a2.
Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit.


Triangle de Feuerbach

Les quatre points de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach.
Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle.

Triangle de Gergonne

Dans un triangle, le triangle de Gergonne a pour sommets les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle.

Triangle isocèle

Triangle isocèleUn triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.
Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.
La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.

Un triangle qui n'est pas isocèle est scalène : tous les côtés sont inégaux.


Triangle médian

Médianes et centre de gravité

Le triangle qui joint les milieux des côtés d'un triangle est le triangle médian.

Triangle de Nagel

Dans un triangle, le triangle de Nagel a pour sommets les points de contact des cercles exinscrits avec les côtés du triangle.

Triangle extérieur de Napoléon

Triangle de NapoléonABC est un triangle, dont tous les angles sont inférieurs à 2π/3, bordé extérieurement par trois triangles équilatéraux BCD, ACE et ABF ayant pour centres de gravité respectifs P, Q et R.
Le triangle équilatéral PQR est le triangle extérieur de Napoléon.


Triangle d'or

Un triangle d'or est un triangle isocèle ayant un angle, au sommet, de 36° ; les deux autres angles, à la base, étant égaux à 72°.

Triangle d'or

Le triangle ACD est d'or, BCD est d'argent.

Triangle orthique - Triangle de lumière

Triangle orthiquede : Höhenfußpunktdreieck

Le triangle qui joint les pieds des hauteurs d'un triangle ABC est le triangle orthique.

Dans un triangle ABC acutangle (non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’.

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux médiatrices du triangle ABC.

Le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre est le triangle orthique.

Triangle de lumière : si les côtés du triangle sont des miroirs, un rayon lumineux porté par un côté du triangle orthique sera identique à lui-même après trois réflexion par les miroirs.


Triangle pédal

en : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévien

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet.

Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent - en général - les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.

Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal de I par rapport au triangle ABC.

Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian. Le cercle des neuf points d'Euler est le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité.

Triangle rectangle

Triangle rectanglede : Rechtwinkliges Dreieck

Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.


Triangles rectangles particuliers

« Triangle égyptien » ou « triangle des arpenteurs » : le triangle rectangle de côtés (3, 4, 5), connu depuis l'Antiquité. Avec une corde à 13 nœuds ou « corde égyptienne », les Anciens s'en servaient comme équerre, entre autres, pour reconstituer les champs après les crues du Nil.
Ce triangle est aussi appelé « triangle cosmique de Platon », « triangle de Pythagore » ou encore « triangle d’Isis ».

demi-carréTriangle de l'écolier« Demi-carré » : c'est le triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45°, de côtés (1, 1, rac(2)), c'est le format d'un certain nombre d'équerres.

« Triangle de l'écolier » : demi-triangle équilatéral d'angles 90°, 60° et 30° ; format d'autres équerres utilisées à l'école.

g2w Télécharger les figures GéoPlan demi_carre.g2w, triangle_ecolier.g2w


Triangle scalène

Un triangle scalène est un triangle :

  • dont les trois côtés sont de longueurs inégales ;
  • dont les trois angles sont de mesures différentes ;
  • qui n'a pas d'axe de symétrie.

Triangle tangentiel

Triangle tangentielPour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) aux sommets A, B et C forment un triangle dit tangentiel du triangle ABC.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.

Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.


Trilatère

Un triangle est une figure trilatère (Euclide)

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