Triangle et axe orthiques - Cercle de Taylor.
Sommaire1. Triangle orthique À partir du triangle orthique il est facile retrouver le triangle formé par les centres des cercles exinscrits. Médiatrice d'un côté du triangle orthique
Page no 142, extraite de la géométrie du triangle, le 11/5/2009 |
Triangles remarquablesTriangle rectangle Triangle bisocèle Triangle médian Triangle de Bevan | ||||
Avec GéoPlan |
Cercles remarquables du triangle |
GéoPlan 5ème |
Cabri-Géomètre |
de : Höhenfußpunktdreieck Le triangle orthique a pour sommets les pieds des hauteurs. Dans un triangle ABC acutangle (non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’. |
Les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthiqueDans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’. Cette propriété peut être utilisée pour montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes. Les points B, A, B’, A’ sont cocycliques sur le cercle de diamètre [AB]. Remarque : dans un triangle obtusangle en A, (AA’) est la bissectrice extérieure de (A’B’, A’C’). Télécharger la figure GéoPlan t_orthiq.g2w |
Classe de troisième Pour vérifier que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices de A’B’C’, étudier en particulier la bissectrice de B’Â’C’. Pour cela, tracer les cercles de diamètres [BH] et [CH], Télécharger la figure GéoPlan t_orthiq3.g2w Classe de première L Construction d'un triangle connaissant le pied des trois hauteurs. Les hauteurs sont les bissectrices du triangle dont les sommets sont les pieds des hauteurs. Voir : le triangle, c'est le pied |
Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons du cercle circonscrit issus des sommets. Dans un triangle dont tous les angles sont aigus, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique. Soit (c1) le cercle circonscrit au triangle ABC de centre O et (t) la tangente en A. Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B’C’) est parallèle à (t). Donc (OA) est perpendiculaire à (B’C’). De même, la droite (OB) est perpendiculaire à (A’C’) et (OC) est perpendiculaire à (A’B’). On peut dire aussi : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ». « Le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard triangulaire qui se ferme ». Triangle de lumière : si les côtés du triangle sont des miroirs, un rayon lumineux porté par un côté du triangle orthique sera identique à lui-même après trois réflexion par les miroirs. |
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Antiparallélisme, voir : théorème de Nagel |
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Problème de Fagnano (mathématicien italien 1682-1766) : triangle de périmètre minimum Le triangle de périmètre minimal dont les sommets appartiennent aux côtés d'un triangle initial ABC est le triangle orthique de ABC : voir géométrie en troisième. 3. Axe orthiqueLe cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle orthique. L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler de ce triangle. Il est perpendiculaire à la droite d'Euler. Dans un triangle ABC (ni rectangle, ni isocèle), soit A’ (respectivement B’ et C’) le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C). A1, B1 et C1 sont les trois autres points d'intersection des côtés du triangle ABC et de ceux du triangle orthique A’B’C’ : on note A1 l'intersection de (BC) et de (B’C’), B1 l'intersection de (AC) et de (A’C’), C1 l'intersection de (AB) et de (A’B’). Les trois points A1, B1 et C1 sont alignés sur une droite nommée axe orthique du triangle. L'axe orthique est l'axe radical du cercle circonscrit à ABC et du cercle d'Euler circonscrit à A’B’C’. Le centre I du cercle d'Euler est le milieu de [HO]. La droite d'Euler, ligne des centres des deux cercles, est perpendiculaire à l'axe radical. Démonstration |
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4. Triangle médian du triangle orthiqueSoit un triangle ABC non rectangle, La droite (A3A4) est parallèle à (A1A2), A3A4 est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à Télécharger la figure GéoPlan t_orthi4.g2w 5. Cercle de TaylorLes projections des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés d'un triangle forment six points situés sur un même cercle, appelé cercle de Taylor (mathématicien anglais 1685-1731). Soit un triangle ABC non rectangle, On a : (B2C1) est parallèle à (BC). De même (A1C2) //(AC) et (A2B1)//(AB). On trouve la configuration d'un cercle de Tücker particulier, dit cercle de Taylor. L'hexagone ayant pour sommets ces six projections est l'hexagone de Catalan (mathématicien belge, 1814-1894). Les côtés opposés de l'hexagone de Catalan A1B2C1A2B1C2 sont parallèles, deux à deux, et les diagonales [A1A2], [B1B2], [C1C2] sont de même longueur. Télécharger la figure GéoPlan c_taylor.g2w |
Centre d'un cercle inscrit Les trois droites (A1A2), (B1B2) et (C1C2) joignant ces projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique et coupent ces côtés en leurs milieux P, Q et R. Ces droites déterminent les côtés du triangle PQR qui est le triangle médian du triangle orthique. Le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique lorsque le triangle est acutangle. Démonstration Les points B1 et C2 sont situés sur le cercle de Taylor, la médiatrice (d) de [B1C2] contient le centre O du cercle. Les droites (B1B’), (d) et (C2C’) étant trois parallèles équidistantes, d'après le théorème de Thalès, la droite (d) coupe [B’C’] en son milieu P. D'après les propriétés du triangle médian du triangle orthique, le point P est à l'intersection des droites (B1B2) et (C1C2). Le triangle B1PC2 est isocèle. (d) médiatrice de [B1C2] est aussi une des bissectrices de l'angle PRQ. Le point O est situé sur une bissectrice de l'angle PRQ. Le point O est situé à l'intersection de trois bissectrices de PQR. Télécharger la figure GéoPlan c_taylor_centre.g2w |
Triangle obtusangle : Télécharger la figure GéoPlan c_taylor_obtus.g2w Intersection de droites Soit I le centre du cercle circonscrit à ABC et K le point de Lemoine ; le centre O du cercle de Taylor est l'intersection de (IK) et de la droite (HG) joignant l'orthocentre H du triangle ABC avec le centre de gravité G du triangle orthique A’B’C’. Indications Un cercle de Taylor est un cercle de Tücker, son centre est situé sur la droite (IK). L'homothétie de centre G et de rapport - transforme le triangle orthique A’B’C’ en PQR, triangle médian du triangle orthique. |
Théorème de NagelLes côtés du triangle orthique sont antiparallèles aux côtés du triangle : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle forment le triangle tangentiel, ses côtés sont parallèles aux côtés du triangle orthique ». |
Activité B2i |
Domaine B2i |
Item collège validable |
Triangle orthique en 3ème |
1 – S'approprier un environnement informatique de travail. |
1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail. |
Faire de la géométrie dynamiqueSuggestions, remarques, problèmes : me contacter. |