MIAM

Triangle orthique

Triangle et axe orthiques - Cercle de Taylor.

Sommaire

1. Triangle orthique
    Les hauteurs du triangle sont les bissectrices du triangle orthique
2. Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique
    Triangle, inscrit dans un triangle, de périmètre minimum
3. Axe orthique
4. Triangle médian du triangle orthique
5. Cercle de Taylor

À partir du triangle orthique il est facile retrouver le triangle formé par les centres des cercles exinscrits.

Médiatrice d'un côté du triangle orthique

 

Page no 142, extraite de la géométrie du triangle, le 11/5/2009

Triangles remarquables

Triangle rectangle
Triangle isocèle
Triangle équilatéral

Triangle bisocèle
Triangle d'argent
Triangle d'or

Triangle médian
Triangle pédal
Triangle podaire
Triangle tangentiel

Triangle de Bevan
Triangle de Feuerbach
Triangle de Gergonne
Triangle de Nagel
Triangle de Napoléon

Avec GéoPlan
au collège

Les droites remarquables du triangle

Cercles remarquables du triangle

Retrouver un triangle à partir de droites remarquables

GéoPlan 5ème
Construction de triangles

Cabri-Géomètre
T. P. en sixième

 1. Triangle orthique

de : Höhenfußpunktdreieck

Le triangle orthique a pour sommets les pieds des hauteurs.

Dans un triangle ABC acutangle (non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’.
Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux médiatrices du triangle ABC.
Le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre est le triangle orthique.

Les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthique

Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’.

Cette propriété peut être utilisée pour montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Triangle orthique

Les points B, A, B’, A’ sont cocycliques sur le cercle de diamètre [AB].
On a les égalités d'angles inscrits : (A’B’, A’A) = (BB’, BA),
A, C, A’, C’ sont cocycliques sur le cercle de diamètre [BC],
d'où (BB’, BC’) = (CB’, CC’), soit (BB’, BA) = (CA, CC’),
A, C, A’, C’ sont cocycliques sur le cercle de diamètre [AC],
d'où (CA, CC’) = (A’A, A’C’).
Par transitivité : (A’B’, A’A) = (BB’, BA) = (CA, CC’) = (A’A, A’C’),
soit (A’B’, A’A) = (A’A, A’C’) et la droite (AA’) est une bissectrice de (A’B’, A’C’).

Remarque : dans un triangle obtusangle en A, (AA’) est la bissectrice extérieure de (A’B’, A’C’).

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Classe de troisième

Pour vérifier que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices de A’B’C’, étudier en particulier la bissectrice de B’Â’C’.

Pour cela, tracer les cercles de diamètres [BH] et [CH],
montrer l'égalité des angles inscrits :
C’Â’H = C’BH et HÂ’B’ = HCB’
et conclure que (A’H) est la bissectrice de B’Â’C’ en remarquant que les angles C’BH et HCB’, ayant des côtés perpendiculaires, sont égaux.

Triangle orthique - démonstration

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Classe de première L

Construction d'un triangle connaissant le pied des trois hauteurs.

Les hauteurs sont les bissectrices du triangle dont les sommets sont les pieds des hauteurs.

Voir : le triangle, c'est le pied

 2. Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Triangle orthique et médiatrices Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons du cercle circonscrit issus des sommets.

Dans un triangle dont tous les angles sont aigus, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique.

Soit (c1) le cercle circonscrit au triangle ABC de centre O et (t) la tangente en A.
(c2) est le cercle de diamètre [BC]. Les points B’ et C’ sont situés sur ce cercle.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B’C’) est parallèle à (t). Donc (OA) est perpendiculaire à (B’C’).

De même, la droite (OB) est perpendiculaire à (A’C’) et (OC) est perpendiculaire à (A’B’).

On peut dire aussi : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

« Le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard triangulaire qui se ferme ».

Triangle de lumière : si les côtés du triangle sont des miroirs, un rayon lumineux porté par un côté du triangle orthique sera identique à lui-même après trois réflexion par les miroirs.

Antiparallélisme, voir : théorème de Nagel

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Problème de Fagnano (mathématicien italien 1682-1766) : triangle de périmètre minimum
Trouver le triangle, inscrit dans un triangle, qui a le plus petit périmètre.

Le triangle de périmètre minimal dont les sommets appartiennent aux côtés d'un triangle initial ABC est le triangle orthique de ABC : voir géométrie en troisième.

3. Axe orthique

Axe orthiqueLe cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle orthique.

L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler de ce triangle. Il est perpendiculaire à la droite d'Euler.

Dans un triangle ABC (ni rectangle, ni isocèle), soit A’ (respectivement B’ et C’) le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C). A1, B1 et C1 sont les trois autres points d'intersection des côtés du triangle ABC et de ceux du triangle orthique A’B’C’ : on note A1 l'intersection de (BC) et de (B’C’), B1 l'intersection de (AC) et de (A’C’), C1 l'intersection de (AB) et de (A’B’).

Les trois points A1, B1 et C1 sont alignés sur une droite nommée axe orthique du triangle.

L'axe orthique est l'axe radical du cercle circonscrit à ABC et du cercle d'Euler circonscrit à A’B’C’.

Le centre I du cercle d'Euler est le milieu de [HO]. La droite d'Euler, ligne des centres des deux cercles, est perpendiculaire à l'axe radical.

Démonstration
La puissance de B1 par rapport au cercle circonscrit est B1A × B1C,
la puissance de B1 par rapport au cercle d'Euler est B1A’ × B1C’,
Ces deux produits sont égaux comme puissance du point B1 par rapport au cercle de diamètre [AB] dans lequel sont inscrits les triangles rectangles AA’C et AC’C. Le point B1 ayant même puissance par rapport aux deux cercles est situé sur l'axe radical. Il en est de même de A1 et C1.

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Douze points sur l'axe orthique

4. Triangle médian du triangle orthique

Triangle médian du triangle orthiqueSoit un triangle ABC non rectangle,
soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C,
on note A1 et A2 les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC),
A3 et A4 les symétriques de A’ par rapport à A1 et A2.

La droite (A3A4) est parallèle à (A1A2),
les points B’, C’, A3 et A4 sont alignés,
la droite (A1A2) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique du triangle ABC,
(A1A2) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A3A4 est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à
8S2/(abc) où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés du triangle ABC.

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5. Cercle de Taylor

Cercle de Taylor Les projections des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés d'un triangle forment six points situés sur un même cercle, appelé cercle de Taylor (mathématicien anglais 1685-1731).

Soit un triangle ABC non rectangle,
soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C,
on note A1 et A2 les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC),
B1 et B2 les projections orthogonales de B’, C1 et C2 les projections orthogonales de C’.

On a :
(A1A2, BC) = (AB, AC), la droite (A1A2) est antiparallèle de (BC) par rapport à (AB) et (AC),
et des propriétés analogues pour (B1B2) et (C1C2).

(B2C1) est parallèle à (BC). De même (A1C2) //(AC) et (A2B1)//(AB).

On trouve la configuration d'un cercle de Tücker particulier, dit cercle de Taylor.
On retrouve A1A2 = B1B2 = C1C2.

L'hexagone ayant pour sommets ces six projections est l'hexagone de Catalan (mathématicien belge, 1814-1894).

Les côtés opposés de l'hexagone de Catalan A1B2C1A2B1C2 sont parallèles, deux à deux, et les diagonales [A1A2], [B1B2], [C1C2] sont de même longueur.

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 Centre du cercle de Taylor

Centre d'un cercle inscrit

Centre d'un cercle inscrit

Les trois droites (A1A2), (B1B2) et (C1C2) joignant ces projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique et coupent ces côtés en leurs milieux P, Q et R. Ces droites déterminent les côtés du triangle PQR qui est le triangle médian du triangle orthique.

Le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique lorsque le triangle est acutangle.

Démonstration

Les points B1 et C2 sont situés sur le cercle de Taylor, la médiatrice (d) de [B1C2] contient le centre O du cercle.

Les droites (B1B’), (d) et (C2C’) étant trois parallèles équidistantes, d'après le théorème de Thalès, la droite (d) coupe [B’C’] en son milieu P.

D'après les propriétés du triangle médian du triangle orthique, le point P est à l'intersection des droites (B1B2) et (C1C2). Le triangle B1PC2 est isocèle. (d) médiatrice de [B1C2] est aussi une des bissectrices de l'angle PRQ.

Le point O est situé sur une bissectrice de l'angle PRQ.
On montre, de même, que O est situé sur les bissectrices de RPQ et de RQP.

Le point O est situé à l'intersection de trois bissectrices de PQR.
Si le triangle ABC est acutangle, les trois bissectrices sont intérieures et O est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique.

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Centre du cercle de Taylor

Triangle obtusangle :
le centre est celui du cercle exinscrit dans l'angle de sommet P, milieu de [B’C’] (respectivement Q milieu de [C’A’], R milieu de [A’B’]) si A (respectivement B, C) est obtus.

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Intersection de droites

Soit I le centre du cercle circonscrit à ABC et K le point de Lemoine ; le centre O du cercle de Taylor est l'intersection de (IK) et de la droite (HG) joignant l'orthocentre H du triangle ABC avec le centre de gravité G du triangle orthique A’B’C’.

Indications

Un cercle de Taylor est un cercle de Tücker, son centre est situé sur la droite (IK).

L'homothétie de centre G et de rapport - 1/2 transforme le triangle orthique A’B’C’ en PQR, triangle médian du triangle orthique.
H centre du cercle inscrit ou exinscrit dans A’B’C’ est transformé en O centre du cercle inscrit ou exinscrit dans PQR.
vect(GO) = − 1/2 vect(GH), O, G et H sont alignés. O est situé sur la droite (HG).

Quadrature no 63 Janvier-Mars 2007

Théorème de Nagel

Les côtés du triangle orthique sont antiparallèles aux côtés du triangle :

« Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle forment le triangle tangentiel, ses côtés sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

Activité B2i

Domaine B2i

Item collège validable

Triangle orthique en 3ème

1 – S'approprier un environnement informatique de travail.

1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.

 

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