Triangles rectangles

Configurations fondamentales en classe de seconde avec GéoPlan : droites remarquables du triangle rectangle.

Sommaire

Angle inscrit dans un demi-cercle
Théorème de Pythagore
Relations métriques
Prototype : marquer un angle droit

1. Construire un triangle rectangle
2. Bissectrice
3. Bissectrices
4. Droites des milieux
5. Médiane et hauteur
6. Moyenne proportionnelle
7. Médiatrice d'un côté du triangle orthique

Problèmes de construction

Construire un triangle rectangle connaissant :
a. un angle aigu et le rayon du cercle inscrit
b. l'hypoténuse et la somme des côtés de l'angle droit
c. la médiane et la hauteur relative à l'hypoténuse

Page n^o 70, réalisée le 23/6/2004, modifiée le 7/12/2008

Faire de la géométrie dynamique

GéoPlan 2^nde
Construction de réels

GéoPlan 2^nde
Parallélogrammes

GéoPlan
Minimum-maximum

GéoPlan 2^nde
Exercices
de-ci, de-là

Index
GéoPlan

Exemples d'exercices pouvant être résolus, en classe de seconde, avec les configurations fondamentales

Pour les triangles, il s'agit de savoir mettre en œuvre :
– les propriétés des droites remarquables,
– la droite des milieux et le théorème de Thalès,
– les propriétés des angles et des aires des triangles,
– les propriétés des triangles rectangles et l'inscription dans un demi-cercle.

En seconde la difficulté des raisonnements vient souvent de l'enchaînement de deux propriétés remarquables.

Triangle rectangle

Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème dû à Thalès

Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Réciproquement, si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.

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Démonstration de Thalès

Soit ABC un triangle inscrit dans un demi-cercle de centre O.

Deux côtés du triangle OAC sont des rayons, OAC est isocèle et les angles en A et C sont égaux : OÂC = ACO.
De même, OCB est isocèle et OBC = OCB

En sommant ces deux égalités, il vient : OÂC + OBC = ACO + OCB = ACB.

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient pour les angles du triangle ABC
(OÂC + OBC) + ACB = 2 ACB = 180°.

Puis en divisant par 2, on obtient ACB = 90°.
Le triangle est donc bien rectangle en C.

Démonstration de la réciproque - Droites des milieux

Si ABC est un triangle rectangle en C alors il s'inscrit dans un cercle de diamètre [AB]

On trace la droite des milieux passant par le milieu O de [AB] et le milieu B’ de [AC].
Elle est parallèle à (BC). Comme (BC) et (AC) sont perpendiculaires, il en est de même de (OB’) et (AC). (OB’) est donc la droite perpendiculaire à [AC] passant par le milieu de [AC], c'est la médiatrice de [AC].
De même, on démontre que la droite passant par O et par A’ milieu de [BC] est la médiatrice de [BC].
Ces deux médiatrices se coupent en O, milieu de [AB], qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle.
Le cercle circonscrit a bien pour diamètre [AB].

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Télécharger la figure GeoLabo tr_rectangle_mediatrices.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

Démonstration de la réciproque - Doublement du triangle rectangle par symétrie

Rectangle

D est le symétrique de C par rapport au point O milieu de [AB].
ACBD est un rectangle ; ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu :
CO = CD = AB.

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Triangle isocèle

D est le symétrique de A par rapport au point C.
ABD est un triangle isocèle de médiatrice (CB). C est le milieu de [AD] et (OC) est la droite des milieux :
CO = DB = AB.

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Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse, et réciproquement.

Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle a² + b² = c².

Preuve utilisant la méthode des aires grâce à la similitude du grand triangle rectangle ABC avec les triangles rectangles ACH et BCH formés par les petits côtés et la hauteur (CH) abaissée sur l'hypoténuse :

L'aire du grand triangle est la somme des aires des deux petits. Pour des triangles rectangles semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés de leurs hypoténuses, donc le carré de l'hypoténuse du grand est égal à la somme des carrés des hypoténuses des deux petits.

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Triangles rectangles particuliers

« Triangle égyptien » ou « triangle des arpenteurs » : le triangle rectangle de côtés (3, 4, 5), connu depuis l'Antiquité. Il est facile à réaliser à l'aide d'une corde à treize nœuds ou « corde égyptienne » que les « Anciens » utilisaient pour tracer un angle droit, et entre autres, pour reconstituer les champs après les crues du Nil.

« Demi-carré » : c'est le triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45°, de côtés (1, 1, ), obtenu en divisant un carré en deux suivant une diagonale, d'où le nom du triangle.

Relations métriques

Similitude de triangles

Les triangles rectangles CAB, HAC et HCB sont semblables.

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Carré de la hauteur CH

Carré de la hauteur Soit [CH] la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC.
De la similitude des triangles rectangles BCH et CAH, en étudiant les rapports des petits côtés, on trouve :
HC/HA =HB/HC d'où HC² = HA × HB.

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Théorème de Thalès suisse : la hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse.
Réciproque : si H est entre A et B et HC² = HA × HB alors le triangle ABC est rectangle en C.

Carré d'un petit côté

similitude des triangles rectangles BAC et BCH Un côté de l'angle droit (cathète) est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.

AC² = AH × AB et BC² = BH × BA
BC² = BH × BA se démontre en 1S avec le produit scalaire

ou en seconde avec la similitude des triangles rectangles BAC et BCH, en étudiant les rapports des côtés issus de B :

BC/BA = BH/BC.

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Réciproque : si H est entre A et B et BC² = BH × BA alors le triangle ABC est rectangle en C.

Mémorisation

Il y a trois formules de moyennes géométriques dans le triangle ABC rectangle en C, de hauteur [CH] :

AC² = AB × AH,
BC² = BA × BH,
HC² = HA × HB.

Le point C mis à part, nous choisissons arbitrairement un des points A, B ou H et nous le plaçons en tête de chacun des trois termes qui interviennent. Il ne reste plus qu'à compléter avec les deux autres points restants.

De la similitude des triangles ABC et ACH on a :

AC/AB = AH/AC d'où AC² = AB × AH (première moyenne géométrique).

CH/BC = AB/AC d'où AC × BC = AB × CH (formule des aires ci-dessous).

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Calcul de l'aire

Triangle rectangle Le calcul de l'aire du triangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs se fait de deux façons et on a :
Aire(ABC) = AB × CH = ch
et Aire(ABC) = CA × CB = ba.

D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit.

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Voir : aire du triangle

Quotient des carrés des petits côtés :

Calcul de l'inverse du carré de la hauteur CH

Des expressions du double de l'aire CH × AB = CA × CB, on trouve CH² = et avec Pythagore AB² = CA² + CB², en calculant l'inverse,

on a :

Relations trigonométriques

sin Â = , cos Â = , tan Â = = . sin²Â + cos²Â = 1.

Hauteur

CH = AC sin Â, AC = AB sin B d'où CH = AB sin Â sin B.

Si h = CH et AB = c alors h = c sin Â sin B.

Marquer un angle ou un angle droit (Prototypes GéoPlan pour le professeur)

Angle droit AOB Contrairement à Cabri, GéoPlan ne sait pas tracer la marque d'un angle.

Sur les côtés [OA] et [OB] d'un angle AÔB sont placés deux points A1 et B1 à une distance tail = 0,2 unité du point O.
Le prototype marquer un angle trace l'arc de cercle de centre O et d'extrémités A1 et B1 (de A1 vers B1 dans le sens trigonométrique).

Le prototype marquer un angle droit crée une ligne brisée A₁O₁B₁ en fabriquant un polygone A₁O₁B₁O₁.
Le point O₁, milieu de la ligne brisée, sera créé, par une translation de vecteur , uniquement lorsque l'angle t = AÔB est égal à 90°.
Pour cela, il utilise la fonction µ :
O1 image de B1 par la translation de vecteur vec(O,A1)/µ(abs(t-90)<0.00001)

Pour un dessin libre utiliser une précision de 0,1° avec µ(abs(t-90)<0.1). Voir histoire de toit : analyse en L, trapèze rectangle : produit scalaire.
Les chercheurs en didactique qualifient de « molle » cette utilisation approchée du logiciel.

Pour GéoSpace, définir un polygone convexe de sommets A₁O₁B₁O.

Voir explications sur les prototypes : vecteurs et trucs GéoPlan

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1. Construire un triangle rectangle

a. À partir d'un petit côté

Placer deux points libres A, B et dessiner le segment [AB],

tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B,

placer un point libre C sur la perpendiculaire (menu : créer > point > point libre > sur une droite).

Gommer la perpendiculaire (non dessiné),
tracer les segments [BC] et [AC].

Marquer le milieu de [AB] et tracer le cercle de centre O passant par A.

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b. À partir de l'hypoténuse

Placer les points libres A, C et dessiner le segment [AC], marquer le milieu,
tracer le cercle de diamètre [AC],
placer un point B sur le cercle.
Tracer les segments [AB] et [BC],
gommer le cercle et le milieu de [AC] (non dessiné).

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2. Bissectrice d'un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle inscrit dans le demi-cercle de centre O, de diamètre [AB].

La bissectrice de ce triangle, issue de A rencontre en D le demi-cercle.

En étudiant les angles de la figure, montrer que la droite (OD) est parallèle à (AC),
que le triangle BCI est isocèle et que (OD) est la médiatrice de [BC].

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

3. Bissectrices d'un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB].

La bissectrice de ce triangle, issue de A rencontre en I celle issue de B, et en D le demi-cercle.

En étudiant les angles de la figure, montrer que le triangle BDI est rectangle isocèle.

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4. Droites des milieux

ABC est un triangle rectangle en C et O le milieu de l'hypoténuse [AB].
Le cercle de diamètre [CO] coupe le côté [AC] en I et [BC] en J.

Quelle est la nature du quadrilatère OICJ ?
Que représentent I et J pour les côtés [AC] et [BC] ?

Justifier les égalités des angles BAC et CÔJ, puis ABC et CÔI.

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Sommaire
Faire de la géométrie dynamique

5. Médiane et hauteur

ABC est un triangle rectangle en C et O le milieu de l'hypoténuse [AB].

(CH) est la hauteur issue de C.

Montrer, en étudiant les angles aigus des triangles ACH et BOC, que les angles ACB et HCO ont même bissectrice.
(CC’) est la symédiane en C du triangle ABC.

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Télécharger la figure Cabri tr_rect_hauteur_mediane.fig
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6. Moyenne proportionnelle

a. Éléments d'Euclide

Le terme « droite » désigne dans les éléments ce que nous appelons « segment ».

Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle.

Livre VI, proportion 13

Soit AB, BC, les deux droites données ; il faut trouver une moyenne proportionnelle entre AB, BC.

Plaçons ces deux droites dans la même direction, et sur la droite AC décrivons le demi-cercle ADC. Du point B menons BD perpendiculaire à AC et joignons AD, DC.

Puisque l'angle ADC est dans un demi-cercle, cet angle est droit. Et puisque dans le triangle rectangle ADC on a mené, de l'angle droit, la droite DB perpendiculaire à la base, la droite DB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, BC de la base.

Donc, les deux droites AB, BC étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle DB, ce qu'il fallait faire.

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Construction de réels
La Géométrie de Descartes

Application : la quadrature du rectangle, d'Euclide

Deux autres constructions

Pour deux nombres a et b grands, placer deux points A et B à partir d'un point I, tels que IA = a et IB = b.
Utiliser une des deux méthodes suivantes :

b. Carré d'un petit côté

Tracer un demi-cercle de diamètre IA (a>b). La perpendiculaire en B à (IA) coupe ce demi-cercle en C.

Un côté de l'angle droit du triangle rectangle ICA est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse IA et sa projection sur l'hypoténuse IB : IA × IB = IC².
IC est la moyenne géométrique de a et b.

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c. Construction de Wallis

La puissance d'un point I par rapport à un cercle passant par A et B est le produit IA × IB. Cette puissance est égale au carré de la longueur IT d'une tangente au cercle, issue de I : IA × IB = IT².
IT est la moyenne géométrique de a et b.

En choisissant le cercle de diamètre [AB] de centre O, T est alors un des points d'intersection avec le cercle de diamètre [IO].

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7. Médiatrice d'un côté du triangle orthique

Dans un triangle ABC, les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs, issues respectivement de B et de C.
Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [BC] et [B’C’].

• Montrer que les points B, C’, B’ et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
• Montrer que le point I appartient à la médiatrice de [B’C’].
• En déduire que la droite (IJ) est la médiatrice de [B’C’].

Médiatrice d'un côté du triangle orthique

Dans un cercle, la droite qui joint le milieu d'une corde au centre du cercle est la médiatrice de cette corde.
En effet, (IJ), médiane du triangle isocèle IB’C’, est aussi médiatrice de [B’C’].

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Problèmes de construction

logo apmep D'après la géométrie au Creusot - enseignement primaire supérieur - A. Béché - 1920
cité par Patrick Guyot - bulletin APMEP n^o 438.

a. Construire un triangle rectangle connaissant un angle aigu et le rayon du cercle inscrit

Le triangle ABC rectangle en C a un angle aigu A égal à tÔz.

Construire la droite passant par A parallèle à la bissectrice de tÔz.

La parallèle à (At) située à une distance r coupe cette bissectrice en I. Le point I se projette en R sur (At).

Le cercle inscrit est le cercle de centre I passant par R.

La deuxième tangente issue de A est tangente au cercle en symétrique de R par rapport à (AI).

Le troisième côté est tangent au cercle et perpendiculaire à (AQ). Mener le rayon [IP] perpendiculaire à [IQ], la perpendiculaire en P à [IP] coupe (AQ) en C et (AR) en B.

Le triangle ABC est triangle demandé.

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b. Construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme d des côtés de l'angle droit

Supposons le problème résolu :
ABC est le triangle rectangle en C demandé tel que AB = c et AC + CB = d.
Le point C est sur le cercle de diamètre AB. Le cercle de centre A et de rayon d coupe la droite (AC) en D tel que CD = CB. Le triangle BCD est donc isocèle, mais comme l'angle en C est droit, il est aussi rectangle, l'angle ADB est égal à 45°. D est donc sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle de 45°. Cet arc capable correspond à un angle au centre de 90°. Le centre M de cet arc est à l'intersection du cercle de diamètre [AB] et de la médiatrice de [AB]. Sur le cercle de centre M passant par A et B, le point N est le symétrique de A par rapport à M. Le triangle ANB est rectangle isocèle avec un angle en N de 45°.

Le point D est donc à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A, et le point C est l'intersection de la demi-droite [AD) et du cercle de diamètre [AB].

Le problème admet une solution si les cercles sont sécants,
donc si c < d ≤ 2AM.

Pour une hypoténuse [AB] donnée, si c < d < 2AM on a quatre solutions : C et C’ et leurs symétriques par rapport à (AB) ; les quatre sommets d'un rectangle de centre O.

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c. Construire un triangle rectangle connaissant la médiane m et la hauteur h relative à l'hypoténuse

On sait que la médiane relative à l'hypoténuse [AB] est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Placer le point O et de part et d'autre les points A et B tels que OA = OB = m.
Le point C est sur le cercle de diamètre [AB] à une distance h de (AB).

Le problème admet des solutions si h ≤ m.

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Activité B2i	Domaine B2i	Item collège validable
Triangles rectangles en classe de 3^ème	1 – S'approprier un environnement informatique de travail.	1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.
	2 – Adopter une attitude responsable	2.4 – Je m'interroge sur les résultats des traitements informatiques (calcul, représentation graphique, ordre des points nécessaire…) 2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective.
	3 – Créer, produire, traiter, exploiter des données.	3.6 – Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites (le logiciel ne fournit pas de conditions nécessaires pour l'existence d'une solution dans laquelle les droites ne sont pas parallèles).