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Exercices en classe de seconde avec GéoPlan : droites remarquables du triangle rectangle.

Triangles rectangles

Descartes
…avec GéoPlan

Sommaire

Angle inscrit dans un demi-cercle
Théorème de Pythagore
Relations métriques
Prototype : marquer un angle droit

1. Construire un triangle rectangle
2. Bissectrice
3. Bissectrices
4. Droites des milieux
5. Médiane et hauteur
6. Moyenne proportionnelle
7. Médiatrice d'un côté du triangle orthique

Problèmes de construction

Construire un triangle rectangle connaissant :
a. un angle aigu et le rayon du cercle inscrit
b. l'hypoténuse et la somme des côtés de l'angle droit
c. la médiane et la hauteur relative à l'hypoténuse

GéoPlan en seconde

Configurations fondamentales

2nde - 1S :
Lieux géométriques
Minimum-maximum : aire et périmètre

Rotations : alignement - concours - cocyclicité
Homothéties : point de concours

Si vous ne visualisez pas l'image dans le cadre ci-contre, les contrôles ActiveX du CREEM ne sont pas installés sur votre PC. Vous pouvez :

Page no 70, réalisée le 23/6/2004, modifiée le 7/12/2008

GéoPlan 2nde
Triangles

GéoPlan 2nde
Cercles

GéoPlan 2nde
Parallélogrammes

GéoPlan 2nde
Vecteurs

GéoPlan 2nde
Triangles équilatéraux

GéoPlan Construction du pentagone

Exemples d'exercices pouvant être résolus, en classe de seconde, avec les configurations fondamentales

Pour les triangles, il s'agit de savoir mettre en œuvre :
  – les propriétés des droites remarquables,
  – la droite des milieux et le théorème de Thalès,
  – les propriétés des angles et des aires des triangles,
  – les propriétés des triangles rectangles et l'inscription dans un demi-cercle.

En seconde la difficulté des raisonnements vient souvent de l'enchaînement de deux propriétés remarquables.

Triangle rectangle

Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit
.

Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème dû à Thalès

Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Réciproquement, si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle
.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w

Démonstration de Thalès

Soit ABC un triangle inscrit dans un demi-cercle de centre O.

Deux côtés du triangle OAC sont des rayons, OAC est isocèle et les angles en A et C sont égaux : OÂC = ACO.
De même, OCB est isocèle et OBC = OCB

En sommant ces deux égalités, il vient : OÂC + OBC = ACO + OCB = ACB.

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient pour les angles du triangle ABC
(OÂC + OBC) + ACB = 2 ACB = 180°.

Puis en divisant par 2, on obtient ACB = 90°.
Le triangle est donc bien rectangle en C.

Démonstration de la réciproque - Droites des milieux

Si ABC est un triangle rectangle en C alors il s'inscrit dans un cercle de diamètre [AB]

On trace la droite des milieux passant par le milieu O de [AB] et le milieu B’ de [AC].
Elle est parallèle à (BC). Comme (BC) et (AC) sont perpendiculaires, il en est de même de (OB’) et (AC). (OB’) est donc la droite perpendiculaire à [AC] passant par le milieu de [AC], c'est la médiatrice de [AC].
De même, on démontre que la droite passant par O et par A’ milieu de [BC] est la médiatrice de [BC].
Ces deux médiatrices se coupent en O, milieu de [AB], qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle.
Le cercle circonscrit a bien pour diamètre [AB].

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect4.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle_mediatrices.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo tr_rectangle_mediatrices.glb

Démonstration de la réciproque - Doublement du triangle rectangle par symétrie

Rectangle

D est le symétrique de C par rapport au point O milieu de [AB].
ACBD est un rectangle ; ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu :
CO = 1/2 CD = 1/2 AB.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect2.g2w

Triangle isocèle

D est le symétrique de A par rapport au point C.
ABD est un triangle isocèle de médiatrice (CB). C est le milieu de [AD] et (OC) est la droite des milieux :
CO = 1/2 DB = 1/2 AB.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect3.g2w

Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse, et réciproquement.

Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle a2 + b2 = c2.

Preuve utilisant la méthode des aires grâce à la similitude du grand triangle rectangle ABC avec les triangles ACH et BCH formés par les petits côtés et la hauteur (CH) abaissée sur l'hypoténuse :

L'aire du grand triangle est la somme des aires des deux petits. Pour des triangles rectangles semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés de leurs hypoténuses, donc le carré de l'hypoténuse du grand est égal à la somme des carrés des hypoténuses des deux petits.

Commande GéoPlan
Touche H : afficher/effacer la hauteur [CH].

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo tr_rectangle.glb

Relations métriques

Similitude de trianglesSimilitude de triangles

Les triangles rectangles CAB, HAC et HCB sont semblables.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_hauteur.g2w


Carré de la hauteur CH

Carré de la hauteurSoit [CH] la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC.
De la similitude des triangles rectangles BCH et CAH, en étudiant les rapports des petits côtés, on trouve :
HC/HA =HB/HC d'où HC2 = HA × HB.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri3.g2w

Théorème de Thalès suisse : la hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse.
Réciproque
: si H est entre A et B et HC2 = HA × HB alors le triangle ABC est rectangle en C.

Carré d'un petit côté

similitude des triangles rectangles BAC et BCHUn côté de l'angle droit (cathète) est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.

AC2 = AH × AB et BC2 = BH × BA
BC2 = BH × BA se démontre en 1S avec le produit scalaire

ou en seconde avec la similitude des triangles rectangles BAC et BCH, en étudiant les rapports des côtés issus de B :

BC/BA = BH/BC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri2.g2w

Réciproque : si H est entre A et B et BC2 = BH × BA alors ABC est rectangle en C.

Mémorisation

Il y a trois formules de moyennes géométriques dans le triangle ABC rectangle en C, de hauteur [CH] :

AC2 = AB × AH,
BC2 = BA × BH,
HC2 = HA × HB.

Le point C mis à part, nous choisissons arbitrairement un des points A, B ou H et nous le plaçons en tête de chacun des trois termes qui interviennent. Il ne reste plus qu'à compléter avec les deux autres points restants.

De la similitude des triangles ABC et ACH on a :

AC/AB = AH/AC d'où AC2 = AB × AH (première moyenne géométrique).

CH/BC = AB/AC d'où AC × BC = AB × CH (formule des aires ci-dessous).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri1.g2w

Calcul de l'aire

Triangle rectangleLe calcul de l'aire du triangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs se fait de deux façons et on a :
Aire
(ABC) = 1/2 AB × CH = 1/2 ch
et Aire(ABC) = 1/2 CA × CB = 1/2 ba.

D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect4.g2w
Voir : aire du triangle

Quotient des carrés des petits côtés : CA²/CR²=HA/HB

Calcul de l'inverse du carré de la hauteur CH

Des expressions du double de l'aire CH × AB = CA × CB, on trouve CH2 = CA².CB²/AB² et avec Pythagore AB2 = CA2 + CB2, en calculant l'inverse,

on a : 1/CH²=1/AB²+1/AC²

Relations trigonométriques

sin  = BC/AB, cos  = AC/AB, tan  = sinA/cosA = BC/AC. sin2 + cos2 = 1.

Hauteur

CH = AC sin Â, AC = AB sin B d'où CH = AB sin  sin B.

Si h = CH et AB = c alors h = c sin  sin B.

Marquer un angle ou un angle droit (Prototypes GéoPlan pour le professeur)

Contrairement à Cabri, GéoPlan ne sait pas tracer la marque d'un angle.

Sur les côtés [OA] et [OB] d'un angle AÔB sont placés deux points A1 et B1 à une distance tail = 0,2 unité du point O.
Le prototype marquer un angle trace l'arc de cercle de centre O et d'extrémités A1 et B1 (de A1 vers B1 dans le sens trigonométrique).

Le prototype marquer un angle droit crée une ligne brisée A1O1B1 en fabriquant un polygone A1O1B1O1.
Le point O1, milieu de la ligne brisée, sera créé, par une translation de vecteur vec(OA1), uniquement lorsque l'angle t = AÔB est égal à 90°.
Pour cela, il utilise la fonction µ :
O1 image de B1 par la translation de vecteur vec(O,A1)/µ(abs(t-90)<0.00001)

Pour un dessin libre utiliser une précision de 0,1° avec : µ(abs(t-90)<0.1) : voir histoire de toit : analyse en L, trapèze rectangle : produit scalaire

Pour GéoSpace, définir un polygone convexe de sommets A1O1B1O.

Voir explications sur les prototypes : vecteurs et trucs GéoPlan

g2w Télécharger les prototypes GéoPlan angle.g2w


1. Construire un triangle rectangle

a. À partir d'un petit côté

Placer deux points libres A, B et dessiner le segment [AB],

tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B,

placer un point libre C sur la perpendiculaire (menu : créer > point > point libre > sur une droite).

Gommer la perpendiculaire (non dessiné),
tracer les segments [BC] et [AC].

Marquer le milieu de [AB] et tracer le cercle de centre O passant par A.

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et déplacer les sommets.

Taper M pour masquer les constructions.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle_cote.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo tr_rectangle_cote.glb


b. À partir de l'hypoténuse

Placer les points libres A, C et dessiner le segment [AC], marquer le milieu,
tracer le cercle de diamètre [AC],
placer un point B sur le cercle (menu : créer > point > point libre > sur un cercle).
Tracer les segments [AB] et [BC],
gommer le cercle et le milieu de [AC] (non dessiné).

Commandes GéoPlan

Cliquer dans la figure et déplacer les sommets.

Taper H pour afficher la hauteur, issue du sommet de l'angle droit.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri tr_rectangle.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo tr_rectangle.glb


2. Bissectrice d'un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle inscrit dans le demi-cercle de centre O, de diamètre [AB].

La bissectrice de ce triangle, issue de A rencontre en D le demi-cercle.

En étudiant les angles de la figure, montrer que la droite (OD) est parallèle à (AC),
que le triangle BCI est isocèle et que (OD) est la médiatrice de [BC].

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_bissect.g2w
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3. Bissectrices d'un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB].

La bissectrice de ce triangle, issue de A rencontre en I celle issue de B, et en D le demi-cercle.

En étudiant les angles de la figure, montrer que le triangle BDI est rectangle isocèle.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_bissect_2.g2w


4. Droites des milieux

ABC est un triangle rectangle en C et O le milieu de l'hypoténuse [AB].
Le cercle de diamètre [CO] coupe le côté [AC] en I et [BC] en J.

Quelle est la nature du quadrilatère OICJ ?
Que représentent I et J pour les côtés [AC] et [BC] ?

Justifier les égalités des angles BAC et CÔJ, puis ABC et CÔI.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_dr_milieu.g2w
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5. Médiane et hauteur

ABC est un triangle rectangle en C et O le milieu de l'hypoténuse [AB].

(CH) est la hauteur issue de C.

Montrer, en étudiant les angles aigus des triangles ACH et BOC, que les angles ACB et HCO ont même bissectrice (CC’).

(CC’) est la symédiane en C du triangle ABC.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_hauteur_mediane.g2w
cabri Télécharger la figure Cabri tr_rect_hauteur_mediane.fig
GeoLabo Télécharger la figure GeoLabo tr_rect_hauteur_mediane.glb

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6. Moyenne proportionnelle

a. Éléments d'Euclide

Le terme « droite » désigne dans les éléments ce que nous appelons « segment ».

Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle.

Livre VI, proportion 13

Soit AB, BC, les deux droites données ; il faut trouver une moyenne proportionnelle entre AB, BC.

Plaçons ces deux droites dans la même direction, et sur la droite AC décrivons le demi-cercle ADC. Du point B menons BD perpendiculaire à AC et joignons AD, DC.

Puisque l'angle ADC est dans un demi-cercle, cet angle est droit. Et puisque dans le triangle rectangle ADC on a mené, de l'angle droit, la droite DB perpendiculaire à la base, la droite DB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, BC de la base.

Donc, les deux droites AB, BC étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle DB, ce qu'il fallait faire.

g2w Télécharger la figure GéoPlan moy_prop.g2w


Lorsque les nombres a et b sont grands, à partir d'un point I placer deux points A et B tels que IA = a et IB = b. Utiliser une des deux méthodes suivantes :

b. Carré d'un petit côté

Tracer un demi-cercle de diamètre IA (a>b). La perpendiculaire en B à (IA) coupe ce demi-cercle en C.
Un côté de l'angle droit du triangle rectangle ICA est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse IA et sa projection sur l'hypoténuse IB : IA × IB = IC2.
IC est la moyenne géométrique de a et b.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan moy_geo1.g2w

c. Construction de Wallis

La puissance d'un point I par rapport à un cercle passant par A et B est le produit IA × IB. Cette puissance est égale au carré de la longueur IT d'une tangente au cercle, issue de I : IA × IB = IT2.
IT est la moyenne géométrique de a et b.

En choisissant le cercle de diamètre [AB] de centre O, T est alors un des points d'intersection avec le cercle de diamètre [IO].

g2w Télécharger la figure GéoPlan moy_geo2.g2w

Commandes GéoPlan
Cliquer dans une des figures,
modifier a ou b avec les flèches du clavier,
Taper B pour modifier b,
taper A pour modifier a.

7. Médiatrice d'un côté du triangle orthique

Dans un triangle ABC, les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs issues respectivement de B et de C.

Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [BC] et [B’C’].

  • Montrer que les points B, C’, B’ et C sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

  • Montrer que le point I appartient à la médiatrice de [B’C’].

  • En déduire que la droite (IJ) est la médiatrice de [B’C’].

Commande GéoPlan

Cliquer dans la figure et taper S pour afficher le cercle.

Indication

Dans un cercle, la droite qui joint le milieu d'une corde au centre du cercle est la médiatrice de cette corde.
En effet, (IJ), médiane du triangle isocèle IB’C’, est aussi médiatrice de [B’C’].

g2w Télécharger la figure GéoPlan m_orthiq.g2w


Problèmes de construction

logo apmep D'après la géométrie au Creusot - enseignement primaire supérieur - A. Béché - 1920
cité par Patrick Guyot - bulletin APMEP no 438.

a. Construire un triangle rectangle connaissant un angle aigu et le rayon du cercle inscrit

Le triangle ABC rectangle en C a un angle aigu A égal à tÔz.

Construire la droite passant par A parallèle à la bissectrice de tÔz.

La parallèle à (At) située à une distance r coupe cette bissectrice en I. Le point I se projette en R sur (At).

Le cercle inscrit est le cercle de centre I passant par R.

La deuxième tangente issue de A est tangente au cercle en symétrique de R par rapport à (AI).

Le troisième côté est tangent au cercle et perpendiculaire à (AQ). Mener le rayon [IP] perpendiculaire à [IQ], la perpendiculaire en P à [IP] coupe (AQ) en C et (AR) en B.

ABC est triangle demandé.

Cliquer sur la figure et avec la souris déplacer t pour modifier l'angle ou r pour le rayon.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_438_a.g2w


b. Construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme d des côtés de l'angle droit

Supposons le problème résolu :
ABC est le triangle rectangle en C demandé tel que AB = c et
AC + CB = d.
Le point C est sur le cercle de diamètre AB. Le cercle de centre A et de rayon d coupe la droite (AC) en D tel que CD = CB. Le triangle BCD est donc isocèle, mais comme l'angle en C est droit, il est aussi rectangle, l'angle ADB est égal à 45°. D est donc sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle de 45°. Cet arc capable correspond à un angle au centre de 90°. Le centre M de cet arc est à l'intersection du cercle de diamètre [AB] et de la médiatrice de [AB]. Sur le cercle de centre M passant par A et B, le point N est le symétrique de A par rapport à M. Le triangle ANB est rectangle isocèle avec un angle en N de 45°.

Le point D est donc à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A, et le point C est l'intersection de la demi-droite [AD) et du cercle de diamètre [AB].

Le problème admet une solution si les cercles sont sécants,
donc si c < d ≤ 2AM.

Pour une hypoténuse [AB] donnée, si c < d  < 2AM on a quatre solutions : C et C’ et leurs symétriques par rapport à (AB) ; les quatre sommets d'un rectangle de centre O.

Commandes GéoPlan

Le segment vertical à gauche de la figure représente d. Pour le modifier cliquer sur la figure et déplacer avec la souris l'extremité supérieure du segment.
De même, saisir le point B pour modifier l'hypoténuse a.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_438_b.g2w
Retrouver ce paragraphe dans : problèmes de construction

c. Construire un triangle rectangle connaissant la médiane m et la hauteur h relative à l'hypoténuse

On sait que la médiane relative à l'hypoténuse [AB] est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Placer le point O et de part et d'autre les points A et B tels que OA = OB = m.
Le point C est sur le cercle de diamètre [AB] à une distance h de (AB).

Le problème admet des solutions si hm.

Les segments verticaux à gauche de la figure représentent m et h. Pour les modifier cliquer sur la figure et déplacer avec la souris les extremités supérieures des segments.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_438_c.g2w


 

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1. Construire un triangle rectangle
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