Exemples d'exercices pouvant être résolus, en classe de seconde, avec les configurations fondamentalesPour les triangles, il s'agit de savoir mettre en œuvre : En seconde la difficulté des raisonnements vient souvent de l'enchaînement de deux propriétés remarquables. Triangle rectangleUn des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires. Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème dû à ThalèsUn angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w Démonstration de Thalès Soit ABC un triangle inscrit dans un demi-cercle de centre O. Deux côtés du triangle OAC sont des rayons, OAC est isocèle et les angles en A et C sont égaux : OÂC = ACO. En sommant ces deux égalités, il vient : OÂC + OBC = ACO + OCB = ACB. Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient pour les angles du triangle ABC Puis en divisant par 2, on obtient ACB = 90°. Démonstration de la réciproque - Droites des milieux Si ABC est un triangle rectangle en C alors il s'inscrit dans un cercle de diamètre [AB] On trace la droite des milieux passant par le milieu O de [AB] et le milieu B’ de [AC]. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect4.g2w Démonstration de la réciproque - Doublement du triangle rectangle par symétrie
Théorème de PythagoreDans tout triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse, et réciproquement. Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle a2 + b2 = c2. Preuve utilisant la méthode des aires grâce à la similitude du grand triangle rectangle ABC avec les triangles ACH et BCH formés par les petits côtés et la hauteur (CH) abaissée sur l'hypoténuse : L'aire du grand triangle est la somme des aires des deux petits. Pour des triangles rectangles semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés de leurs hypoténuses, donc le carré de l'hypoténuse du grand est égal à la somme des carrés des hypoténuses des deux petits. Commande GéoPlan Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w Relations métriquesSimilitude de triangles Les triangles rectangles CAB, HAC et HCB sont semblables. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_hauteur.g2w Carré de la hauteur CH Soit [CH] la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri3.g2w Théorème de Thalès suisse : la hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse. Carré d'un petit côté Un côté de l'angle droit (cathète) est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse. AC2 = AH × AB et BC2 = BH × BA ou en seconde avec la similitude des triangles rectangles BAC et BCH, en étudiant les rapports des côtés issus de B : BC/BA = BH/BC. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri2.g2w Réciproque : si H est entre A et B et BC2 = BH × BA alors ABC est rectangle en C. Mémorisation Il y a trois formules de moyennes géométriques dans le triangle ABC rectangle en C, de hauteur [CH] : AC2 = AB × AH, Le point C mis à part, nous choisissons arbitrairement un des points A, B ou H et nous le plaçons en tête de chacun des trois termes qui interviennent. Il ne reste plus qu'à compléter avec les deux autres points restants. De la similitude des triangles ABC et ACH on a : AC/AB = AH/AC d'où AC2 = AB × AH (première moyenne géométrique). CH/BC = AB/AC d'où AC × BC = AB × CH (formule des aires ci-dessous). Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri1.g2w Calcul de l'aire Le calcul de l'aire du triangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs se fait de deux façons et on a : D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue de l'angle droit. Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect4.g2w Quotient des carrés des petits côtés : Calcul de l'inverse du carré de la hauteur CH Des expressions du double de l'aire CH × AB = CA × CB, on trouve CH2 = et avec Pythagore AB2 = CA2 + CB2, en calculant l'inverse, on a : Relations trigonométriques sin  = , cos  = , tan  = = . sin2 + cos2 = 1. Hauteur CH = AC sin Â, AC = AB sin B d'où CH = AB sin  sin B. Si h = CH et AB = c alors h = c sin  sin B. Marquer un angle ou un angle droit (Prototypes GéoPlan pour le professeur)Contrairement à Cabri, GéoPlan ne sait pas tracer la marque d'un angle. Sur les côtés [OA] et [OB] d'un angle AÔB sont placés deux points A1 et B1 à une distance tail = 0,2 unité du point O. Le prototype marquer un angle droit crée une ligne brisée A1O1B1 en fabriquant
un polygone A1O1B1O1. Pour un dessin libre utiliser une précision de 0,1° avec : µ(abs(t-90)<0.1) : voir histoire de toit : analyse en L, trapèze rectangle : produit scalaire Pour GéoSpace, définir un polygone convexe de sommets A1O1B1O. Voir explications sur les prototypes : vecteurs et trucs GéoPlan Télécharger les prototypes GéoPlan angle.g2w 1. Construire un triangle rectanglea. À partir d'un petit côtéPlacer deux points libres A, B et dessiner le segment [AB], tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B, placer un point libre C sur la perpendiculaire (menu : créer > point > point libre > sur une droite). Gommer la perpendiculaire (non dessiné), Marquer le milieu de [AB] et tracer le cercle de centre O passant par A. Commandes GéoPlan Cliquer dans la figure et déplacer les sommets. Taper M pour masquer les constructions. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w b. À partir de l'hypoténusePlacer les points libres A, C et dessiner le segment [AC], marquer le milieu, Commandes GéoPlan Cliquer dans la figure et déplacer les sommets. Taper H pour afficher la hauteur, issue du sommet de l'angle droit. Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w 2. Bissectrice d'un triangle rectangleABC est un triangle rectangle inscrit dans le demi-cercle de centre O, de diamètre [AB]. La bissectrice de ce triangle, issue de A rencontre en D le demi-cercle. En étudiant les angles de la figure, montrer que la droite (OD) est parallèle à (AC),
Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_bissect.g2w 3. Bissectrices d'un triangle rectangleABC est un triangle rectangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB]. La bissectrice de ce triangle, issue de A rencontre en I celle issue de B, et en D le demi-cercle. En étudiant les angles de la figure, montrer que le triangle BDI est rectangle isocèle.
Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_bissect_2.g2w 4. Droites des milieux
ABC est un triangle rectangle en C et O le milieu de l'hypoténuse [AB]. Quelle est la nature du quadrilatère OICJ ? Justifier les égalités des angles BAC et CÔJ, puis ABC et CÔI.
Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_dr_milieu.g2w 5. Médiane et hauteurABC est un triangle rectangle en C et O le milieu de l'hypoténuse [AB]. (CH) est la hauteur issue de C. Montrer, en étudiant les angles aigus des triangles ACH et BOC, que les angles ACB et HCO ont même bissectrice (CC’). (CC’) est la symédiane en C du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_hauteur_mediane.g2w Sommaire 6. Moyenne proportionnellea. Éléments d'EuclideLe terme « droite » désigne dans les éléments ce que nous appelons « segment ». Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle. Livre VI, proportion 13 Soit AB, BC, les deux droites données ; il faut trouver une moyenne proportionnelle entre AB, BC. Plaçons ces deux droites dans la même direction, et sur la droite AC décrivons le demi-cercle ADC. Du point B menons BD perpendiculaire à AC et joignons AD, DC. Puisque l'angle ADC est dans un demi-cercle, cet angle est droit. Et puisque dans le triangle rectangle ADC on a mené, de l'angle droit, la droite DB perpendiculaire à la base, la droite DB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, BC de la base. Donc, les deux droites AB, BC étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle DB, ce qu'il fallait faire. Télécharger la figure GéoPlan moy_prop.g2w Lorsque les nombres a et b sont grands, à partir d'un point I placer deux points A et B tels que IA = a et IB = b. Utiliser une des deux méthodes suivantes :
Commandes GéoPlan 7. Médiatrice d'un côté du triangle orthiqueDans un triangle ABC, les points B’ et C’ sont les pieds des hauteurs issues respectivement de B et de C. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [BC] et [B’C’]. • Montrer que les points B, C’, B’ et C sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon. • Montrer que le point I appartient à la médiatrice de [B’C’]. • En déduire que la droite (IJ) est la médiatrice de [B’C’]. Commande GéoPlan Cliquer dans la figure et taper S pour afficher le cercle. Indication Dans un cercle, la droite qui joint le milieu d'une corde au centre du cercle est la médiatrice de cette corde. Télécharger la figure GéoPlan m_orthiq.g2w Problèmes de construction D'après la géométrie au Creusot - enseignement primaire supérieur - A. Béché - 1920 a. Construire un triangle rectangle connaissant un angle aigu et le rayon du cercle inscritLe triangle ABC rectangle en C a un angle aigu A égal à tÔz. Construire la droite passant par A parallèle à la bissectrice de tÔz. La parallèle à (At) située à une distance r coupe cette bissectrice en I. Le point I se projette en R sur (At). Le cercle inscrit est le cercle de centre I passant par R. La deuxième tangente issue de A est tangente au cercle en symétrique de R par rapport à (AI). Le troisième côté est tangent au cercle et perpendiculaire à (AQ). Mener le rayon [IP] perpendiculaire à [IQ], la perpendiculaire en P à [IP] coupe (AQ) en C et (AR) en B. ABC est triangle demandé. Cliquer sur la figure et avec la souris déplacer t pour modifier l'angle ou r pour le rayon. Télécharger la figure GéoPlan tr_438_a.g2w b. Construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme d des côtés de l'angle droitSupposons le problème résolu : Le point D est donc à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A, et le point C est l'intersection de la demi-droite [AD) et du cercle de diamètre [AB]. Le problème admet une solution si les cercles sont sécants, Pour une hypoténuse [AB] donnée, si c < d < 2AM on a quatre solutions : C et C’ et leurs symétriques par rapport à (AB) ; les quatre sommets d'un rectangle de centre O. Commandes GéoPlan Le segment vertical à gauche de la figure représente d. Pour le modifier cliquer sur la figure et déplacer avec la souris l'extremité supérieure du segment. Télécharger la figure GéoPlan tr_438_b.g2w c. Construire un triangle rectangle connaissant la médiane m et la hauteur h relative à l'hypoténuse
On sait que la médiane relative à l'hypoténuse [AB] est égale à la moitié de l'hypoténuse. Le problème admet des solutions si h ≤ m. Les segments verticaux à gauche de la figure représentent m et h. Pour les modifier cliquer sur la figure et déplacer avec la souris les extremités supérieures des segments. Télécharger la figure GéoPlan tr_438_c.g2w
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